Moviment ondulatori (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2014
Páginas 21
Fecha de subida 10/08/2014
Descargas 5
Subido por

Vista previa del texto

Moviment Ondulatori 1- Característiques Moviment ondulatori:Es produeix un moviment ondulatori quan es propaga una pertorbació en un medi material o en el buit. No existeix transport de matèria, només d’energia i de quantitat de moviment.
Tipus d’ones: Segons el medi en que es propaguen En un medi ones elàstiques En el buit ones electromagnètiques Segons la direcció de vibració: Ones transversals: les partícules oscil·len en direcció perpendicular a la de la propagació Ones longitudinals:les partícules oscil·len en la mateixa direcció a la de la propagació Ones superficials: pròpies de la superfície dels líquids, les partícules descriuen trajectòries circulars Segons la variació temporal -Ones periòdiques Ones harmòniques Ones no harmòniques (Fourier) -Ones no periòdiques Quina magnitud caracteritza una ona??? y x -Una corda -El so la coordenada vertical la pressió -Ones elctromagnètiques (camp elèctric o camp magnètic) Ones electromagnètiques Velocitat de propagació La velocitat de propagació d’una ona depèn del medi i de les seves propietats físiques!!! Exemples: Ones en una corda En un sòlid Ones mecàniques Ones sonores En un líquid En un gas En el buit c=300.000 km/s En un medi nc v Velocitat de propagació Aire/buit líquid Sòlid Ones electromagnètiques 300.000 km/s (c) Més petita Més petita c v n 340 m/s Aigua 1500 m/s Vidre 5260 m/s Ones electromagnètiques n :índex de refracció n Ones mecàniques so c v Energia de les ones Considerem una font que emet ones en totes direccions. S’anomena Front d’ona als punts de l’espai que estan en el mateix estat de vibració. A l’espai superfícies esfèriques concèntriques amb la font. Anomenem raigs a qualsevol direcció de propagació direcció radial Focus molt llunyà Fronts d’ona seran plans raigs paral·lels F Ona bidimensional Si la font emet a una potència P, s’anomena intensitat, I,a la potència rebuda per unitat de superfície a una distància r de la font.
I P P  S 4 π r2 Recordem que l’energia, i per tant, la intensitat, és proporcional al quadrat de l’amplitud del moviment ondulatori!! Potència transmesa per una ona mecànica harmònica Intensitat transmesa per una ona mecànica harmònica 1 ρ S v ω2 A 2 2 1 I  ρ v ω2A 2 2 P On  és la densitat del medi on es propaga l’ona, S: secció considerada, : pulsació, A amplitud de les oscil·lacions Anem a analitzar la intensitat per al cas d’una ona acústica En el cas del so és usual definir la intensitat normalitzada respecta a l’umbral d’audició humana I0= 10-12 W/m2 β  10 log I I 0 Forma matemàtica: Funció d’ona Ex: corda lligada per una banda a la paret y x v: velocitat de la pertorbació x: direcció per la qual es desplaça la pertorbació.
