Tema 5. Gravitación (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 1º curso
Asignatura Fonaments de Mecànica
Año del apunte 2014
Páginas 17
Fecha de subida 20/10/2014
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5 Gravitación Ley de la gravitación universal 5.1.1 Campo gravitatorio 5.1.2 Campo gravitatorio creado por una distribución extensa de masa 5.1.3 Potencial gravitatorio 5.1.4 Ejemplos de cálculo del campo y el potencial gravitatorios 5.1.5 Energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas 123 124 5.2 Teorema de Gauss 130 5.3 Campo gravitatorio creado por una distribución esférica de masa 5.3.1 Campo y potencial para una esfera homogénea 5.3.2 El campo gravitatorio terrestre 132 134 135 5.1 125 125 126 129 121 122 5.1 Ley de la gravitación universal Los primeros intentos por entender el sistema solar fueron hechos por los griegos.
Ptolomeo (siglo II) supuso que la Tierra estaba fija en el centro del universo y que el Sol, la Luna y las estrellas giraban a su alrededor (teoría geocéntrica). En particular, la descripción del movimiento de los siete planetas conocidos en aquella época resultaba muy complicado analizado desde la Tierra. Las órbitas planetarias son mucho más simples si se describen respecto al Sol (que es un sistema de referencia prácticamente inercial).
En el siglo XVI, Nicolai Copérnico (1473-1543) sugirió un modelo más sencillo en el que el Sol estaba fijo en el centro del universo y la Tierra y los otros planetas giraban sobre sí mismos y alrededor del Sol (teoría heliocéntrica).
Johannes Kepler (1571-1630), analizando los modelos y medidas astronómicas muy precisas de Tycho Brahe (1546-1630), encontró regularidades muy significativas en el movimiento de los planetas conocidos en aquella época, en particular, para el caso de Marte. La formulación de estos hallazgos es lo que hoy conocemos como las tres leyes de Kepler del movimiento planetario, 1. Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.
2. El segmento que une cualquier planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales (ley de las áreas). Se debe a la conservación del momento angular en el campo gravitatorio.
3. El cuadrado del periodo de revolución de un planeta en su movimiento alrededor del Sol es proporcional al cubo del semieje mayor (ley de los periodos).
Estas leyes empíricas confirman las teorías heliocéntricas de Copérnico, pero no estaban fundadas en ninguna base teórica que las explicara. Fue Isaac Newton (16421723) quien mediante su ley de la gravitación universal y sus leyes del movimiento consiguió demostrar las leyes de Kepler. Además, Newton demostró que el movimiento de los planetas y el de los cuerpos que caen en las proximidades de la superficie de la Tierra obedecen a la misma causa.
Ley de la gravitación universal: dos partículas de masas m1 y m2 separadas por una distancia r se atraen entre sí con una fuerza cuyo módulo vale: mm G 12 2 , r donde G es una constante universal, que adopta el mismo valor para cualquier punto de universo.
Vectorialmente, la ley de la gravitación universal se escribe de la siguiente forma: mm F12 = −G 1 2 2 rˆ12 , r12 donde F12 es la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la 2 y r12 = r2 − r1 es el vector posición de m2 respecto a m1 . La fuerza F21 sobre la partícula 1 debida a la partícula 2 vale, 123 m1m2 mm rˆ21 = G 1 2 2 rˆ12 = − F12 , 2 r21 r12 ya que rˆ12 = − rˆ21 . En consecuencia, F12 rˆ12 se cumple la tercera ley de Newton: r12 = − r21 F12 y F21 son pares de fuerzas m2 rˆ21 acción y reacción. La ley de la m1 F21 gravitación universal no se utiliza para definir ninguna de las magnitudes físicas que intervienen r2 r1 en ella, estableciendo, en cambio, una relación entre ellas. La constante G debe determinarse experimentalmente; la primera medida fue realizada por Cavendish (1792). El valor actualmente o aceptado es: Figura 5.1. Fuerzas de atracción gravitatoria entre G = 6.67428 × 10 −11 m 3kg -1s-2 dos partículas Finalmente, Albert Einstein (18791955) describió la gravedad como una propiedad geométrica (curvatura) del espaciotiempo, en su teoría de la Relatividad General.
