Resumen Gráfico Matemáticas (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Química - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 22/11/2014
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Resumen Gráfico de algunos temas simples de mates: repaso

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MATRICES MATRICES ESPECIALES Matriz columna Matriz cuadrada Matriz fila ( ) ( n: filas m: columnas Solo el Matrices Cuadradas Diagonal Principal ( ) Tamaño: 1xm ( ) ) ( Tamaño: nxn Matriz de orden n Tamaño: nx1 Matriz traspuesta ) ( ) Si A es una matriz 3x2, At es la matriz 2x3 (las columnas se intercambian por filas y las filas por columnas) MATRICES CUADRADAS Matriz triangular Matriz diagonal La Matriz identidad Todo elemento a Todo elemento Todo elemento de ( ( ) ( ) ( ) la dp es 1 y los que uno u otro lado de que no es de la dp la dp es nulo (0) es nulo (0) no nulos (0) OPERACIONES CON MATRICES Suma (sólo se pueden sumar matrices de = tamaño) Producto por un ESCALAR Producto de Matrices (es posible si las columnas de la La suma se produce elemento a elemento El escalar multiplica por cada elemento 1ª matriz coinciden con las filas de la 2ª matriz) Matriz simétrica Matriz idéntica ) a ambos lados de la dp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PROPIEDADES DE MATRICES Asociativa ( ) Conmutativa ( ) Opuesta de una matriz ( ) ( Asociativa ) ( ) ( Distributiva ) ( ) ( ) ( ( ) ) MATRIZ INVERSA ⃗ ⃗ ECUACIONES MATRICIALES (No existe la división de matrices) ( ) Se investiga el tamaño de la matriz Se mantiene el orden en el producto RANGO DE UNA MATRIZ ⃗ El rango de una matriz es el número de filas linealmente ⃗ independientes de una matriz, nº filas no nulas en Gauss FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA ( ) ( ) ( ) SISTEMAS MATRICIALES (Método de Reducción) ( ) ( ) MATRIZ AMPLIADA ( ) DETERMINANTES Número asociado a una matriz cuadrada Mnxn Matriz 2x2 | | Matriz 4x4 (desarrollo por una línea en M3x3) Matriz 3x3  ( | | ) ( ) Menor complementario: Matriz resultante de quitar una fila y columna de una matriz  Adjunto: Determinante del menor complementario (siempre que Mnxn), asociado con su signo | | La diagonal principal signo + y demás alternados (+-) Desarrollo por una línea ( | | | | Asociados) | | | -Hay que intentar, sobre todo, que antes de hacer el desarrollo por una línea, en matrices 4x4 que haya el mayor nº de 0 (hacer previamente Método de Gauss) | PROPIEDADES El determinante de una matriz u el de su transpuesta es el mismo | | | Si una línea (fila-columna) es nula, su determinante es nulo (det = 0) | | | Si se aplica el Método de Gauss, el determinante no varía (Comb. Lineal) | El intercambio entre filas paralelas provoca el cambio del signo del det.
| | Si se multiplica una línea por un , el det.
queda multiplicado por ese | | | | | Si dos líneas paralelas son proporcionales, su determinante es nulo | | | | | | | | si A, B son de orden n ( ) | | | | | | | | | | | | | | | | [ ( )] TEOREMA ROUCHÉ-FRÖBENIUS Discutir un sistema según sus soluciones (n=número de incógnitas). Forma matricial del sistema Sistema Incompatible (no solución) Sistema Compatible Indeterminado (∞ soluciones) Sistema Compatible Determinado (1 solución) ( ) ( ( ) ( ) -Resolución: Sustitución incógnitas por parámetros -Grado de libertad: Indica nº de parámetros [n-rang(A)] ) ( ) ( ) REGLA DE CRAMER Resolución de Sistemas Compatibles Determinados (con parámetros SIEMPRE Cramer) | | | | | | | | | | | | Resultado de quitar la 1ª columna de A y en su lugar colocar la de los términos independientes | | Resultado de quitar la 2ª columna de A y en su lugar colocar la de los términos independientes VECTORES ) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗( √ ⃗⃗ ) ⃗( ⃗ ⃗ | ⃗| ( ) PROPIEDADES Asociativa ( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗⃗) Conmutativa ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ PRODUCTO ESCALAR ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗| | ⃗| PRODUCTO VECTORIAL ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗ | Entre dos rectas 4 casos:  COINCIDENTES  PARALELAS ( )  SECANTES( )  SE CRUZAN A. Estudiar ⃗ y puntos en común 1. 