Examen mates 2 trimestres (2014)

Examen Español
Universidad Instituto Químico de Sarriá (IQS)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2014
Páginas 15
Fecha de subida 16/02/2015
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INTEGRACIÓN Y FUNCIONES DE DOS VARIABLES MATEMÁTICAS – Curso 08/09 PARCIAL 3 DE MATEMÁTICAS Modelo A Material permitido:  Ordenador con los programas Wiris y Excel abiertos  Calculadora  Plantilla Material por entregar:  Respuestas al examen por escrito  Enunciado Duración:  Tres horas Hay que redactar las soluciones y explicar el procedimiento seguido. No basta con dar el resultado. Se valorará la claridad y la presentación de las respuestas.
1.
[5 puntos] La función de producción de la empresa de una marca de automóviles, que nos indica la cantidad de producto Q (en cientos de unidades) que se puede obtener en función de la cantidad de mano de obra L y de la cantidad de capital K (en millones de €), tiene la expresión siguiente: Q = 5·K – 0.001·(L – 600)2 + 50 (a) [0,5 puntos] Calcular el dominio y la imagen de esta función de producción interpretando los resultados para esta situación. Representar el dominio.
(b) [1,5 puntos] Representar la gráfica de curvas de nivel de la función de de producción Q e indicar, en la gráfica, las variaciones de la producción cuando K crece y L se mantiene fija y cuando L crece con K fija.
(c) [1,5 puntos] Calcular las dos derivadas parciales de la función de producción y estudiar su signo. Explicar la correspondencia con la gráfica de curvas de nivel del apartado anterior. Interpretar los resultados en términos de la situación descrita.
(d) [0,75 puntos] Calcular el vector gradiente de la función de producción para un capital de 10 millones de € y una mano de obra de 300 empleados. Dar una interpretación en términos del posible comportamiento del productor.
(e) [0,75 puntos] Para los niveles de K y L anteriores, qué variación de K compensaría una disminución de una unidad de L si la empresa no quiere variar su producción actual.
2.
[3 puntos] La función de demanda de esta marca de automóviles viene determinada por el precio unitario de éstos y por la renta de los consumidores, la función que modeliza esta situación es la siguiente: q(p, R) = -15·x – 0.99y-1550 +1000 donde p y R son el precio y la renta (en miles de € y en €, respectivamente).
(a) [0,5 puntos] Determinar dominio e imagen de esta función de demanda.
(b) [1 punto] Calcular la elasticidad de la demanda respecto el precio del producto cuando p = 30 y R = 1500.
Determinar e interpretar qué tipo de demanda tenemos en este caso.
(c) [1,5 puntos] Determinar la elasticidad de la demanda respecto la renta en la misma situación del apartado anterior y explicar qué información os da los resultados obtenidos. ¿Qué sucedería si p = 45 y R = 1500? Comparar con el resultado anterior.
3.
[2 puntos] Los costes de esta empresa se pueden expresar mediante la función: z(x,y) = -500·x·y + 1000 donde x e y representan las cantidades de dos tipos de factores de producción de estos automóviles.
(a) [1 punto] Buscar las cantidades de x e y para las que el coste es mínimo y calcular el valor de el coste mínimo.
(b) [1 punto] Si la empresa solo puede disponer en total de 1500 factores, ¿qué cantidad de x e y permiten obtener un coste mínimo? MATEMÁTICAS – Curso 08/09 CONTROL DE MATEMÁTICAS Modelo A Dada la función de dos variables z ( x, y ) 0.9 x : y 1 (a) [1,5 puntos] Determinar y representar su dominio.
(b) [1 punto] Determinar la imagen.
(c) [2 puntos] Representar la gráfica de curvas de nivel.
(d) [2 puntos] Hacer el estudio de las variaciones de z cuando x crece e y se mantiene fija y cuando y crece con x fija.