F21 = −G 5.1.1 Campo gravitatorio La ley de la gravitación universal permite únicamente calcular la fuerza de interacción entre parejas de partículas. Para determinar como interaccionan entre sí cuerpos extensos es necesario introducir el principio de independencia.
Principio de independencia: La interacción gravitatoria entre dos partículas es independiente de la presencia de otros cuerpos en el entorno o de las características del medio existente entre las dos partículas La validez de este principio se infiere de la validez de las deducciones que se obtienen a partir de él. Hasta ahora no se han encontrado excepciones que cuestionen su validez general.
A partir del principio de independencia podemos calcular fácilmente la fuerza F que actúa sobre una masa m situada en r , debido a la interacción gravitatoria con un sistema de N partículas de masa mi situadas en ri , simplemente sumando la fuerza de interacción gravitatoria correspondiente a cada una de las parejas que podemos formar entre la partícula de masa m y el resto,   r − ri  r − ri  = − F ( r ) = ∑ Fi = ∑  −Gmi m m Gm ,   ∑ i 3 3    r − ri  r − ri  i i  i  por lo tanto, la fuerza gravitatoria resultante es proporcional a la masa de la partícula.
En consecuencia, es conveniente suponer que las partículas mi crean un campo gravitatorio, g ( r ) , en todos los puntos del espacio, y que es este campo el que origina la fuerza F ( r ) sobre la partícula de masa m , cuando ésta se encuentra en el punto r .
Por lo tanto, tendremos que 124 g (r ) =  F (r ) r − ri  ; F ( r ) = mg ( r ) = ∑  −Gmi 3   m r − ri  i  5.1.2 Campo gravitatorio creado por una distribución extensa de masa Vamos a calcular, ahora, el campo gravitatorio creado por un cuerpo extenso.
Supongamos una distribución de masa de densidad ρ ( r′) como la que se muestra en la Fig. 5.2. El campo gravitatorio creado por la distribución en un punto arbitrario r es r − r′ r − r′ g ( r ) = −G ∫ dm = −G ∫ ρ ( r′) dV , 3 3 r − r′ r − r′ donde dV es el elemento de volumen del cuerpo situado en r ′ .
Para medir el campo gravitatorio en dV un cierto punto arbitrario r del espacio, podemos colocar una dF partícula de prueba y medir su F m aceleración que es igual al campo r′ gravitatorio en dicho punto. Es r importante hacer notar que en la definición del campo gravitatorio no se incluye la contribución de la Y partícula de prueba, que daría lugar X a una contribución divergente. Por Figura 5.2. Campo gravitatorio creado por una otro lado, el campo gravitatorio no distribución extensa de masa es sólo un método conveniente para simplificar el cálculo de las interacciones gravitatorias, sino que además existe realmente independientemente de la presencia o no de la partícula de prueba. La distribución de masa crea el campo gravitatorio y es éste el que actúa sobre el resto de partículas para dar lugar a la interacción gravitatoria. Si la distribución de masa que genera el campo gravitatorio varía con el tiempo, entonces, el campo gravitatorio también evoluciona con el tiempo, de tal forma que las fluctuaciones de campo se propagan a la velocidad de la luz, dando lugar a ondas gravitacionales.
