P_3 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Física Nuclear i de Partícules
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 21/06/2014
Descargas 3
Subido por

Vista previa del texto

n 3. Calculeu els coeficients de la f´ormula semiemp´ırica de les masses B(A, Z) = av A ≠ as A2/3 ≠ aC Z2 (A ≠ 2Z)2 ≠ a sym.
A A1/3 sabent que: a) L’energia de lligam per nucle´o en mat`eria nuclear sim`etrica (sistema infinit uniforme sense l’energia de Coulomb i amb el mateix nombre de protons que de neutrons) ´es B/A = 16 MeV.
27 b) El nucli 27 es — + i que 14 Si es desintegra en el seu nucli mirall 13 Al per un proc´ l’energia m` axima dels positrons emessos ´es de 3.48 MeV (negligiu l’energia de retroc´es del 27 13 Al).
c) El nucli 125 Te 52 ´es l’is` obar estable de la cadena amb 125 nucleons.
d) L’energia de les part´ıcules alfa emesses pel 235 es de 4.38 MeV (utilitzeu el valor 92 U ´ 4 experimental de l’energia de lligam del 2 He que ´es B(4, 2) = 28.3 MeV).
Soluci´ o: Per mat`eria nuclear sim`etrica, l’energia de lligam per nucle´o ve donada sols pel primer terme de la f´ ormula semiemp´ırica de masses: B(A, Z) = av A (no hi ha que considerar el terme de superf´ıcie ni el de Coulomb ni el d’asimetria). Per tant, l’apartat a) ens diu que B av = = 16 MeV.
(0.80) A 27 + Tenim el seg¨ uent proc´es — + : 27 o de l’energia ens 14 Si æ 13 Al + e + ‹e . La conservaci´ diu que MSi = MAl + me+ + Ke+ , (0.81) on, d’acord amb l’enunciat, hem ignorat l’energia de retroc´es de l’alumini. Tenint en compte el contingut en protons i neutrons de cada element i l’energia de lligam (el nombre m` assic, A, ´es el mateix per als dos nuclis; no hi ha distinci´o), MSi = M (A, ZSi ) = ZSi mp + (A ≠ ZSi )mn ≠ B(A, ZSi ), MAl = M (A, ZAl ) = ZAl mp + (A ≠ ZAl )mn ≠ B(A, ZAl ).
(0.82) Aleshores, de (0.81) tenim que la difer`encia d’energies de lligam ´es: B(A, ZAl ) ≠ B(A, ZSi ) = (ZAl ≠ ZSi )mp + (ZSi ≠ ZAl )mn + Ke+ + me+ .
(0.83) Utilitzant la f´ ormula semiemp´ırica de masses (en la resta B(A, ZAl ) ≠ B(A, ZSi ), l’´ unic terme que no s’anul·la ´es el de Coulomb), se segueix que ≠aC 1 2 (Z 2 ≠ ZSi ) = (ZAl ≠ ZSi )mp + (ZSi ≠ ZAl )mn + Ke+ + me+ .
A1/3 Al 17 (0.84) A¨ıllant, trobem que el coeficient de Coulomb ve donat per l’expressi´o aC = A1/3 2 [(ZAl ≠ ZSi )mp + (ZSi ≠ ZAl )mn + Ke+ + me+ ] .
≠ ZAl 2 ZSi (0.85) Posant-hi nombres, A = 27, ZSi = 14 i ZAl = 13, 1 (mn ≠ mp + Ke+ + me+ ) =∆ aC = 0.59 MeV.
9 aC = (0.86) Els m´ınims d’energia corresponen als m`axims d’energies de lligam. Per tant, fixat el nombre m` assic A, podem trobar quin ´es el valor de Z corresponent al nucli m´es estable, ˆB(A, Z) 2Z 2(A ≠ 2Z)(≠2) = 0 =∆ ≠aC 1/3 ≠ asym.
= 0.