(e) [2 puntos] Calcular las derivadas parciales z x' y z 'y , estudiar su signo y explicar la correspondencia con la gráfica de curvas de nivel.
(f) [1,5 puntos] ¿El punto (1,0) pertenece al dominio? Calcular las derivadas parciales en el punto considerado e interpretar los resultados.
1 MATEMÁTICAS – Curso 12/13 5500 y la oferta con 3 q 50 p 2 ln(2 q 10) 5 , donde p es el precio por unidad cuando se demandan u ofertan q unidades (en cientos).
1. La demanda de un producto se puede expresar con la ecuación p .
(a) Simplificar la expresión de la función de demanda y representarla gráficamente indicando sus características principales. Interpretar sus puntos de corte con los ejes de coordenadas en el contexto del problema.
(b) Simplificar la expresión de la función de oferta y representarla gráficamente indicando sus características principales. Interpretar sus puntos de corte con los ejes de coordenadas en el contexto del problema.
(c) Calcular el punto de equilibrio y dar una interpretación del resultado.
(d) Calcular la integral de la función de demanda paso a paso. Hacer lo mismo para la función de oferta.
(e) Calcular el excedente del consumidor y el excedente del productor. Comparar resultados.
2. Una empresa produce dos tipos de caramelos, A y B, con unos costes medios de producción de 2.5 y 3 euros por quilo respectivamente. Las cantidades q A y q B (en quilos) de A y B que pueden venderse cada semana vienen dadas por las funciones de demanda adjuntas: qA 400 ( p B p A ) y qB 400 (9 pA 2 pB ) siendo p A y p B los precios de venta (en euros por quilo) de A y B respectivamente.
(a) Dar la expresión de la función de beneficios de esta empresa expresada en función de las variables p A y p B .
(b) Calcular los precios de venta que maximizan los beneficios de esta empresa.
(c) ¿Cuál es el valor del beneficio máximo? 3. La demanda mensual del producto estrella de una tienda de complementos para la mujer se puede expresar en términos del precio de venta (variable p, en euros) y de la renta media de los consumidores (variable R, en decenas de euros) según la relación siguiente: q ( p, R ) 60 p 810 e 0.003 R 3300 (a) Calcular el dominio y la imagen de la función anterior. Representar el dominio.
(b) Calcular las curvas de nivel de esta función de demanda, representarlas gráficamente y hacer el estudio de variaciones respecto cada una de sus variables por separado.
(c) Calcular la elasticidad de la demanda respecto cada una de sus variables por separado. Estudiar el valor de la elasticidad cuando el precio de venta de este producto es de 8.5 euros y la renta media de los consumidores a los que va dirigido es de 1000 euros. Interpretar al máximo los resultados obtenidos.
(d) Calcular la demanda óptima de este producto estrella si la empresa establece que las variables p y R deben satisfacer la siguiente condición: p 0.02 R 1.75 . Calcular el valor de la demanda óptima.
MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 Tema 4. Integrales y cálculo de áreas 1. Calcular las integrales indefinidas siguientes: (1) 2x dx (2) (2x – 1)dx (10) (11) (3) xdx (4) (3x2 – x + 1)dx (5) x3dx (13) (14) (x5 - 2x2)dx (6) 1 dx x exdx (19) e3x + 1dx (20) (70x + xex )dx (21) ex dx (22) lnxdx (23) ln(2x - 3) dx (24) xlnxdx (25) x2lnx dx 2 2 4x + 1 dx 2 x x + 1 dx 1 dx (2x + 5) (7) x dx (8) x-2dx (16) x x + 1 dx (17) x2 - 2 x + 1 dx x dx (18) x - 1 dx (15) -1 (9) 2.