Z 5.1.3 Potencial gravitatorio Recordemos que un campo de fuerzas de la forma F ( r ) = k rˆ r 2 es conservativo y está asociado al potencial: k U (r ) = r Consecuentemente, el campo de fuerzas creado por una partícula situada en r′ sobre la partícula de prueba que se encuentra en r es r − r′ F ( r ) = −Gm′m 3 r − r′ y la función energía potencial asociada viene dada por 125 U (r ) = − Gm′m , r − r′ para la cual, fácilmente se puede comprobar que F ( r ) = −∇U . Dado que la suma de fuerzas conservativas es también una fuerza conservativa y la energía potencial correspondiente es la suma de las energías potenciales de éstas, la energía potencial de una partícula de masa m , inmersa en el campo gravitatorio creado por una distribución de masa de densidad ρ ( r′) es U ( r ) = −Gm ∫ ρ ( r ′) dm = −Gm ∫ dV r − r′ r − r′ En el caso de que el campo gravitatorio esté creado por una distribución discreta de partículas, la expresión anterior se convierte en mi U ( r ) = −Gm ∑ , i r − ri donde mi y ri son las masas y las posiciones, respectivamente, de las partículas que forman la distribución. Si ahora eliminamos de estas expresiones la dependencia en m , tal como ya hicimos para el campo gravitatorio, ϕ (r ) = U (r ) ρ ( r ′) = −G ∫ dV , m r − r′ donde ϕ ( r ) es el potencial gravitatorio. Evidentemente, para un sistema de partículas tendremos que m ϕ ( r ) = −G ∑ i i r − ri Es obvio que la relación existente entre el campo y el potencial gravitatorio es la misma que entre la energía potencial y la fuerza resultante, g ( r ) = −∇ϕ ( r ) 5.1.4 Ejemplos de cálculo del campo y el potencial gravitatorios Ejemplo1: Campo gravitatorio creado por una barra de longitud L y masa M en un punto situado sobre el eje de la barra, a una distancia a del extremo de ésta.
M,L dm x a Figura 5.3. Campo gravitatorio creado por una barra homogénea en un punto del eje.
Este problema se resuelve aplicando el principio de independencia a los campos gravitatorios creados por los elementos de masa que forman la varilla.
dm λ dx M dg = −G = −G ; λ= 2 2 L ( x + a) ( x + a) El campo gravitatorio total se calcula integrando sobre dg , por lo tanto, 126 L   M M M g = −∫ G dx = G −  =G = 2 L ( x + a)  L( x + a) 0  L ( L + a ) La  0 L M  La − L2 − La  M = GM  2  = −G a (L + a)  L a (L + a)  Si colocamos una partícula de prueba, de masa m , a distancia a del extremo, sobre ella actúa la fuerza: Mm F = g ( a ) m = −G a ( L + a) Cuando la distancia a ≫ L , la fuerza F es como la que actuaría entre dos masas puntuales separadas por la distancia a , Mm F = −G 2 a Ejemplo 2: Campo y potencial gravitatorios creados por una barra de longitud L y masa M , en un punto situado a distancia y de la barra y que está situado sobre el eje perpendicular a la barra, que pasa por el centro de ésta. Por simetría, el campo gravitatorio sólo tiene componente y , ya que los dm que se encuentran en posiciones simétricas respecto al origen, dan contribuciones dg x y − dg x que se cancelan entre sí.
En consecuencia, el campo resultante de la suma de las dos contribuciones y dm que están situadas en posiciones simétricas respecto al origen de la α barra es: M dx cos α dg y = −2G 2 2 L + x y dg ( ) M,L y dm x dm Figura 5.4. Campo gravitatorio creado por una barra en un punto sobre el eje perpendicular a la barra y que pasa por su centro.
= −2G M dx 2 L ( x + y2 ) = −2G M ydx L ( x 2 + y 2 )3 2 y x + y2 2 El campo total se calculará integrando para todos los dm entre 0 y L 2 , My g ( y ) = − 2G L =− L2 L2 ∫ 0 dx (x 2 + y2 ) 3 2  2GMy x =−  L y 2 x 2 + y 2  0 2GM L2 2GM = − 2 2 L y L 4+ y y L2 + 4 y 2 Vamos a obtener, ahora, el potencial gravitatorio creado por los dm , en posiciones simétricas, en el mismo punto donde hemos calculado el campo gravitatorio.