v y: estat de la corda (elongació) y  f(x, t) y y’ x=vt O x 2 sistemes de referència: v (y,x) estacionari O’ (y’,x’) es desplaça amb el pols (el pols és estacionari en aquest sistema) x’ Les coordenades en els dos sistemes de referència estan relacionades : y  y' x  x'  v t Així, la forma de la corda en el sistema de referència original O es pot escriure com: y  y'  f(x' )  y  y(x  v t) En el cas de tenir un tren de polsos sinusoidals Funció d’ona ones harmòniques Ones Harmòniques y F Doble periodicitat: en l’espai i en el temps x Temps fixat y  x fixat y T A t x y(x)  A sin K x  k 2π λ 2π ω λ v  K  K T 2π ω Per descriure una ona que viatja cap a la dreta amb velocitat v, substituïm x per x-vt, la funció d’ona quedarà: y(x, t)  A sin k(x  vt)  A sin (K x  ω t) La llum és una ona electromagnètica  y  E  E 0 sin K x  ω t  2- Superposició d’ones Quan en un punt de l’espai arriben 2 o més fronts d’ona, es superposen donant lloc a una interferència Superposició de 2 ones amb la mateixa amplitud i freqüència P x1 F x2 E1  E 0 sin K x1  ω t  E 2  E 0 sin K x 2  ω t  F’  k(x1  x 2 )   x  x2  E T  E1  E 2  2 E 0 cos )  ωt  sin  k ( 1 2 2     Ones en fase Ona resultant Ones en oposició de fase Ona resultant   x  x2  k(x1  x 2 )  E T  E1  E 2  2 E 0 cos )  ωt  sin  k ( 1 2 2     Amplitud Aresultant màxima Aresultant mínima cos( )=±1 x1 –x2 = m  cos( ) = 0 x1 –x2 = (2m+1) /2 On m = 0,1,2,3 ....
Condicions necessàries per observar les interferències: Les dues fonts han de ser coherents.
Ones monocromàtiques.
Estudi d’aquest fenomen per al cas de la llum Experiment de Young de la doble escletxa P x2 d  Sobre la pantalla: una successió de màxims i mínims y x1  Posició dels màxims i mínims y=0 Δ x  d sinθ L Δxmλ Màxim Δ x  (2m  1) Mínim On m =  0,1,2,3,4,5  λ 2 Sobre la pantalla: Màxim Mínim   Δ x  d sinθ  m λ  Δ x  d sinθ  (2m  1) sin θ  tg θ  y L y mλL  m λ  y max  d L y λ λL  y min  (2m  1) d  (2m  1) L 2 2d d λ 2 Hem parlat d’interferències del camp elèctric associat a la llum, però hem de fer notar que sobre la pantalla es veu intensitat, I, de la llum, no camp elèctric.
Intensitat  I  energia temps superfície Ara bé, l’energia és proporcional a l’amplitud al quadrat del camp elèctric.
E1  E 0 sin ω t on    k Δx E 2  E 0 sin (ω t   )      2 E cos sin ω t      T 0 2 2  2    la intensitat total  I T   2 E 0 cos( )  2   E Per a 1 focus I 0  E 02  I T  4 I 0 cos 2 ( ) 2 Tenint en compte que  2  k Δx 2  mλL d mλ sinθ  d y max  max 4I0 -2 L/d - L/d -2/d - /d 0 0 L/d 2 L/d /d 2/d y sin  Superposició d’ones pel mètode de representació vectorial Les ones han de tenir mateixa freqüència però poden tenir diferent amplitud E1  E10 sin ω t  1  on E 2  E 20 sin ω t   2  on 1   k x1 2   k x2 E 2  E 20 ei(ω t   2 ) E1  E10 ei(ω t  1 ) ET0 E20 2 T E10 1 t=0 E Tx  E10 cos1  E 20 cos 2 E Ty  E10 sin1  E 20 sin 2 E T0  ETx2  ETy2  tg  T  E Ty E Tx Si les freqüències son lleugerament diferents pulsacions 3- Ones estacionàries Quan les ones estan confinades en un espai, es produeixen reflexions en els extrems i per tant existeixen ones que es mouen en els dos sentits, superposantse i donant lloc a ones estacionàries. Ex: ones en cordes d’instruments musicals, Reflexió d’ones en barreres Simulació Reflexió en un extrem lliure Reflexió en un extrem fixat sense canvi de fase canvi de fase de 180° Ones estacionàries Suposem dues ones que es propaguen en direccions contràries i tenen mateixa amplitud, freqüència, velocitat de propagació i fase y1  A sin (k x   t) y 2  A sin (k x   t) y1  y 2  2 A cos (ω t) sin(k x) Això correspon a una ona que no es desplaça. Hi ha punts que no oscil·len (nodes) i punts amb màxima amplitud d'oscil·lació (ventres o antinodes) Posició dels nodes x=0, /2, , (3/2), 2 etc..