(12) 3 ( x + 2x)dx Comprobar el valor de las siguientes integrales definidas: 2 (a) 4 (2x + 1)(x - 2) dx = -2ln2 x -1,3863 1 (b) t·et dt = 1 0 x x2 + 1dx = 0 x 2 2-1 3 -x 0,6095 -1 (d) (xe + e )dx = 2 – e 0 (h) 1,6321 x·ex dx = 0,5(e – 1) x+1 x - 1 dx = 2 + 2ln3 4,1972 e (i) 2 (e) 4 2 0 1 4,91 1 1 1 xln x + 1 dx = 3,75ln5 – 1,125 1 e 1 (g) y·(1 + lny) dy = 1,5 1 (c) (f) lnxdx = 1 1 0,8591 1 (j) 0 -0,05 0,95xdx = ln 0,95 0,9748 1 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 3. Determinar el área de la región comprendida entre las curvas siguientes: (a) y = x2/4, y = 0, x = 1, x = 3.
(b) y = x2/4 + 1, y = 1, x = 1, x = 3.
(c) y = (x - 1)(x + 2), y = 0, x = -3, x = 2.
(d) y = x3 – 6x2 + 8x, y = 0.
(e) y = - x2 + x + 1, y = x2 - 2x + 1.
(f) y = 6x - 6x2, y = x2 - 2x.
(g) y = x2 - 4x + 3, y = 0, x = 1, x = 3.
(h) y = x, y = 1/x, x = 2.
(i) y = lnx, y = 1 + x, y = 2, y = 1.
(j) y = x2, y = x2/2, y = 2x.
4. Si (x0;p0) es la cantidad y el precio de equilibrio de un producto, se define el excedente del consumidor como el área comprendida entre la recta p = p0 y la curva de demanda p = fD(x) entre las cantidades 0 y x0. Asimismo, se define el excedente del productor como el área comprendida entre la recta p = p0 y la curva de oferta p= fO(x) entre las cantidades 0 y x0.
Determinar el excedente del consumidor y el del productor en el caso de un producto con las siguientes curvas de oferta y demanda: (a) (b) (c) (d) (e) Demanda: p = 15 – 0,5x Oferta: p = 3 + x 3 2 Demanda: p = 1200 – 2 x Oferta: p = 200 + x2 280 5 Demanda: p = x + 2 Oferta: p = 20 + 2 x Demanda: p = ln(500 – 0,8x) Oferta: p = 0,1x 1 2500 Demanda: p = x + 20 Oferta: p = 80 x 100 5. Consideramos dos empresas de teléfono con diferentes sistemas de tarifas: y1 = 0,60 + 0,10t.
y2 = 0,90 si t 30, y2 = 0,90 + 0,20(t - 30) si t > 30 (a) Representar gráficamente las funciones que expresan, para cada compañía, el precio de la llamada en función de su duración t en segundos. Determinar la tarifa más barata.
(b) Una empresa hace llamadas de entre 0 y 3 minutos que reparte de la siguiente forma: el 30% de las llamadas son de una duración inferior a 1 minuto y el 70% restante de entre 1 y 3 minutos. Determinar cuál de las dos tarifas le interesa más.
6. Considerar las tres tarifas siguientes que dan el precio (en €) de una llamada telefónica en función de su duración (en segundos): y1 = 1,25 si t 60, y1 = 1,25 + 0,03(t - 60) si t > 60.
y2 = 0,50 + 0,02t y3 = 0,20 + 0,75[t/30] (a) Determinar la tarifa más barata en función de la duración de la llamada.
(b) Una empresa hace llamadas de entre 0 y 5 minutos repartidas de la siguiente forma: el 30% de las llamadas son de una duración inferior a 1 minuto, el 60% de entre 1 y 3 minutos y el 10% restante de entre 3 y 5 minutos. Determinar cuál de las tres tarifas le interesa más.
