EDOs (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas Audiovisuales - 1º curso
Asignatura ALED
Año del apunte 2013
Páginas 3
Fecha de subida 18/05/2014
Descargas 8
Subido por

Descripción

Resumen sobre Ecuaciones Diferenciales

Vista previa del texto

EQUACIONS DIFERENCIALS L’ordre d’una EDO és l’ordre de la derivada més gran que hi apareix (n).
1) Equacions diferencials de PRIMER ordre y’ = f (x,y) Exemple: y’ = 2y/x dy/dx = 2y/x y(2) = 4 ʃdy/y = ʃ2dx/x In(y) = 2·In(x) + K eIn(y) = eIn(x^2) + eK y(x) = C·x2 Comprovació: y’(x) = 2Cx = 2Cx2/x = 2Cx y(2) = C·4 = 4 C=1 y(x) = x2 Interpretació geomètrica Si tenim l’EDO de primer ordre, les solucions y(x) verifiquen que per a cada punt la pendent de la recta tangent a la corba solucióval f (x0,y0).
y = mx + n y’ = m Equacions de VARIABLES SEPARABLES y’ = g(x)/h(x) Exemple:y’ = (x2 - 1)/y2 2 2 dy/dx = (x2 - 1)/y2 ʃdy · y = ʃ(x -1)dx y3/3 = (x3/3) – x + C 2) Equacions diferencials LINEALS y’ = a(x)y = f(x) Aplicació lineal: L(y) = y’ a(x)y (i) L(y1 + y2) = L(y1) + L(y2) (ii) L(α·y1) = α · L(y1) Solucions generals EDO: {y|L(y) = f(x)} = yp + {y|L(y) = 0} Passos a seguir per a solucionarla: 1. Solucionem l’homogènia (yH) y’ + a(x)y = 0 dy/dx = -a(x)y dy/y = -a(x)dx In(y) = -ʃa(x)dx + K y = e-ʃa(x)dx + eK yH = C·e-ʃa(x)dx 2. Trobar solució particular (yP) Mètode de variació de constants: yp = C(x) ·e-ʃa(x)dx Imposem que verifiqui l’EDLineal: y’ + a(x)yp = f(x) C’(x) ·e-ʃa(x)dx – C(x) · a(x) ·e-ʃa(x)dx + a(x) · C(x) ·e-ʃa(x)dx = f(x) C’(x) ·e-ʃa(x)dx = f(x) C’(x) = f(x) ·e-ʃa(x)dx C(x) = ʃ f(x) ·eʃa(x)dx + K yp = (ʃ f(x) ·eʃa(x)dx )·e-ʃa(x)dx 3. Trobar la solució general yG= yp + yH yG= [(ʃ f(x) ·eʃa(x)dx )·e-ʃa(x)dx] + (C·e-ʃa(x)dx) 3) Equacions diferencials HOMOGÈNIES Funció homogènia d’ordre p si f(λx) = λp · f(x), és homogènia si la f és homogènia de grau 0.
Exemple:f (x,y) = (x + y)/(x – y) y’ = f (x,y) f (λ(x,y)) = f (λx,λy) = λ(x + y)/λ(x – y) = λ0 · [(x + y)/(x – y)] Si observem que és homogènia per a resoldre-la haurem d’utilitzar el canvi de variable.
4) Equacions diferencials EXACTES P (x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 verificant: ∂P/∂y = ∂Q/∂x Existeix una funció U (x,y) tal que... ∂U/∂x = P ∂Q/∂y = Q La solució de la EDO és U (x,y) = C Exemple: (4x3 + y) dx + (x + 2y) dy = 0 ∂P/∂y =1 = ∂Q/∂x P = ∂U/∂x = 4x3 + y U (x,y) = x4 + yx + h(y) U (x,y) = x4 + y2 + xy U (x,y) = xy + y2 + k(x) Q = ∂Q/∂y = x + 2y Trajectòries ortogonals: Corbes ortogonals si tangents ortogonals. Donada y’ = f (x,y) ortogonals = y’ = -1/f (x,y).
5) Equacions diferencials d’ORDRE N L(y) = f(t) yG = yH+ yp = NucL + yp Assagem solucions del tipus y(t) = ert • Cas 1: Arrels reals i simples: P(r) = 0 té n arrels. Per tant, yH = C1 · er1·x + ... + Cn· ern·x • Cas 2: Arrels reals múltiples: Suposem que r és arrel de multiplicitat k yH = erx, x·erx, ... , xk-1·erx • Cas 3: Arrels complexes simples: Si a + bj es arrel llavors a – bj també és arrel.
a + bj eax· cos (bx) a – bj eax·sin (bx) • Cas 4: Arrels complexes múltiples: a + bj / a – bj són arrels de multiplicitat k.
Seran solucions: eax· cos (bx), x·eax· cos (bx), ... , xk-1 · eax· cos (bx) eax· sin (bx), x·eax· sin (bx), ... , xk-1 · eax· sin (bx) corbes 6) Equacions diferencials lineals NO HOMOGÈNIES Necessitem yP Mètode de la conjectura prudent: 1. Si f(t) és un polinomi: yP = Axn + ... + Z Excepció: Si 0 es arrel característica de multiplicitat k yP = tk · (Axn + ... + Z) 2. Si f(t) és un polinomi exponencial: yP= eαt · (Axn + ... + Z) Excepció: Siα es arrel característica de multiplicitat k yP = tk · eαt · (Axn + ... + Z) 3. Si f(t) és de la forma: f(t) = eαt · [pn(t) · cos(bt) + pm · son(bt)] yP = eαt · [ SN(t) · cos (bt) + TN(t) · sin (bt)] Excepció: Siα + bj es arrel característica de multiplicitat k yP = tk · eαt · [ SN(t) · cos (bt) + TN(t) · sin (bt)] 7) Principi de superposició de solucions Donada l’edo any(n) + ... + a1y’ + a0y = f1(t) + f2(t) on f1(t) i f2(t) son dels tipus anteriors. Assagem: yP1 és del tipus f1(t) yP = yP1 + yP2 yP2 és del tipus f2(t) ...