SFE_2.4 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

2.4 Velocitat relativa de col·lisi´ o. Per un gas de mol`ecules de massa m en equilibri, trobeu el valor esperat de la velocitat relativa de dues mol`ecules.
Soluci´ o: Suposem que tenim dues mol`ecules, la (1) i la (2). En equilibri, la velocitat de cadascuna d’elles seguir` a la distribuci´o de Maxwell-Boltzmann: fi (˛ui ) = 3 ai fi 43/2 2 amb ai = e≠ai |˛ui | , mi , i = 1, 2.
2kB T (0.224) La probabilitat de que una mol`ecula tingui una velocitat compresa entre ˛ui i ˛ui +d˛ui ´es f (˛ui )d˛ui . Si consideram les dues mol`ecules alhora, la probabilitat de que una mol`ecula tingui una velocitat entre ˛u1 i ˛u1 + d˛u1 , a la vegada que l’altra tingui la velocitat compresa entre ˛u2 i ˛u2 + d˛u2 , ´es f1 (˛u1 )d˛u1 f2 (˛u2 )d˛u2 .
(0.225) Dit aix` o, el valor esperat de la velocitat relativa es calcula com: È|˛u1 ≠ ˛u2 |Í = = ⁄ |˛u1 ≠ ˛u2 |f1 (˛u1 )f2 (˛u2 )d˛u1 d˛u2 R6 3 a1 a2 fi2 43/2 ⁄ R6 |˛u1 ≠ ˛u2 |e≠a1 |˛u1 | 2 ≠a u2 | 2 |˛ 2 (0.226) d˛u1 d˛u2 .
Donat que les dues mol`ecules tenen la mateixa massa m, È|˛u1 ≠ ˛u2 |Í = 3 43 ⁄ a fi |˛u1 ≠ ˛u2 |e≠a(|˛u1 | R6 2 +|˛ u 2| 2) d˛u1 d˛u2 .
(0.227) Les integrals anteriors s´ on sobre ˛u1 i ˛u2 , per`o ens apareix el m`odul de la difer`encia, per aquest motiu, considerem el seg¨ uent canvi de variables: ˛u1 = ˛uCM + m2 ˛u, m1 + m2 ˛u2 = ˛uCM ≠ m1 ˛u, m1 + m2 (0.228) on ˛u = ˛u1 ≠ ˛u2 i ˛uCM ´es la velocitat del centre de masses del parell de mol`ecules. El que ´es interessant d’aquesta transformaci´o ´es que preserva l’element de volum hexadimensional: - ˆ(˛ u2 ) -- u1 , ˛ = 1 =∆ d˛u1 d˛u2 = d˛ud˛uCM .
(0.229) - ˆ(˛ u, ˛uCM ) En el nostre cas, m1 = m2 = m. De (0.228) se segueix que ˛u1 = ˛uCM + ˛u , 2 Considerant-ho tot es t´e È|˛u1 ≠ ˛u2 |Í = = 3 43 ⁄ a fi R6 3 43 ⁄ a ≠a |˛u|e 1 ˛u2 = ˛uCM ≠ 2 2 |˛uCM + u˛2 | +|˛uCM ≠ u˛2 | 1 ≠a 2|˛ uCM |2 + |˛u|e ˛u .
2 2 2 |˛ u| 2 (0.230) 2 d˛ud˛uCM d˛ud˛uCM fi R6 3 43 ⁄ ⁄ a a 2 2 = |˛u|e≠ 2 |˛u| d˛u e≠2a|˛uCM | d˛uCM .
3 3 fi R R 45 (0.231) Per calcular les integrals anteriors feim un canvi a coordenades esf`eriques. Donat que els integrants sols depenen del m`odul de la velocitat, directament podem fer les integrals sobre els angles (de cada integral ens sortir`a un factor 4fi). Per tant, È|˛u1 ≠ ˛u2 |Í = 3 43 a fi (4fi)2 ⁄ Œ 0 2 u3 e≠ 2 u du a ⁄ Œ 0 2 u2CM e≠2auCM duCM .
(0.232) 43 (0.233) Les integrals que queden estan tabulades. Llavors, È|˛u1 ≠ ˛u2 |Í = 3 43 a fi 2 (4fi) 3 (2) 2(a/2)2 4 (3/2) .
2(2a)3/2 ù Anteriorment he utilitzat la seg¨ uent integral del “Schaum”: ⁄ Œ 0 2 xm e≠bx dx = [(m + 1)/2] .
2b(m+1)/2 Agrupant una mica els termes i utilitzant els valors de la funci´o gamma, s’arriba a: È|˛u1 ≠ ˛u2 |Í = Ú 8 = fia Û 16kB T fim (0.234) Anteriorment, varem calcular el valor esperat del m`odul de la velocitat d’una part´ıcula que segueix la distribuci´ o de Maxwell-Boltzmann (vegeu (0.181)). Varem trobar que È|˛u1 |Í = È|˛u2 |Í = Û 8kB T .
fim (0.235) Si comparam amb el resultat que acabam d’obtenir en aquest problema, veiem que el valor esperat de la velocitat relativa guarda una relaci´o amb el valor esperat del m`odul de la velocitat d’una mol`ecula. Aquesta ´es: È|˛u1 ≠ ˛u2 |Í = Ô 46 2È|˛u1 |Í = Ô 2È|˛u2 |Í.
(0.236) ...