2 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 7. Una empresa de alquiler de un modelo de motos quiere establecer dos sistemas de tarifas diarias por horas, de manera que un cliente pueda alquilar una moto por horas en lugar de hacerlo por un día completo como se hacía hasta el momento. La primera tarifa consiste en pagar 25 € solo por alquilar la moto y 15 € por cada periodo de dos horas a partir de las dos primeras (sin posibilidad de fraccionar estos periodos, función parte entera). La segunda tarifa consiste en pagar 30 € por las cuatro primeras horas más 12 € por cada hora extra (con la posibilidad de no pagar una hora completa, sino una fracción de ésta).
y1 = 25 + 15 · [x / 2] y2 = 30 si x < 4, y2 = 30 + 12 · (x – 4) si x 4.
donde x representa las horas que se ha alquilado la moto.
(a) Determinar la tarifa más barata en función de la duración del alquiler de la moto.
(b) Si una persona suele alquilar estas motos a menudo, de manera que el 35% de las ocasiones las alquila durante menos de 5 horas y el 65% restante entre 5 y 8 horas. Determinar mediante el cálculo de áreas cuál de las dos tarifas le interesaría más.
3 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 Tema 5. Estudio de funciones en varias variables 1.
Dadas las funciones de dos variables z f ( x, y ) siguientes, (a) Determinar y representar su dominio.
(b) Representar la gráfica de curvas de nivel.
(c) Utilizar la calculadora Wiris para visualizar, si es posible, la superficie correspondiente.
(d) Indicar, a partir de la gráfica de curvas de nivel, las variaciones de z cuando x crece e y se mantiene fija y cuando y crece con x fija.
(1) z x y (2) z x2 (3) z x (4) z (x (5) z y y2 1 (x y) 2x (7) z x 2y 1 z 1 x 2 (9) z (10) z x y (11) z x 2 y z 2 y y x (12) z x2 y (21) z x2 y2 (22) z y x2 (23) z y2 x (24) z x2 (25) z 4 x2 y) 2 (6) z (8) (20) y 4 x2 (27) z x2 (29) x y (14) z x 2 x2 2 y2 y2 1 x2 y2 (31) z ln( x) y (32) z ln( x y) z 1,1x y (34) z ex y (35) z ex (33) y y2 y2 z 1 x2 (30) z (13) z y2 (26) z (28) z x 2 y 1 y2 (15) z x y (16) z 1 x y (36) z x2 x y x2 (37) z x2 y ( x 2) (38) z 1 2x 2 (39) z x2 (17) z (18) z (19) z 1 y x2 y 1 x2 y (40) z 1 y x ey x y x ( y 1) MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 (41) z (55) z 1 y e (43) z (5 e (44) z x 2 3 y1 3 (45) z x1 2 y 3 4 (56) z 0 , 002 x z 1 y e (47) z 5 x 0,9 y (48) z 5 x 1,15 y (50) (51) (52) z (54) y ( x 3) 2 (57) z x ( y 1) 2 (58) z x2 (59) z y y2 x ( y 1) (60) z (61) z x2 y2 x y (62) z ln( x y) y y (63) z 0,8 x 2 x y (64) z (10 0,9 x ) (1 0,5 y ) (65) z ln( y (66) z x 10 x y z y2 x 1 z ) (1 e y ) 1 z (53) z ( x 3) 2 x (46) z z x (42) (49) 2.
1 x ey (67) z (68) ( x 3) y z (69) z ( x 3) y (70) z x2 ) 1 0,1x y x 400 0,01 y 1 0,02 x 2 100 y ln(2 x (x y) 3 y) e x La función de demanda de un determinado producto A viene dada por la expresión: q 10 y x donde x es el precio unitario del producto A, y el precio unitario de un producto B relacionado con el anterior (ambos en euros) y q la cantidad demandada de A (en cientos de unidades).
(a) Determinar y representar el dominio de q.
(b) Determinar la imagen de q.
(c) Encontrar la expresión y representar las curvas de nivel de q.
(d) Indicar las variaciones de q cuando x varía e y se mantiene fija y las variaciones de q cuando y varía y x se mantiene fija, usando la gráfica de curvas de nivel.