Posició dels antinodes x= /4,( ¾), (5/4), etc..
Ones estacionàries en cordes Els dos extrems tancats λn  2L n fn  nv 2L (n 1, 2, 3, ...) (n 1, 2, 3...) Ones estacionàries en en tubs d’aire 2L n (n  1, 2, 3, ...) nv 2L (n 1, 2, 3...) λn  fn  λn  4L n fn  nv 4L (n 1, 3, 5, ...) (n 1, 3, 5...) 5- Efecte Doppler Quan un focus productor d’ones i un receptor s’estan movent un respecte de l’altre, la freqüència emesa pel emisor no és la mateixa que la rebuda pel receptor.
Exemples: - Xiulet de tren - Radar (Velocimetria per radar o Sonar Doppler, - Ones de xoc - Astrofísica (moviments d’estels i galàxies) Si l’observador i la font no es mouen la freqüència de l’ona que veu l’observador és la freqüència real v fr  λ A) Font mòbil i l’observador fix Quan la font es desplaça a la velocitat vf en el mateix sentit que l’ona , disminueix la longitud d’ona.
λ davant  λ real  v F T λ darrera  λ real  v F T f davant  f ap  v λ davant f darrera  f ap   f real v λ darrera v v  vF  f real v v  vF B) Font fixa i l’observador mòbil: Si l’observador es mou cap a la font amb una velocitat v0, aquest veu que l’ona viatja amb una velocitat relativa v’= v + v0 , i , per tant , té associada una freqüència fap f ap  v  v0 v  f r (1  o )  λ v En el cas que l’observador s’allunya de la font, la velocitat relativa serà: v’=v-v0 fa p  v0 Font mòbil Observador fix Font fixa Observador mòbil Font i observador mòbils f ap  f real v  v0 v  f r (1  o )  λ v v v  vF f ap  f r (1  -s’acosta a l’observador +s’allunya vo ) v f ap  f real +s’acosta a la font -s’allunya v  v0 v  vF Una fórmula més senzilla Ex: Cas en que la font es mou cap l’observador amb velocitat vF i l’observador s’allunya amb una velocitat v0.
vF v0 velocitat relativa En aquest cas , el canvi en la freqüència: f ap  f real u=vF-v0 v  v0 v  vF Si les velocitats del focus i de l’observador son petites comparades amb la de l’ona, es pot trobar una fórmula mes senzilla.
Definim el canvi relatiu en la freqüència: Δ f f ap  f r  fr fr Desenvolupant aquesta expressió: Δf u  fr v (u  v) Cas pràctic : vF= 20m/s, v0=30 m/s v=340 m/s El signe l’elegirem tenint en compte que la freqüència augmenta quan el focus i el receptor s’aproximen entre sí Ones de xoc En aquest cas la velocitat de la font (vF) >> que la velocitat de l’ona (v) Número de Mach : vF M v 1 subsònic 2 Mach 1 3 supersònic 4 ones de xoc  sin α  Vt v t v  vF t vF vF t Ex: Un avió supersònic vola a una altura de 15 km. L’esclat sònic associat a l’ona de xoc que genera arriba a terra (punt P) quan l’avió està a 22 km d’aquest punt (punt A). Quina velocitat, va porta l’avió?. Calculeu també el número de Mach de l’avió. Quins canvis hauríem de considerar si hi hagués vent? Va t O  Vt A  P 22 km 15 km RESUM Font mòbil Observador fix Font fixa Observador mòbil Font i observador mòbils Aproximat: Δf u  fr v f ap  f real v v  vF f ap  f r (1  -s’acosta a l’observador +s’allunya vo ) v f ap  f real +s’acosta a la font -s’allunya v  v0 v  vF Δ f f ap  f r  fr fr (u  v) El signe l’elegirem tenint en compte que la freqüència augmenta quan el focus i el receptor s’aproximen entre sí ...