SFE_1.14 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

1.14 Problema: Barra amb conductivitat t` ermica inhomog` enia. Tenim una barra conductora de longitud 2l composta d’un material inhomogeni amb conductivitat t`ermica donada per Ÿ(x, T ) = L(x)/T 2 , amb L(x) = L0 / cosh(ax) i on L0 i a s´on constants. Mantenim els extrems x = ≠l i x = l fixats a les temperatures T1 i T2 respectivament (T1 > T2 ).
(a) Escriviu l’equaci´ o d’evoluci´o per a T (x, t).
(b) Trobeu la soluci´ o estacion` aria T (x; a, L0 ). Escriviu-la en funci´ o de T1 i T2 .
(c) Trobeu la producci´ o d’entropia total per unitat de temps Pst a l’estat estacionari, en funci´ o de T1 , T2 i la resta de par`ametres.
(d) Trobeu la producci´ o d’entropia total per unitat de temps Pi per a una condici´o inicial Ti (x) donada per Ti (x) = T (x; a = 0, L0 ), ´es a dir, el que seria l’estat estacionari del mateix problema amb a = 0. Determinar quina de les dues quantitats Pst o Pi ´es m´es gran, comparant als ordres m´es baixos en al. Raonar si aix`o ha de ser sempre aix´ı, independentment de la condici´o inicial.
(e) Demostrar que dP dt < 0 per a qualsevol L(x) (definida positiva) suposant que les temperatures als extrems s´on independents del temps.
Soluci´ o: (a) Respecte els casos que hem tractat fins ara, en aquest problema tenim una barra tal que la seva conductivitat t`ermica dep`en de la posici´o i de la temperatura. Per trobar l’equaci´ o d’evoluci´ o considerem l’equaci´o d’estat que ens proporciona la termodin`amica, flE (x, t) = c(x)T (x, t), juntament amb l’equaci´o de continu¨ıtat (en abs`encia de fonts i ˛ · ˛äE (x, t) = 0. Ajuntant-ho, unidimensional), ˆt flE (x, t) + Ò c(x) ˆT (x, t) ˛ + Ò · ˛äE (x, t) = 0.
ˆt (0.143) Ja que ens donen la conductivitat t`ermica, considerem tamb´e la llei de Fourier, ˛ä(x, t) = ≠Ÿ(x, T )ˆx T (x, t)˛ex . Per aquest cas particular es pot escriure, ˛äE (x, t) = ≠ L(x) ˆT (x, t) ˆ ˛ex = L(x) 2 T (x, t) ˆx ˆx 3 4 1 ˛ex .
T (x, t) (0.144) Substituint l’expressi´ o per a la llei de Fourier que acabam de trobar en l’equaci´o (0.143), resulta que c(x) 5 ˆT (x, t) ˆ ˆ + L(x) ˆt ˆx ˆx 3 1 T (x, t) 46 =0 (0.145) (b) La soluci´ o estacion` aria, i.e. la independent del temps, verificar`a ˆt T (x) = 0. Per tant, l’equaci´ o (0.145) esdev´e (a partir d’ara les derivades parcials s´on totals), 5 d d L(x) dx dx 3 1 T (x) 46 = 0 =∆ L(x) 30 d dx 3 1 T (x) 4 = A.
(0.146) Posant el que val la funci´ o L(x) i intengrant aquesta darrera equaci´o, trobam que el perfil de temperatures ´es de la forma 1 A = sinh(ax) + B.
T (x) aL0 (0.147) Per determinar que valen les constants imposem les seg¨ uents condicions de contorn: T (≠l) = T1 T (+l) = T2 J =∆ A= T1 ≠ T2 aL0 T1 + T2 , B= .
