P_5 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Física Nuclear i de Partícules
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 21/06/2014
Descargas 3
Subido por

Vista previa del texto

n 5.
a) Doneu una estimaci´ o del radi dels nuclis amb nombre m`assic A = 27 sabent que l’energia cin`etica m` axima dels positrons emesos en la desintegraci´o 27 14 Si æ 27 Al + e+ + ‹ ´ e es de 4.81 MeV.
13 27 b) Quina ´es la tercera component d’isospin (I3 ) dels nuclis 27 14 Si i 13 Al? Raona quin ´es el valor de l’isospin (I) dels estats fonamentals d’aquests nuclis.
Soluci´ o: a) Quan a teoria vam introduir la f´ormula semiemp´ırica de masses, un dels termes que hi havia, redu¨ıa el lligam del nucli com a conseq¨ u`encia de la repulsi´o coulombiana existent entre els constituents del mateix, el que anomenem terme de Coulomb.
Per quantificar la contribuci´ o coulombiana, el que fem doncs, ´es considerar el nucli com una esfera de radi R amb c`arrega Ze distribu¨ıda uniformement. L’energia electrost` atica d’aquest sistema (distribuci´o de c`arrega cont´ınua), ´es 1 U= 2 s ⁄ fl(x)V (x)dx.
(0.108) Mitjan¸cant el teorema de Gauss: E · dS = 4fiqint. , podem determinar el camp el`ectric a dins i a fora de l’esfera. Donada la simetria del problema, el camp el`ectric ´es radial i funci´ o u ´nicament d’r. Posteriorment, el potencial el trobem integrant E = ≠ÒV .
Ens interessa el potencial a dins l’esfera; a fora, fl(x) = 0, i el potencial per r > R no contribueix a l’energia electrost`atica. El resultat que es troba ´es: A B Ze r2 3 V (r Æ R) = ≠ 2+ .
R 2R 2 Aleshores, 1 U= fl 2 ⁄ V (r)4fir2 dr = . . . = 3 (Ze)2 .
5 R (0.109) (0.110) Utilitzant la relaci´ o R = r0 A1/3 , resulta que U= 3 e2 Z 2 .
5 r0 A1/3 (0.111) Comparant aquest u ´ltim resultat amb el terme de Coulomb de la f´ormula semiemp´ırica 2 de masses, ≥ aC Z /A1/3 , podem identificar aC = 3 e2 .
5 r0 (0.112) En l’entrega anterior, pel mateix proc´es que es descriu en aquest problema, hem trobat que 1 aC = (mn ≠ mp + Ke+ + me+ ) .
(0.113) 9 23 Igualant (0.112) i (0.113), podem a¨ıllar r0 , r0 = 27 e2 .
5 mn ≠ mp + Ke+ + me+ (0.114) Num`ericament (– = e2 /(~c) ƒ 1/137, ~c = 197.327 MeV·fm), r0 = 1.18 fm. Aleshores, per A = 27, el radi caracter´ıstic d’un nucli ´es: R = r0 A1/3 = 3.54 fm.
b) Els protons tenen tercera component d’isospin I3 = 1/2, mentre que els neutrons tenen I3 = ≠1/2. Atesos a que la tercera component d’isospin ´es un nombre qu`antic que es pot sumar, se segueix que (a) (b) 27 Si 27 Si: 14 14 protons + 13 neutrons =∆ I314 27 Al: 13 13 protons + 14 neutrons =∆ I3 = (14 ≠ 13)1/2 = 1/2, 27 Al 13 = (13 ≠ 14)1/2 = ≠1/2.
Per nuclis asim`etrics amb asimetria imparell (difer`encia entre el nombre de protons i neutrons, imparell), la tercera component d’isospin ´es semi-entera. Per aquesta ra´o, l’isospin total d’aquests nuclis tamb´e ha de ser semi-enter. En particular, pels nuclis de l’enunciat l’asimetria ´es ±1, i per tant, tal com acabem de veure I3 = ±1/2. Esperem doncs, que en l’estat fonamental l’isospin d’aquests nuclis sigui I = 1/2.
24 ...