SFE_1.9 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

1.9 Problema: Tub entre dos dip` osits (juny 2012). Considereu dos dip`osits d’aigua molt grans, connectats per un tub recte de secci´o S i longitud L. El dip`osit de l’esquerra t´e una concentraci´ o fl0 d’un solut i est`a separat del tub amb una clau de pas, inicialment tancada. L’aigua a l’interior del tub i tot el dip`osit de la dreta tenen una concentraci´o inicial flL (flL < fl0 ). Suposeu que la relaci´o entre el potencial qu´ımic µ i la densistat fl (equaci´ o d’estat local) ´es tal que: 3 ˆµ ˆfl 4 = T 1 , fl2 Ÿ on Ÿ ´es la compressibilitat isoterma que considerem constant.
En un cert moment obrim la clau i esperem el temps suficient perque s’arribi a l’estat estacionari. Suposant que les concentracions dels dip`osits no canvien i que la tempertura T ´es sempre constant i uniforme, (a) Determineu el perfil de concentraci´o fl(x) en estat estacionari suposant que la constant de difusi´ o D (definida per la llei de Fick) ´es uniforme i independent del temps.
(b) Determineu, en les condicions del punt anterior, la producci´o d’entropia a cada punt del tub ‡(x) i la producci´o d’entropia total ‡ TOT .
(c) Determineu el perfil de concentraci´o fl(x) en l’estat estacionari, suposant que el coeficient de transport LN N ´es uniforme i independent del temps.
(d) Determineu, en les condicions del punt anterior, la producci´o d’entropia a cada punt ‡(x) i la producci´ o d’entropia total ‡ TOT .
(e) Quina condici´ o haurien de satisfer D i LN N per tal que el corrent de part´ıcules en els casos (a) i (c) sigui el mateix? (f) Si es satisf` a la condici´ o que heu dedu¨ıt al punt anterior, quina relaci´o satisfan les TOT ‡ calculades als punts (b) i (d). Podr´ıeu arribar a la mateixa conclusi´o amb arguments termodin` amics? Soluci´ o: (a) En aquest problema la variable extensiva que ens interessa ´es el nombre de part´ıcules i per tant treballam amb flN © fl. Per determinar el perfil estacionari fl(x), considerem l’equaci´ o de continu¨ıtat pel nombre de part´ıcules (en l’estat estacionari ˆt fl(x) = 0): ˛ · ˛äN (x) = 0. La llei de Fick estableix que ˛äN (x, t) = ≠DÒfl(x, ˛ Ò t), de manera que 26 ˛ · Òfl(x) ˛ l’equaci´ o de continu¨ıtat ´es: ≠DÒ = 0 =∆ Ò2 fl(x) = 0. Per tant, fl(x) ´es de la forma: fl(x) = Ax + B. En aquest cas, les condicions de contorn s´on: fl(0) = fl0 fl(L) = flL J =∆ A= flL ≠ fl0 , B = fl0 .
L (0.123) Substituint A i B, es t´e flL ≠ fl0 x + fl0 L fl(x) = (0.124) Notar que, dfl(x) D ˛ex = ≠ (flL ≠ fl0 )˛ex Ø 0 (0.125) dx L ja que fl0 > flL . Tal i com era d’esperar, el flux de part´ıcules va cap a la dreta: les part´ıcules del tanc amb m´es solut van cap el tanc amb menys solut per tal d’establir l’equilibri.
˛äN (x) = ≠D (b) En l’estat estacionari (condici´ o de l’apartat anterior), tenim ˆt flS = YN ˆt flN (x) = (≠µ/T )ˆt fl(x) = 0, o sigui que, d’acord amb l’equaci´o de conservaci´o per a l’en˛ · ˛äS (x) = tropia, la producci´ o local d’entropia la podem calcular com: ‡S (x) = Ò ˛ · (YN (x)˛äN (x)). Ara b´e, la condici´o d’estacionarietat ens diu que Ò ˛ · ˛äN (x) = 0, i Ò per tant ˛ N (x) = D Òfl(x) ˛ ˛ ‡S (x) = ˛äN (x) · ÒY · Òµ, (0.126) T on he considerat la llei de Fick, YN = ≠µ/T i que la temperatura no ´es m´es que una constant. Utilitzant la regla de la cadena, se segueix que 3 D dfl(x) ˆµ D dfl(x) = T dx ˆx T dx 3 4 D flL ≠ fl0 2 = = ŸT fl2 (x) L ‡S (x) = 4 5 6 ˆµ dfl(x) D dfl(x) 2 = ˆfl T dx ŸT fl2 (x) dx 3 42 D flL ≠ fl0 1 1 22 .
flL ≠fl0 ŸT L x+fl L (0.127) 0 Anteriorment he fet u ´s de l’equaci´o d’estat local que ens proporciona l’enunciat. Arreglantho una mica, trobam que la producci´o local d’entropia ´es: D 1 1 2 Ø0 ŸT x + fl0 L 2 flL ≠fl0 ‡S (x) = La producci´ o total ser` a ‡ST = ⁄ V DS ‡S (x)dV = ŸT ⁄ L 0 1 dx x+ fl0 L flL ≠fl0 Q (0.128) R - -L DS a ≠1 b- .