dm M dx dϕ = −2G = − 2G 2 2 2 L x + y2 x +y Integrando sobre toda la barra, 127 L2  x   L  2GM 2GM = − arcsinh arcsinh   = −    ∫0 x 2 + y 2 L L  y 0  2y  Es fácil verificar que esta expresión para el potencial permite obtener la expresión que ya obtuvimos para el campo gravitatorio,  L  dϕ 2GM 1 2GM = − 2= − g ( y) = −  dy L L2 4 y 2 + 1  2 y  y L2 + 4 y 2 M ϕ ( y ) = − 2G L L2 dx Podemos también comprobar que cuando y ≫ L 2 , el campo creado por la barra coincide con el de una partícula situada en el centro de la barra.
lim GM g ( y) = − 2 y→∞ y Ejemplo 3: Campo creado por un anillo de sección despreciable, en puntos situados sobre su eje de simetría. Calcular el periodo de las pequeñas oscilaciones de una masa m de prueba alrededor del centro del anillo.
dm = ρ dl = ρ a d α z M ρ= 2π a ρ dl dg = G 2 dl ( x + a2 ) y a α Las componentes del campo gravitatorio que no van según la dirección del eje x se anulan por simetría.
ρ dl cos β dg x = −G 2 ( x + a2 ) dg β x = −G gx = ∫ anillo dg x = −G (x 2 +a Para x = 0 ⇒ g x = 0 2π ) 2 32 +a x ) x2 + a2 Ahora deberemos integrar para todo el anillo teniendo en cuenta que dl = a dα , Figura 5.5. Campo creado por un anillo sobre puntos del eje x.
ρ xa (x ρ dl ∫ d α = −G 0 2π a ρ x (x 2 +a ) 2 32 2 = −G 2 (x Mx 2 + a2 ) 32 ( esperable por simetría ) M ( como para una masa puntual ) x2 Vamos a estudiar las pequeñas oscilaciones alrededor del origen. Para x ≪ a tenemos que, Mx g x ≃ −G 3 , a y por lo tanto, una masa de prueba m experimenta una fuerza, Mm Fx = −G 3 x , a Para x → ∞ ⇒ g x = −G 128 que es de tipo ley de Hooke. En consecuencia, el movimiento de dicha masa será armónico simple con periodo, m a3 T = 2π = 2π GMm a 3 GM 5.1.5 Energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas La energía potencial de un sistema de partículas es un concepto muy importante en Física. Se define como el trabajo necesario para situar todas las partículas que forman el sistema en sus posiciones finales, acercándolas desde el infinito, siguiendo un proceso cuasi-estático. En consecuencia, la energía potencial es la energía acumulada en el sistema. Esta energía sólo depende de las posiciones finales de las partículas, ya que la fuerza gravitatoria es conservativa.
Ejemplo: Sistema formado por tres partículas de masas m1 , m2 , m3 que están situadas formando un triángulo. Vamos a calcular la energía necesaria para formar el sistema, suponiendo que inicialmente las partículas se encuentran a distancia infinita las unas de las otras (energía potencial gravitatoria en el estado inicial nula).
m2 i) Llevamos la partícula 1 hasta su posición final. En este proceso no se realiza trabajo, por lo tanto, 1 Wext =0.
ii) Traemos, ahora, m2 desde el infinito hasta su posición final. El trabajo realizado por la fuerza r gravitatoria que la partícula 1 ejerce sobre la 2 es: r12 23 W = −∆U , donde ∆U = U ( r12 ) − U ( ∞ ) . En consecuencia, el trabajo realizado contra la fuerza gravitatoria en este proceso vale: m1 m3 r13 mm Wext2 = −W = U ( r12 ) − U ( ∞ ) = −G 1 2 r12 iii) Finalmente, el trabajo realizado contra las fuerzas gravitatorias, que ejercen las partículas 1 y 2, para traer la partícula 3 desde el infinito es igual a: mm mm Wext3 = −G 3 1 − G 3 2 r13 r23 La energía total almacenada en el sistema en forma de energía potencial gravitatoria es igual a la suma de estos trabajos, mm mm mm U = −G 2 1 − G 3 1 − G 3 2 .