2T1 T2 sinh(al) 2T1 T2 (0.148) Susbstituint A i B es t´e 1 T1 ≠ T2 sinh(ax) T1 + T2 = + =∆ T (x) 2T1 T2 sinh(al) 2T1 T2 T (x) = 2T1 T2 /(T1 + T2 ) T1 ≠T2 sinh(ax) T1 +T2 sinh(al) +1 (0.149) (c) Per trobar la producci´ o d’entropia total, primer calculam la producci´o d’entropia en cada punt de la barra, ‡S (x), i posteriorment integram sobre tota la barra. Fent-ho com en l’apartat (c) de l’exc. 1.6, arribam a: ˛ ‡S (x) = ˛äE (x) · Ò 3 4 1 .
T (x) (0.150) Utilitzant la llei de Fourier (0.144) en l’expressi´o anterior, se segueix, d ‡S (x) = L(x) dx 3 1 T (x) 4 d dx 3 1 T (x) 4 5 d = L(x) dx 3 1 T (x) 462 (0.151) .
Aquesta u ´ltima expressi´ o per a la producci´o local d’entropia ´es completament general (a dins del model del problema), val ’ perfil T (x). En particular, considerant (0.146), pel perfil estacionari resulta que ‡S (x) = A d dx 3 4 1 .
T (x) (0.152) Per tant, la producci´ o d’entropia total ser`a ⁄ 3 4 ⁄ +l d 1 3 4 1 1 ≠ T (+l) T (≠l) V ≠l dx T (x) 3 4 A A 2SA2 = SA sinh(+l) + B ≠ sinh(≠l) ≠ B = sinh(al).
aL0 aL0 aL0 ‡ST = ‡S (x)dV = SA dx = SA (0.153) Finalment, substituint el valor de la constant A, trobam que la producci´o total d’entropia ´es: 3 4 SaL0 T1 ≠ T2 2 T ‡S = Ø0 (0.154) 2 sinh(al) T1 T2 (d) Ara suposem que imposem un perfil inicial a la nostra barra, el qual es correspon amb la temperatura estacion` aria de la barra si a f´os zero, Ti (x) = 2T1 T2 /(T1 + T2 ) .
T1 ≠T2 x T1 +T2 l + 1 31 (0.155) Imposat aquest perfil, volem calcular quina ´es la producci´o d’entropia que es produeix a l’interior de la barra. Anem a la f´ormula (0.151) i hi posam Ti (x), ‡Si (x) = L(x) 5 d dx 3 1 Ti (x) 462 = L0 cosh(ax) 3 T1 ≠ T2 2T1 T2 l Per tant, per aquest perfil la producci´o d’entropia total ´es: ⁄ 3 T1 ≠ T2 2T1 T2 l 42 (0.156) .
42 ⁄ +l dx cosh(ax) V ≠l 3 4 3 ; 3 4< ; 3 4<4 (0.157) T1 ≠ T2 2 2 al al = SL0 arctan tanh ≠ arctan tanh ≠ , 2T1 T2 l a 2 2 Õ ‡ST = ‡Si (x)dV = SL0 utilitzant que tant la tangent com la tangent hiperb`olica s´on imparells, finalment Õ ‡ST 4SL0 = a 3 T1 ≠ T2 2T1 T2 l 42 ; 3 al arctan tanh 2 4< (0.158) Õ Per comparar ‡ST i ‡ST , calculam el quocient ; Õ 3 ‡ST 2 al = sinh(al) arctan tanh T 2 (al) 2 ‡S 4< (0.159) .
Desenvolupant en s`erie de Taylor, Õ ‡ST 2 = (al)2 ‡ST A (al)3 (al)5 al + + + ...
3! 5! (al)4 ¥1+ > 1 =∆ 45 Õ ‡ST > BA al 2 ≠ 2 3 3 al 2 43 2 + 3 3 al 2 45 + ...