22 = L ŸT x + fl fl0≠fl 0 0 L (0.129) Despr´es de fer una mica d’` algebra, arribam al seg¨ uent resultat: ‡ST = DS (flL ≠ fl0 )2 Ø0 ŸT L fl0 flL 27 (0.130) (c) En aquest apartat volem trobar el mateix que en l’apartat (a): el perfil fl(x) en l’estat estacionari. En el primer apartat ens donaven D, i per tant podiem utilitzar la llei de Fick, per` o ara ens donen el coeficient de transport LN N , i ens les hem d’apanyar d’alguna manera. Com ja he dit anteriorment, en l’estat estacionari es compleix: ˛ · ˛äN (x) = 0. Si feim u Ò ´s de la hip`otesi de proporcionalitat entre el corrent d’extensiva i gradient d’intensiva, tenim que ˛äi (x) = ÿ j ˛ j (x) =∆ Lij ÒY ˛ N (x).
˛äN (x) = LN N ÒY (0.131) Utilitzant la regla de la cadena, 3 4 µ LN N ˆµ LN N ˛ex = ≠ ˛ex = ≠ T T ˆx T LN N dfl(x) =≠ ˛ex .
ŸT fl2 (x) dx ˛ ˛äN (x) = ≠LN N Ò Llavors, ˛ · ˛äN (x) = 0 ≈∆ ≠ LN N d Ò ŸT dx 3 3 ˆµ ˆfl 4 1 dfl(x) 2 fl (x) dx T 4 dfl(x) ˛ex dx (0.132) = 0.
(0.133) L’equaci´ o anterior ens diu que el que hi ha entre par`entesi ha de ser una constant, ´es a dir 1 dfl(x) 1 = C =∆ fl(x) = ≠ .
(0.134) fl2 (x) dx Cx + D Imposant les condicions de contorn, determinam C i D, fl(0) = fl0 fl(L) = flL J =∆ C= 1 L 3 Finalment, fl(x) = x L 1 4 1 1 1 ≠ , D=≠ .
fl0 flL fl0 1 1 flL ≠ 1 fl0 2 + (0.135) (0.136) 1 fl0 Com podem veure, utilitzant la llei de Fick el perfil fl(x) ´es una recta, mentre que utilitzant el coeficient de transport el perfil esdev´e una hip`erbole. Com en l’apartat (a), el corrent de part´ıcules va cap a la dreta: ˛äN (x) = ≠ LN N 1 dfl(x) LN N LN N ˛ex = ≠ C˛ex = ≠ ŸT fl2 (x) dx ŸT ŸT L 3 4 1 1 ≠ ˛ex Ø 0, fl0 flL (0.137) (d) Per trobar la producci´ o local i total d’entropia, procedim exactement de la mateixa manera que en l’apartat (b), sols que, enlloc d’utilitzar el vector ˛äN (x) calculat a partir de la llei de Fick, utilitzam el vector ˛äN (x) que es detalla en l’expressi´o (0.132). La producci´ o local ser` a, ˛ N (x) = ‡S (x) = ˛äN (x) · ÒY = LN N Ÿ2 T 2 3 1 fl2 (x) LN N dfl(x) ˆµ LN N dfl(x) = 2 2 ŸT fl (x) dx ˆx ŸT 2 fl2 (x) dx dfl(x) dx 42 = 3 ˆµ ˆfl 4 T dfl(x) dx LN N 2 C .
Ÿ2 T 2 (0.138) 28 Substituint C, es t´e LN N ‡S (x) = 2 2 2 Ÿ T L 3 flL ≠ fl0 fl0 flL 42 Ø0 (0.139) Com que la producci´ o local d’entropia no dep`en d’x, la producci´o total ser`a simplement: T ‡S = ‡S SL. Per tant, ‡ST LN N S = 2 2 Ÿ T L 3 flL ≠ fl0 fl0 flL 42 Ø0 (0.140) (e) Igualant les expressions que hem trobat en els apartats (a) i (c) pel vector ˛äN (x), (0.125) i (0.137), tenim ≠ D LN N (flL ≠ fl0 ) = ≠ L ŸT L 3 1 1 ≠ fl0 flL 4 =∆ D= LN N ŸT fl0 flL (0.141) (f) Si agafam el coeficient de difusi´o que acabam de trobar en l’apartat anterior, i substituim en l’expressi´ o (0.130) per a la producci´o total d’entropia de l’apartat (b), obtenim el seg¨ uent: ‡ST (b) LN N S (flL ≠ fl0 )2 LN N S = = 2 2 ŸT fl0 flL ŸT L fl0 flL Ÿ T L 3 flL ≠ fl0 fl0 flL 42 = ‡ST (d).
(0.142) La termodin` amica no pot dependre de com es defineixin els coeficients de transport.
Si buscam quina relaci´ o guarden ambd´os coeficients per tal que el corrent de part´ıcules sigui el mateix, ambd´ os problemes s´on equivalents: les dues mateixes fonts amb els mateixos corrents; En conseq¨ u`encia, la producci´o total d’entropia ha de ser la mateixa.
29 ...