Examen Parcial Primavera 2011 (2) (2011)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura ACAL
Año del apunte 2011
Páginas 2
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

` CALCUL AVANC ¸ AT ETSETB 16-05-2011 Temps: 1h Justifiqueu tots els passos 1. Siguin f (x, y) = x + y i D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1, (x − 1)2 + y 2 ≤ 1}.
(a) Raoneu que D ´es un conjunt compacte. Podem assegurar que f t´e extrems absoluts a D? (b) Trobeu els punts cr´ıtics de f a D.
(c) Trobeu, mitjan¸cant el m`etode dels multiplicadors de Lagrange, els extrems condicionats de f a la frontera de D.
(d) Digueu quan valen el m`axim i el m´ınim absoluts de f a D i on s’assoleixen.
3 2. Considereu el camp vectorial f⃗(x, y) = (−y + x2 , x + yey ) i γ l’arc de circumfer`encia {x2 + y 2 = 1, y ≥ 0}, recorregut des de (−1, 0) a (1, 0). Calculeu ∫ ⃗ f⃗ · dℓ.
γ Indicaci´ o: feu servir la f´ormula de Green en una regi´o adient.
´ RESOLUCIO.
1. a) D ´es tancat, perqu`e est`a definit mitja¸cant desigualtats no estrictes i funcions cont´ınues en R2 – s´on polinomis –, que ´es tancat. A m´es, D ´es acotat, perqu`e est`a contingut a la bola tancada de radi 1.
Per tant, ´es compacte. Com f ´es una funci´o cont´ınua a D, podem assegurar que t´e m`axim i m´ınim absoluts.
b) Els punts cr´ıtics s´on els que satisfan Df (x, y) = (0, 0). En el nostre cas, Df (x, y) = (1, 1) ̸= (0, 0).
Per tant, f no t´e punts cr´ıtics.
c) Tenim que Fr D = {x2 + y 2 = 1, (x − 1)2 + y 2 < 1} ∪ {x2 + y 2 < 1, (x − 1)2 + y 2 = 1} ∪ {x2 + y 2 = 1, (x − 1)2 + y 2 = 1}.
Extrems condicionats a {x2 + y 2 = 1, (x − 1)2 + y 2 < 1}. Han de satisfer  2 2   x + y = 1, 1 = 2λx,   1 = 2λy.
De les dues darreres equacions tenim que tant x, com y i λ han de ser√diferents x = y.
√ de 0 i, per √ tant,√ Substitu¨ınt a la primera, tenim que 2x2 = 1. Obtenim els punts ( 2/2, 2/2) i (− 2/2, − 2/2).
D’aquests dos punts, nom´es el primer satisf`a (x − 1)2 + y 2 < 1.
Extrems condicionats a {x2 + y 2 < 1, (x − 1)2 + y 2 = 1}. Han de satisfer  2 2   (x − 1) + y = 1,   1 = 2λ(x − 1), 1 = 2λy.
De les dues darreres equacions tenim que tant x − 1, com y i λ han de ser diferents √ de 0 i, per tant, 2 2/2. Per tant, x − 1 = y. Substitu¨ınt√a la √ primera, tenim que 2(x − 1) = 1, es a dir, x = 1 ± √ √ obtenim els punts (1 + 2/2, 2/2) i (1 − 2/2, − 2/2). D’aquests dos punts, nom´es el segon satisf`a x2 + y 2 < 1.
Els punts que satisfan { (x − 1)2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 1, s’obtenen restant ambdues equacions, amb la qual cosa queda (x − 1)2 √ − x2 = 0 i, per √ tant, x = 1/2.
Substitu¨ınt en qualsevol de les dues equacions, obtenim els punts (1/2, 3/2) i (1/2, − 3/2).
d) Sabem que els extrems han de estar en alguns dels punts que hem trobat. Avaluem f en tots ells: (√ √ ) ( √ ) √ √ √ 2 2 2 2 , = 2, ,− = 1 − 2, f f 1− 2 2 2 2 ( ( √ ) √ √ √ ) 1+ 3 1 1− 3 1 3 3 , = , f ,− = f 2 2 2 2 2 2 √ √ √ √ √ √ Per tant, el m`axim est`a a ( 2/2, 2/2) i val 2 i el m´ınim est`a a (1 − 2/2, − 2/2) i val 1 − 2.
2. Considerem el recinte D = {x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}. La frontera de D, orientada positivament, ´es ∂D = −γ + γ˜ , on γ ´es la corba de l’enunciat i γ˜ (t) = (t, 0), t ∈ [−1, 1].
Com f⃗ ´es C 1 a D, podem aplicar la f´ormula de Green i obtenim ) ∫ ( ∫ ∫ ∂Q ∂P ⃗ ⃗ ⃗ (x, y) − (x, y) dx dy = − f · dℓ + f⃗ · dℓ.
(1) ∂x ∂y D γ γ ˜ Anomenant f⃗ = (P, Q), tenim que ∂Q ∂P (x, y) − (x, y) = 2.
∂x ∂y Com D ´es mitja circumfer`encia de radi 1, ) ∫ ( ∫ ∂Q ∂P (x, y) − (x, y) dx dy = 2 dx dy = π.
∂x ∂y D D A m´es ∫ ∫ ⃗ = f⃗ · dℓ γ ˜ Substitu¨ınt (2) i (3) en (1) obtenim ∫ 1 −1 ⟨f⃗(t, 0), (1, 0)⟩ dt = ∫ ⃗ = 2 − π.
f⃗ · dℓ 3 γ 1 t2 dt = −1 2 .
3 (2) (3) ...