2 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 Tema 6. Derivadas parciales, cálculo de variaciones y optimización 1. Dadas cada una de las funciones de dos variables z = f(x,y) del tema anterior, (31) z = lnx + y (1) z = xy (2) z = x2 + y (3) z = x – y (32) z = ln(x + y) 2 (33) z = 1,1x + y (4) z = (x + y)2 (34) z = exy (5) z = 1 – (x + y)2 (35) z = ex + y (6) z = 2x + y (36) z = x2 xy (7) z = x – 2y + 1 (37) z = x2 y(x + 2) 2 (8) z = 1 – x – y (9) z = (38) z = 1 + 2x2 + xy y x (39) z = x2 (40) z = xe x (10) z = y (41) z = 1 – xe-y (42) z = 1 + ye-x x+2 (11) z = y (12) z = x(y + 1) y (43) z = (5 – e-0,002x)(1 – e-y) (44) z = x2/3y1/3 x+2 y-1 (45) z = x1/2y3/4 (13) z = x + y (46) z = 1 + ye-x (14) z = x + 2 – y (47) z = 5 – x·0,9·y (15) z = xy (48) z = 5 + x·1,15·y (16) z = 1 + xy (49) z = 1 x-y (50) z = -2 x-y (51) z = 10 x+y (52) z = y2 x+1 (17) z = x2 + y (18) z = 1 – x2 + y (19) z = 1 – x2 – y 2 (20) z = x y (21) z = x2y2 (22) z = y x2 (23) z = y2 x (53) z = (x – 3)y (54) z = (x - 3)y (55) z = (x – 3)2 + y (24) z = x2 + y2 (56) z = (x - 3)2 + y (25) z = 4 – x2 – y2 (57) z = x + (y + 1)2 (26) z = 4 – x2 – y2 (58) z = x2 – y2 (27) z = x2 + y2 (59) z = x(y + 1) (28) z = 2 – x2 + y2 (60) z = x2 - y2 (29) z = 1 + x2 + y2 (61) z = x + y 2 (30) z = 1 + x + y 2 (62) z = ln(x – y) 1 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 (63) z = 0,8x + y (67) z = x + 400 – 0,01y (64) z = (10 – 0,9x)(1 – 0,5y) (68) z = 1 – 0,02x2 – 100y (65) z = ln(y – x2) (69) z = ln(2x – y) + 3 (66) z = 1 + 0,1xy (70) z = (x + y)·ex (a) Calcular las dos derivadas parciales z’x y z’y, estudiar su signo y explicar la correspondencia con el gráfico de curvas de nivel.
(b) Considerar los puntos (1;-2), (-3;0), (2;1) y (-1;-1). ¿Pertenecen al dominio de la función? En caso afirmativo, calcular el vector gradiente de la función en el punto considerado. Representar el vector obtenido en la gráfica de curvas de nivel.
(c) Si la función z = f(x,y) representa los beneficios (en miles de €) de una empresa en función de las cantidades producidas x, y (en miles) de dos productos X e Y: (i) ¿qué representan las derivadas parciales z’x y z’y en el punto (4;2)? (ii) Dada la producción (4;2) anterior, ¿qué es más conveniente para el fabricante a fin de aumentar los beneficios, producir más cantidades de X o de Y? (iii)Para mantener el beneficios de la producción (4;2) anterior, ¿qué variación de la producción de X compensaría el aumento de una unidad de Y? 2. El volumen de ventas de un artículo depende de su precio y de la cantidad que el fabricante se gasta en promoción y publicidad. Sea p el precio, A el gasto mensual y V las ventas mensuales. Si suponemos que se cumple la relación: V = 1000(5 – pe-0,001·A).
(a) Dibujar las gráficas que relacionan V con el precio p para los casos A = 0, A = 500, A = 1000 y A = 1500.
(b) Dibujar las gráficas que relacionan V con el gasto A para los casos p = 1, p = 3, p = 5 y p = 8.
(c) Dibujar la gráfica de curvas de nivel de la función V = f(p;A).