r12 r13 r23 Para romperlo, es decir, para alejar las partículas a distancia infinita entre ellas, se requiere una energía −U (energía de formación del sistema cambiada de signo). Por lo tanto, para un sistema de partículas general, tendremos mm mm 1 U = ∑∑ −G i j = ∑ −G i j , rij 2 i, j rij j i> j donde se ha incluido el factor 1 2 para contar las parejas de partículas una sola vez.
129 5.2 Teorema de Gauss Para establecer este importante teorema, necesitamos introducir dos nuevos conceptos: elemento de superficie orientado y ángulo sólido subtendido por una superficie desde un punto (origen). Vamos a definir un elemento de superficie orientado como un vector ds , que tenga módulo igual al área ds de la superficie, dirección perpendicular al elemento de + superficie y sentido dirigido desde la cara negativa ds (interior) de la superficie hacia la cara positiva (exterior). Si S es una superficie cerrada, la cara positiva es siempre la externa y la negativa la interior.
Si no se trata de una superficie cerrada, el sentido de ds se elige arbitrariamente. Es importante hacer notar que carece de sentido hablar del vector S de la superficie completa.
Si una superficie elemental caracterizada por ds se encuentra localizada en un punto r de un espacio donde existe un campo vectorial F ( r ) , se define el flujo elemental de F a través de ds por: ds θ F (r ) dφ = F ⋅ ds = F ( r ) ds cos θ , de tal manera que el flujo total a través de una superficie finita es: φ = ∫ F ⋅ ds S Teniendo en cuenta el convenio de signos que hemos establecido para las caras interior y exterior de una superficie, está claro que φ > 0 implica que el flujo neto de F a través de la superficie es saliente, mientras que φ < 0 implica que el flujo neto es entrante.
Dado un elemento orientado de superficie, ds , y un punto o (origen de coordenadas) se define el ángulo sólido subtendido por ds desde o por: rˆ ⋅ ds r ⋅ ds ds cos θ dΩ = 2 = 3 = , θ 2 r r r ˆ ds r Z donde ds cos θ es la proyección del elemento de superficie ds sobre la r superficie de la esfera de radio r . En consecuencia, d Ω ds cos θ = = fr , 4π 4π r 2 dΩ es la fracción de la superficie de la esfera de radio r cubierta por la proyección del o elemento de superficie ds . Teniendo en Y cuenta que f r es independiente del radio R =1 de la esfera considerada, para el caso X particular de una esfera de radio unidad (tal Figura 5.6. Definición gráfica del ángulo como se muestra en la Figura 5.6), sólido subtendido por ds desde o .
tendremos que d Ω = 4π f R =1 , que es el área cubierta en la esfera de radio unidad por la proyección de ds . De esta última expresión, es obvio que la magnitud del ángulo sólido varía entre 0 y 4π . De 130 hecho, el ángulo sólido se mide en estereorradianes. Además, el ángulo sólido tiene signo, de tal manera que d Ω > 0 → desde o se "ve" la cara negativa de ds d Ω < 0 → desde o se "ve" la cara positiva de ds De todo ello, concluimos que el ángulo sólido subtendido por una superficie S finita viene dado por r ⋅ ds Ω=∫ S r3 Vamos a calcular, ahora, el ángulo sólido subtendido por una superficie cerrada respecto a un punto interior o exterior. Consideremos los dos casos de la Figura 5.7. En 2 2 1 1 o Ω = 4π o Ω=0 Figura 5.7. Ángulo sólido con el que se “ve” una superficie cerrada desde un punto interior y exterior, respectivamente.
el primer caso, el ángulo sólido es 4π , ya que aunque la superficie tenga “abolladuras”, las contribuciones de los elementos de superficie en las caras 1 y 2 son iguales y cambiadas de signo, por lo tanto, cancelan entre sí. Por el mismo razonamiento, el ángulo sólido con el que se “ve” una superficie cerrada desde el exterior es cero, ya que las contribuciones de las caras 1 y 2 también cancelan entre sí.