(0.87) ˆZ A A A¨ıllant Z de l’expressi´ o anterior, trobem Z0 = A 1 .
2 1 + (aC /4asym. )A2/3 (0.88) L’apartat c) ens diu que el tel·luri (A = 125, Z = 52), ´es l’is`obar estable de la seva cadena. Utilitzant la f´ ormula (0.88) per A = 125 i Z0 = 52, i tenint en compte el valor que hem trobat anteriorment per aC , podem determinar asym. . Es t´e, asym. = aC Z0 1 1/3 2A 1 ≠ 2Z0 /A =∆ asym. = 18.17 MeV.
(0.89) Procedint de manera semblant a com ho hem fet per determinar el coeficient aC , i utilitzant els valors que acabam de trobar per els diferents coeficients, podem determinar as . El nucli residual en l’emissi´o alpha ´es el tori (231 c en aquest cas 90 Th). El balan¸ ´es: MU = MTh + KTh + M– + K– , (0.90) on hem considerat que l’urani es troba inicialment en rep`os. S’ens proporciona K– , per` o no KTh . El que feim ´es considerar la conservaci´o del moment. Aquesta ens diu que en m` odul: p– = pTh , i per tant TTh = p2Th p2– p2 M– M– 4 = = – = K– ƒ K– .
2MTh 2MTh 2M– MTh MTh 231 (0.91) L’expressi´ o (0.90) esdev´e 3 MU ≠ MTh ≠ M– = 1 + 4 4 235 K– = K– .
231 231 (0.92) Fent servir que MU = M (AU , ZU ) = ZU mp + (AU ≠ ZU )mn ≠ B(AU , ZU ), MTh = M (ATh , ZTh ) = ZTh mp + (ATh ≠ ZTh )mn ≠ B(ATh , ZTh ), M– = M (A– , Z– ) = Z– mp + (A– ≠ Z– )mn ≠ B(A– , Z– ), 18 (0.93) tenim el seg¨ uent: MU ≠ MTh ≠ M– = (ZU ≠ ZTh ≠ Z– )mp + [(AU ≠ ZU ) ≠ (ATh ≠ ZTh ) ≠ (A– ≠ Z– )]mn ≠ B(AU , ZU ) + B(ATh , ZTh ) (0.94) + B(A– , Z– ) © + B(ATh , ZTh ) ≠ B(AU , ZU ), on he definit © (ZU ≠ ZTh ≠ Z– )mp + [(AU ≠ ZU ) ≠ (ATh ≠ ZTh ) ≠ (A– ≠ Z– )]mn + B(A– , Z– ).
(0.95) Utilitzant aquestes u ´ltimes expressions en (0.92) es t´e, MU ≠ MTh ≠ M– = 235 K– .
231 + B(ATh , ZTh ) ≠ B(AU , ZU ) = (0.96) Per a les energies de lligam ens servim de la f´ormula de masses: 1 2/3 2/3 B(ATh , ZTh ) ≠ B(AU , ZU ) = av (ATh ≠ AU ) ≠ as ATh ≠ AU ◊ A ≠ (AU ≠ 2ZU )2 .
AU 2 ZTh 1/3 ATh ≠ 2 ZU 1/3 AU B ≠ asym.
6 5 2 ≠ aC (ATh ≠ 2ZTh )2 ATh (0.97) Introduint (0.97) en (0.96) i despejant, veiem que el coeficient as ve donat per: as = 2/3 1 2/3 AU ≠ ATh 3 235 K– ≠ 231 + asym.
5 ≠ av (ATh ≠ AU ) + aC A 2 ZTh 1/3 ATh (ATh ≠ 2ZTh )2 (AU ≠ 2ZU )2 ≠ ATh AU 64 ≠ 2 ZU 1/3 AU B (0.98) .
Num`ericament, AU = 235, ZU = 92, ATh = 231, ZTh = 90, A– = 4, Z– = 2, = B(4, 2) = 28.3 MeV, as = 30.65 MeV.
(0.99) 19 ...