(d) Indicar cómo varían las ventas mensuales cuando sólo aumenta el precio, cuando aumenta la promoción en publicidad y cuando aumentan las dos a la vez.
3. Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas V se incrementa en función del tiempo t y de la cantidad A gastada en publicidad. Se sabe que, con t en meses y A en millares de euros: V = 200(5 – e-0,002A)(1 – e-t).
Calcular las derivadas parciales Vt' y VA' y evaluarlas cuando t = 1 y A = 400. Dar una interpretación de estos valores.
2 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 4. Country Workshop fabrica muebles acabados y sin acabar (por ensamblar) para el hogar. Se estima que la demanda mensual de sus escritorios en versión acabada y sin acabar es, respectivamente, x e y, cuando los precios correspondientes son, en euros: pA = 200 – 0,2x – 0,1y pS = 160 – 0,1x – 0,25y.
(a) Dar la expresión de la función de ingresos totales I(x;y).
(b) Calcular las dos derivadas parciales de I cuando x = 400 e y = 150, interpretando los resultados. Repetirlo con x = 300, y = 350 y con x = 400 e y = 300.
(c) Indicar en cada caso qué variación de y compensaría una disminución de una unidad de x sin modificar el ingreso total. Indicar también, a la inversa, qué variación de x compensaría una disminución de una unidad de y.
5. La producción de un país en los primeros años posteriores a la Segunda Guerra Mundial se puede describir con la función: f(x,y) = 30x2/3y1/3 que indica las unidades producidas utilizando x unidades de mano de obra e y unidades de capital.
(a) Calcular las derivadas parciales de f.
(b) ¿Cuál es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginal del capital cuando se gastan 125 y 27 unidades de mano de obra y de capital respectivamente? (c) En el caso anterior, ¿qué debería hacer el gobierno para incrementar la productividad: incrementar el gasto en mano de obra o alentar la inversión de capital? 6. Hallar los puntos críticos de las funciones siguientes y precisar, en cada caso, si se trata de un máximo, un mínimo o un punto de silla. Determinar también si la función tiene algún máximo o mínimo sujeto a la restricción indicada.
(a) z = x2 – 2xy – y2 + y (b) z = 7y2 + 4xy + x2 + 2 (c) z = 2x2 + 3xy + y2 – 4x – 2y + 1 (d) z = x3 + 3xy2 – 15x – 12y (e) z = ln(y2 – x2) – x + 2y (f) z = x3 + 3x2y + y2 – 1 (g) y3 z = lnx – 3xy + 3 (h) 8 8 z = xy + x + y (i) z = xyex +2y 3 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 (j) z = – x2 + x – xy + y – y2. Restricción x + 5y = 0.
(k) z = – x2 + x – xy + y – y2. Restricción x + 5y = 1.
(l) z = – x2 + x – xy + y – y2. Restricción x + 5y = 2.
(m) z = x + 2y. Restricción y + 2x2 = 0.
(n) z = x + 2y. Restricción y + 2x2 = 1.
(o) z = x + 2y. Restricción y + 2x2 = 2.
(p) z = y – x2 + 2x. Restricción y – 4x = – 6.
(q) z = y – 4x. Restricción y – x2 + 2x = 3.
(r) z = x3 + 2xy + 1. Restricción x + y = 1.
(s) z = x3 + 2xy + 1. Restricción x + y = k. (Discutir en función de k.) (t) z = 2x2y. Restricción x + 2y = 6.
(u) z = 2x2y. Restricción x + 2y = 3.
(v) z = 2x2y. Restricción x + 2y = 0.
(w) z = 2x2y. Restricción x + y = 0.
(x) z = xy. Restricción x2 + y2 = 1.
(y) z = x2 + y2. Restricción xy = 1.
(z) z = x2 + y2. Restricción x + y = 1.
(aa) z = x2 + y2. Restricción x2 + y = 1.