Finalmente, utilizando estos conceptos, vamos a calcular el flujo del S campo gravitatorio creado por una ds distribución extensa de masa de volumen V , a través de una superficie cerrada S , r − r′ tal como se muestra en la Figura 5.8.
dm r r′ o Ω=0 V Ω = 4π Figura 5.8. Cálculo del flujo del campo gravitatorio creado por una distribución extensa de masa a través de una superficie cerrada.
φ= = ∫ g ( r ) ⋅ ds S   r − r′ ′ ρ − G r dV  ( )  ⋅ ds 3 ∫ S  ∫V  ′ r − r     r − r′ = −G ∫ ρ ( r ′)  ∫ ⋅ ds  dV V  S r − r′ 3    Ahora bien, r − r′ ∫ S r − r′ 3 ⋅ ds 131 es el ángulo sólido con el que se “ve” la superficie S desde el punto r′ , donde se encuentra dm . Si dm está dentro de la superficie cerrada, el ángulo sólido con el que contribuirá a la integral será 4π ; si se encuentra fuera de la superficie cerrada, contribuirá con un valor del ángulo sólido nulo. De todo ello podemos escribir la siguiente expresión: φ = −G ∫ ρ ( r′) ΩdV = −G 4π M int , V que es el teorema de Gauss. En esta ecuación, M int es la cantidad total de masa que se encuentra en la parte interior de la superficie cerrada S . El teorema de Gauss es útil para calcular el campo gravitatorio en casos para los cuales la distribución de masa tenga la simetría adecuada.
Ejemplo: Campo gravitatorio creado por un hilo de longitud infinita y densidad uniforme. La superficie de Gauss adecuada a la simetría del campo gravitatorio creado por la barra de longitud infinita y densidad λ uniforme es un cilindro de radio r y altura h . El campo gravitatorio tiene simetría cilíndrica y, por lo tanto, es perpendicular a la superficie lateral del cilindro y tiene r módulo constante. Dado que el flujo del campo a través de las “tapas” superior e inferior del cilindro es cero, φ= g (r) ∫ g ( r ) ⋅ ds = − g ( r ) ∫ S Slateral ds = − g ( r ) 2π rh La masa interior al cilindro es λ h y, por lo tanto, aplicando el teorema de Gauss, 2λ − g ( r ) 2π rh = −4π Gλ h → g ( r ) = G , r que coincide con el límite para L ≫ r del resultado que obtuvimos para la barra de longitud finita: 2GM 2GM 2Gλ g (r) =  → g (r) ≃ = L≫r 2 2 rL r r L + 4r h 5.3 Campo gravitatorio creado por una distribución esférica de masa R g o r Figura 5.9. Superficies de Gauss para una cáscara esférica.
El teorema de Gauss permite calcular, de forma sencilla, el campo gravitatorio producido por una distribución extensa de masa si ésta posee determinado tipo de simetría. Un caso muy importante se da cuando el campo tiene simetría esférica, en cuyo caso éste queda totalmente determinado por la densidad ρ ( r′) que es función únicamente de la distancia del punto considerado al centro de la distribución.