B (0.160) ‡ST (e) Per demostrar aquest apartat ens cal trobar una expressi´o general per a la producci´o total d’entropia en el cas no estacionari. Notar que el que hem fet en els apartats anteriors no ens serveix, per` o tal i com veurem a continuaci´o, les expressions s´on les mateixes posant T depenent del temps: ‡ST = S ⁄ +l ≠l L(x) 5 ˆ ˆx 3 1 T (x) 462 dx ≠æ ‡ST (t) = S ⁄ +l ≠l L(x) 5 ˆ ˆx 3 1 T (x, t) 462 dx.
(0.161) Anem a deduir-ho. En el cas no estacionari, l’equaci´o de continu¨ıtat unidimensional per a l’entropia es llegeix ˆflS (x, t) ˛ + Ò · ˛äE (x, t) = ‡S (x, t).
ˆt (0.162) Com ja he comentat, el vector corrent d’entropia ´es ˛äS (x, t) = ÿ i Yi˛äi =∆ ˛äS (x, t) = YE (x, t)˛äE (x, t) = 1 ˛äE (x, t), T (x, t) (0.163) la u ´nica difer`encia respecte abans ´es que ara tenim depend`encia amb el temps. De teoria tamb´e sabem que ˆflS (x, t) ÿ ˆfli (x, t) ˆflS (x, t) 1 ˆflE (x, t) = Yi (x, t) =∆ = .
ˆt ˆt ˆt T (x, t) ˆt i 32 (0.164) Utilitzant aquests dos u ´ltims resultats en (0.162), 1 ˆflE (x, t) ˛ ‡S (x, t) = +Ò· T (x, t) ˆt 3 4 1 ˛äE (x, t) T (x, t) :0 ⇠ ⇠ ⇠4 1 ˆflE (x, t) ⇠˛⇠⇠⇠⇠ 1 ˛ = ⇠+ Ò · ˛äE (x, t) + ˛äE (x, t)Ò ⇠⇠ T (x, t)⇠⇠⇠ˆt T (x, t) 3 4 3 4 5 3 462 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 = L(x) = L(x) .
ˆx T (x, t) ˆx T (x, t) ˆx T (x, t) 3 3 4 (0.165) Anteriorment he fet u ´s de l’equaci´o de continu¨ıtat per a la calor en abs`encia de fonts i ˛ · ˛äE (x, t) = 0. Finalment, tal i com ja he dit, embornals, i.e. ˆt flE (x, t) + Ò ‡ST (t) = ⁄ V ‡S (x, t)dV = S ⁄ +l ≠l 5 ˆ L(x) ˆx 3 1 T (x, t) 462 dx.
(0.166) Anem a demostrar el que es demana. Derivem respecte el temps la darrera expressi´o i posteriorment integrem per parts, d‡ST = 2S dt ⁄ +l ≠l ˆ L(x) ˆx ¸ ˆ = 2SL(x) ˆx = 2S ⁄ +l ≠l 3 1 T (x, t) ˚˙ u 3 1 T (x, t) 4 ˆ ˆt 4 5 ˆ ˆ ˆx ˆt ˝¸ 3 3 1 T (x, t) ˚˙ dv 4 -+l - 46 1 - ≠ 2S T (x, t) -≠l 5 1 ˆT (x, t) ˆ ˆ L(x) 2 T (x, t) ˆt ˆx ˆx 3 dx ˝ 3 ⁄ +l ˆ 4 1 ≠l ˆt T (x, t) 5 3 46 ˆ ˆ 1 ◊ L(x) dx ˆx ˆx T (x, t) 1 T (x, t) 46 dx.
(0.167) El primer terme de la integraci´o per parts s’anul·la donat que l’enunciat diu que les temperatures en els extrems s´ on independents del temps =∆ ˆt (1/T (±l, t)) = 0. Finalment, si utilitzam l’equaci´ o que hem trobat a l’apartat (a), es t´e d‡ST = ≠2S dt ⁄ +l ≠l 5 c(x) ˆT (x, t) 2 T (x, t) ˆt 33 62 dx < 0 (0.168) ...