(bb) z = – x2 – y2. Restricción x + y = – 1.
(cc) z = x + y. Restricción x + 4y = 0.
(dd) z = xy. Restricción x + y = 1.
(ee) z = x2 – 3x + xy2. Restricción y = x2.
(ff) z = x3 + y3 – xy. Restricción x + y = 1.
(gg) z = x2 + (y – 3)2. Restricción y = x2.
(hh) z = (x – 1)2 + y2. Restricción y2 – 8x = 0.
(ii) z = ln(1+x2y). Restricción y = x2.
(jj) z = x2 + xy2 + y3 – 5. Restricción 2x + y2 – 12 = 0.
(kk) z = (x – 3)y . Restricción x2 + y2 = 9.
(ll) z = x2 – 6xy + y3. Restricción x – 2y – 6 = 0.
4 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 7. La función de beneficio de una empresa viene determinada por B = – i2 – p2 + 22i + 18p – 102 , donde i es la cantidad invertida en I+D y p la cantidad invertida en publicidad. Calcular los valores de i y p que dan el máximo beneficio y dar el valor del beneficio.
8. La función de inversión neta total de un país es: I = 50 + 8i – 40i2 + 0,6r – 0,03r2.
Calcular los valores de la tasa de interés i y de la renta r que maximizan la función.
Dar el valor de la máxima inversión posible.
Sea U = (1 + x)(1 + y) la función de utilidad para dos bienes consumidos en cantidades x e y.
(a) Determinar el máximo de U bajo la restricción presupuestaria 4x + y =1.
(b) Imponer una restricción presupuestaria del tipo 4x + y = k, bajo la que U sí tenga un máximo con sentido.
9. Una empresa que produce dos bienes A y B quiere hallar las cantidades óptimas para minimizar los costes. Se prevé que, para la fabricación de a miles de unidades de A y b miles de unidades de B, la función de coste total viene dada por la expresión: C = 6a2 +10b2 – ab + 30.
(a) ¿Cuál es la producción óptima? (b) ¿Cuál es la producción óptima si se impone una producción global de 34 mil unidades? (c) ¿Cuál es la producción óptima si se impone una producción global de 35 mil unidades? 10. La función de producción de una pequeña fábrica viene dada por P = xy, donde x e y son las cantidades utilizadas de 2 materias para producir la cantidad P del producto. Los costes unitarios de estas dos materias son de 20 y 40 euros respectivamente.
(a) Expresar la función de coste total C.
(b) Si se quieren fabricar 5 000 artículos, ¿qué cantidades x e y se deben utilizar para que el coste sea mínimo? (c) Con un presupuesto de 4 000 euros, ¿qué producción máxima se puede obtener? ¿Y con un presupuesto de 3 000 euros? 11. El nivel de producción P de una empresa para un determinado producto es de 1024 unidades y depende de dos factores q1 y q2 según la relación P = q12q22. Si sabemos que los precios por unidad de q1 y q2 son de 10 € y 20 € respectivamente, dar la función de costes C y determinar los factores de producción que minimizan los costes.
12. Un empresario produce dos artículos en cantidades x e y. Producir una unidad del primer artículo le cuesta 20x + y, mientras que producir una unidad del segundo le cuesta 20y. Además, la empresa tiene unos costes fijos de 40. El empresario desea minimizar el coste manteniendo el nivel de producción de 290 unidades. Calcular el coste mínimo e indicar si al empresario le interesa aumentar o disminuir el nivel de producción actual.
5 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 13. El nivel de producción P de una empresa es P = 2 q1 q2 , donde q1 y q2 son las cantidades de dos materias primas. Los costes unitarios para cada materia son de 12 € y 3 € respectivamente, y el coste fijo es de 34 €. La empresa quiere que el coste total sea exactamente 418 €. Calcular las cantidades de cada materia que se tendrán que utilizar para maximizar la producción. Indicar qué pasaría si la empresa decide rebajar el coste total una unidad.
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