Vamos a tratar primero el caso del campo producido por una cáscara esférica de radio R , espesor dR y masa M . Por razones de simetría, el campo g ( r ) será central, con centro en el centro de la cáscara, g ( r ) = − g ( r ) rˆ . Como 132 superficie de Gauss podemos coger la superficie de una esfera de radio r . Aplicando el teorema de Gauss, φ = ∫ g ( r ) ⋅ ds = ∫ ( − g ( r ) rˆ ) ⋅ ( ds rˆ ) = − g ( r ) ∫ ds = −g ( r ) 4π r 2 S S S M M → g ( r ) = −G 2 rˆ ; r > R 2 r r − g ( r ) 4π r = −4π GM int → g (r) = 0 ; r < R Obsérvese que el potencial correspondiente es: M ϕ ( r ) = −G ; r>R r El signo ( − ) se debe a que g ( r ) es un campo gravitatorio atractivo. Para r < R , el potencial debe ser constante, ya que el campo gravitatorio es cero, y además, debe ser continuo en r = R , por lo que, M ϕ ( r ) = −G ; r>R r M ; r≤R ϕ ( r ) = −G R 2 g (r) = G −g (r) R ϕ (r) r R r Figura 5.10. Campo gravitatorio y potencial creados por una cáscara esférica de radio R .
Vamos ahora a calcular el campo y el potencial producidos por una distribución esférica de masa de densidad ρ ( r′) . Para ello descompondremos la distribución en cáscaras esféricas de radio r′ y espesor dr′ , cada una de las cuales tendrá un volumen, dV = 4π r′2 dr ′ → dM = ρ ( r ′) dV = 4π r′2 ρ ( r′) dr ′ El campo y el potencial creados por cada una de estas cáscaras esféricas en un punto que se encuentra a distancia r del centro de la distribución (origen) son: dM dg ( r ) = G 2 ; r ≥ r ′ r dg ( r ) = 0 ; r < r ′ dM r dM d ϕ ( r ) = −G r′ d ϕ ( r ) = −G ; r ≥ r′ ; r < r′ 133 El campo total en r , creado por la suma de las contribuciones de todas las cáscaras esféricas, es también central y vale: r ∞ G g ( r ) = ∫ dg ( r ) = 2 ∫ dM , r 0 0 ya que dg ( r ) = 0 para r ′ > r . En consecuencia, r G G 4πρ ( r ′) r′2 dr ′ = 2 M int , 2 ∫ r 0 r tal como se podría haber deducido directamente del teorema de Gauss. El potencial total se puede calcular de una forma análoga, ∞ r ∞ r ∞ G dM ϕ ( r ) = ∫ dϕ ( r ) = ∫ dϕ ( r ) + ∫ dϕ ( r ) = − ∫ dM − G ∫ r 0 r′ 0 0 r r , r ∞ G 2 = − ∫ ρ ( r ′) 4π r′ dr ′ − G ∫ ρ ( r ′) 4π r ′dr ′ r 0 r g (r) = donde la primera integral corresponde a la contribución de las capas esféricas que quedan por dentro de la esfera de radio r y la segunda integral corresponde a las contribuciones de las que quedan por fuera. Nótese que el campo gravitatorio se obtiene sumando las contribuciones de las capas internas con r ′ < r , ya que las externas producen un campo nulo, mientras que el potencial se obtiene sumando las contribuciones de las capas esféricas internas y externas.
5.3.1 Campo y potencial para una esfera homogénea Obviamente, éste es un caso particular de una distribución extensa de masa con simetría esférica, por lo tanto, se pueden aplicar los resultados generales que acabamos de obtener. En este caso, M ρ ( r ′) = ; r′ ≤ R 4 3 πR 3 ρ ( r ′) = 0 ; r ′ > R i) Consideremos primero el caso para r > R , G M g ( r ) = 2 M int = G 2 r r R G G 4 M ϕ ( r ) = − ∫ ρ 4π r′2dr′ − 0 = − ρ π R 3 = −G r 0 r 3 r Es decir, para puntos fuera de la esfera, g ( r ) y ϕ ( r ) son los mismos que los creados por una partícula de masa M situada en el CM de la esfera. El mismo resultado se obtiene si la densidad de la esfera no es constante, como sucede con la Tierra.