1 pto en común: SECANTES 2. ∞ ptos en común: COINCIDENTES 3. 0 ptos en común: PARAL-SE CRUZAN B. Estudiar rangos (Ec. Implícitas) 1. Rang M=Rang M*=2: COINCIDENTES (SCI) 2. Rang M=2; Rang M*=3: PARALELAS (SI) 3. Rang M=Rang M*=3: SECANTES (SDC) 4. Rang M*=4: SE CRUZAN (SI) (En el caso 1,2 y 3 | | ) Entre dos planos 3 casos: (Ec. General) 1. Rang M=Rang M*=1 (SCI): COINCIDENTES 2. Rang M*=2; Rang M=1 (SI): PARALELOS 3. Rang M=Rang M*=2 (SCI): SE CORTAN Entre recta y plano 3 casos: 1. SECANTES: ⃗⃗ ⃗ 2. PARALELOS: ⃗⃗ ⃗ 3. CONTENIDA: ⃗⃗ ⃗ ) ( ) P’ SIMÉTRICO A P CON RESPECTO A Q ( ) ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗ POSICIONES RELATIVAS Y ÁNGULOS PUNTO MEDIO M ) ( ) ( ( ⃗⃗̂⃗ ) | ⃗⃗| | ⃗| ⃗⃗ ⃗ GEOMETRÍA EN EL ESPACIO PUNTOS ) ( ) Dados ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) PUNTOS ALINEADOS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) | ⃗⃗| | ⃗| ⃗⃗ ⃗ ⃗ ( ) ECUACIONES DE LA RECTA ) ⃗( ) Dado ( Ecuaciones paramétricas { ( ⃗⃗̂⃗ ) } Ecuación continua PROPIEDADES PRODUCTO VECTORIAL 1.
2.
3.
4.
5.
⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗| ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗⃗) ⃗⃗⃗) ⃗⃗ ⃗ Ecuación implícita (Intersección planos no II) ⃗⃗ ⃗⃗⃗ PRODUCTO MIXTO Dados ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ 1. , ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗2. , ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗3. , ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗- ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗⃗) | | * ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗+ Entre dos rectas ECUACIONES DEL PLANO ) ⃗⃗( ) ⃗( Dado ( Ecuaciones paramétricas { Ecuación normal ⃗⃗ ( ( ) ( Ecuación general } (̂) ) ⃗) ( ⃗̂ Entre dos planos | | (̂) ⃗⃗ ) ( ⃗⃗̂ Entre recta y plano ) ) --------ÁNGULOS-------- ( ) (̂) ( ⃗⃗̂⃗ ) |⃗ ⃗ | |⃗ | |⃗ | | ⃗⃗ ⃗⃗ | | ⃗⃗ | | ⃗⃗ | | ⃗⃗ ⃗ | | ⃗⃗ | | ⃗ | DISTANCIAS Entre dos puntos ( |⃗⃗⃗⃗⃗ | ) Entre punto y recta 1.
( ) ( ) (punto de intersección de r y el plano ⊥ r que pasa por P) 2. FÓRMULA ( 3.
( ) Buscar |⃗⃗⃗⃗⃗ | | | ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ genérico de r Entre punto y plano 1. FÓRMULA ( 2.
( ) ( | ) | ( ) √ ) (punto de intersección de r con π, que es ⊥ a π y pasa por P) Entre dos rectas -Si r,s son PARALELAS: ( ) ( ) -Si r,s SE CRUZAN: 1.
Se contiene s en un plano paralelo a r. Se toma un punto cualquiera de r, y distancia punto-plano 2.
⊥ ⊥ La distancia entre ambas rectas es el módulo de los puntos intersección (Puntos GENÉRICOS) 3. FÓRMULA ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ]| | |[ | Entre recta y plano (NO SECANTES) -Si el plano contiene a la recta, la distancia es 0 -Si plano y recta son PARALELOS: ( ) ( ) Pto-plano Entre dos planos -Si ambos planos son coincidentes, la distancia es 0 -Si ambos planos son PARALELOS: ( ) ( ) Pto-plano ÁREAS Y VOLÚMENES Paralelogramo: Triángulo: Paralelepípedo: Tetraedro: |⃗ | ⁄ |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | |[ ⃗ ⁄ |[ ⃗ ⃗⃗ ]| ⃗⃗ ]| TABLA DE DERIVADAS ( ( ( ) ) ( ) ( ) ) ( ( ) FUNCIONES SIMPLES ) ( ) FUNCIONES COMPUESTAS ( √ √ ) √ √ ( ) √ √ √ √ TABLA DE INTEGRALES ) ∫( ∫ ∫ ∫ FUNCIONES COMPUESTAS BARROW FUNCIONES SIMPLES ∫ ( ) ∫ ∫ | | ∫ ∫ ∫ | | ∫ | | ∫ ∫ ∫ ) ∫ ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ √ √ ) ∫ ∫ ∫ ( ) | | ∫ ∫ ∫ [ ( )] ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ √ √ ∫ ∫ MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES Elección uL(log)I(polin)A(arcos)T(trig)E(exp) ∫ ∫ ( ) ...

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