ii) Si r < R , g (r) = r r G G G 4 G GM ρ 4π r′2dr′ = 2 ρ ∫ 4π r′2dr′ = 2 ρ π r 3 = 2 M int = 3 r , 2 ∫ r 0 r 0 r r R 3 134 donde se ha utilizado que M int = M ( r 3 R 3 ) . El campo varía linealmente con r y también es central. Para el potencial tendremos que: R r R  r ′2  G G 4 ϕ ( r ) = − ∫ ρ 4π r′2dr′ − G ∫ ρ 4π r′dr ′ = − ρ π r 3 − G ρ 4π   r 0 r 3  2 r r 4 M 4 2 πr −G = −G ρ π r 2 − G ρ 2π  R 2 − r 2  = −G 4 3 3 3 πR 3 GM GM  3 2 r 2  3 GM 2 2   = − 3 r2 − R − r = − R −   R R 3  2 2 R3  2 M 4 π R3 3 2π  R 2 − r 2  Resumiendo, M rˆ ; r ≥ R r2 g (r) = 0 ; r ≤ R g ( r ) = −G M ; ; r≥R r GM  3 1  ϕ ( r ) = − 3  R2 − r2  ; r ≤ R 2  R 2 Obsérvese que las dos magnitudes son continuas a través de la superficie de la esfera ( r = R ) , Además, ϕ ( r ) = −G dϕ M = −G 2 ; r ≥ R dr r dϕ GM − =− 3 r ; r≤R dr R Nótese, además, que el campo y el potencial no divergen en r → 0 , como en el caso de una partícula puntual, sino que mg y mϕ son de tipo oscilador armónico.
− −g (r) R ϕ (r) r R r Figura 5.11. Campo gravitatorio y potencial para una esfera homogénea de radio R .
5.3.2 El campo gravitatorio terrestre El campo y el potencial creados por una esfera en puntos para los cuales r > R coinciden con los creados por una partícula de la misma masa situada en el centro de la 135 esfera. Como consecuencia, la fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo, situado en la superficie de la Tierra, está dirigida hacia el centro de ésta y tiene como módulo, GM F = mg = m 2 , RT donde RT ≃ 6370 km . Para r > RT ( r = RT + h , h ≡ altura sobre la superficie de la Tierra), el potencial gravitatorio es:  M M 1 M h ϕ ( r ) = −G = −G ≃ −G + ...  1 − RT + h RT 1 + h RT RT  RT  Teniendo en cuenta el valor del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra, g ( RT ) = GM RT2 , la energía potencial de una masa m de prueba es U ( RT + h ) = m ϕ ( RT + h ) ≃ −G M + mg ( RT ) h RT El primer término de esta expresión es una constante aditiva que puede ignorarse cambiando el origen para la energía potencial.
Si ahora tenemos en cuenta que la aceleración de la gravedad a nivel del mar es 9.8 2 m/s , g ( RT ) RT2 M= ≃ 5.94 × 1024 kg G La densidad media de la Tierra es: M ρ= = 5.5 g/cm 3 4 U r = mϕ r π RT3 3 Por último, vamos a calcular la RT RT + h r velocidad que debe tener un objeto en la E superficie de la Tierra para poder escapar del campo gravitatorio terrestre (alejarse a distancia infinita del centro de la Tierra). Si desde la superficie de la Tierra se dispara una partícula de masa m con velocidad v0 , llegará a una distancia r = RT + h del centro, de manera que ( ) ( ) Figura 5.12. Gráfica de la energía potencial para una partícula con energía mecánica E .
E= 1 2 mv0 + U ( RT ) = U ( RT + h ) 2 Es decir,   1 2 Mn Mn 2GM mv0 = −G +G → h = RT  − 1 2 2 RT + h RT  2GM − RT v0  Cuando E = 0 , es decir, cuando la velocidad inicial vale: ve = 2GM RT h se hace infinito y la partícula no vuelve a la Tierra. Esta velocidad es la mínima necesaria para que un objeto, en la superficie de la Tierra, escape del campo gravitatorio terrestre. Esta velocidad se llama velocidad de escape. Para la Tierra, ve = 11.2 km/s .
Para la Luna tenemos que: 136 M L = 0.0123M T RL = 0.273RT → ve = 2.4 km/s 137 ...