Problemas Tema 1 (2013)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Señales y Sistemas
Año del apunte 2013
Páginas 13
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 8
Subido por

Vista previa del texto

Professors SiS_v1 Senyals i sistemes Senyals i sistemes Solució a exercicis tema 1 1. Un senyal x(t ) qualsevol es pot descompondre com a suma d’un senyal parell i un imparell: = x(t ) x p (t ) + xi (t ) . Demostri-ho obtenint x p (t ) i xi (t ) a partir de x(t ) .
Sol.
= x(t ) x p (t ) + xi (t ) x(−t ) = x p (−t ) + xi (−t ) = x p (t ) − xi (t ) x(t ) + x(−t ) = 2 x p (t ) x(t ) − x(−t ) = 2 xi (t ) x p (t ) = x(t ) + x(−t ) 2 xi (t ) = x(t ) − x(−t ) 2 𝑡−3 � 2 Simulació Matlab amb 𝑥(𝑡) = Λ � t=-6:0.01:6; x=p6_pols_triang((t-3)/2); xp=(p6_pols_triang((t-3)/2)+p6_pols_triang((-t-3)/2))/2; xi=(p6_pols_triang((t-3)/2)-p6_pols_triang((-t-3)/2))/2; subplot(311) plot(t,x), title('Senyal original'), xlabel('t'), axis([t(1),t(end),-1,1]), grid subplot(312) plot(t,xp), title('Component parell'), xlabel('t'), axis([t(1),t(end),-1,1]), grid subplot(313) plot(t,xi), title('Component senar'), xlabel('t'), axis([t(1),t(end),-1,1]), grid ___________________________________________________________________________ 2. Calculeu l’energia i la potència dels següents senyals: pL[n], Λ(t), u(t) i u[n], x(t)=Acos(2πfot+φ) Sol.
EPL = L PPL = 0 2 3 PΛ = 0 Eu (t ) = ∞ EΛ = ; ; Pu (t ) = 1 2 ; Eu[ n ] = ∞ Pu[ n ] = 1 2 ; Ex (t ) = ∞ Px (t ) = A2 2 Una opció per trobar la potència mitjana de la sinusoide és: 1 de 13 Professors SiS_v1 Senyals i sistemes Si la integral es resol com: 1 𝑇 2 � 𝐴 cos2(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜙)𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇 𝑃𝑥 = lim 𝑇 � 𝐴2 cos2(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜙)𝑑𝑡 = −𝑇 = 𝐴2 𝑇 � (1 + cos(2𝜋2𝑓0 𝑡 + 𝜙) ) dt = 2 −𝑇 sin(2𝜋2𝑓0 𝑇 + 𝜙) sin(2𝜋2𝑓0 𝑇 + 𝜙) 𝐴2 �2𝑇 + 2 � = 𝐴2 �𝑇 + � 2 2𝜋2𝑓0 2𝜋2𝑓0 El límit queda com: 𝐴2 sin(2𝜋2𝑓0 𝑇 + 𝜙) 1 2 ; 𝑠𝑖 𝑓𝑜 ≠ 0, 𝑝𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑠𝑒𝑣𝑜𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝜙 𝐴 �𝑇 + 𝑃𝑥 = lim �=�2 𝑇→∞ 2𝑇 2𝜋2𝑓0 𝐴2 cos2 (𝜙) ; 𝑠𝑖 𝑓𝑜 = 0 Simulació Matlab per 𝑝17 [𝑛]. La potència es mesura amb el nombre de mostres disponible.
n=-6:50; L=17; x=p6_polsd(n,L); Nx=length(x); Ex=x*x(:); Px=Ex/Nx; stem(n,x), title(['Senyal p_1_7[n]. E_x=',num2str(Ex),' i P_x=',num2str(Px),' mesurada amb N_x=',num2str(Nx),' mostres']), xlabel('n'), axis([n(1),n(end),0,1.1]), grid ___________________________________________________________________________ 3. Quina és la condició per que una sinusoide digital sigui un senyal periòdic? Sol.
Considerant 𝑥[𝑛] = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝐹𝑜 𝑛) 𝑥[𝑛 + 𝑁] = 𝐴𝑐𝑜𝑠�2𝜋𝐹𝑜 (𝑛 + 𝑁)� = = 𝐴�𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝐹𝑜 𝑛)𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝐹𝑜 𝑁) − 𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝐹𝑜 𝑛)𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝐹𝑜 𝑁)� Si 𝐹𝑜 𝑁 = 𝑘, 𝑎𝑚𝑏 𝑘 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟; 𝑥[𝑛 + 𝑁] = 𝑥[𝑛] Per tant, una sinusoide digital és periòdica si la seva freqüència és una relació d’enters 𝑘 �𝐹𝑜 = 𝑁�. L’enter del denominador és el període N; ___________________________________________________________________________ 4. Trobeu la potència mitjana de x[n]=Acos(2πFon) Sol.
𝑥[𝑛] = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝐹𝑜 𝑛) 2 de 13 Professors SiS_v1 Senyals i sistemes 𝑀 𝑀 𝑛=−𝑀 𝑛=−𝑀 1 1 2 𝑃𝑥 = lim � |𝑥[𝑛]|2 = lim � �𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝐹𝑜 𝑛)� = 𝑀→∞ 2𝑀 + 1 𝑀→∞ 2𝑀 + 1 𝑀 1 𝐴2 lim � �1 + 𝑐𝑜𝑠(4𝜋𝐹𝑜 𝑛)� = 2 𝑀→∞ 2𝑀 + 1 𝑛=−𝑀 Tenint en compte que: 𝑀 𝑀 𝑛=−𝑀 𝑛=−𝑀 � �1 + 𝑐𝑜𝑠(4𝜋𝐹𝑜 𝑛)� = 2𝑀 + 1 + � 𝑐𝑜𝑠(4𝜋𝐹𝑜 𝑛) i que el cosinus es pot descompondre en exponencials: 𝑀 𝑀 𝑛=−𝑀 𝑛=−𝑀 � 𝑐𝑜𝑠(4𝜋𝐹𝑜 𝑛) = � 𝑒 𝑗4𝜋𝐹𝑜 𝑛 + 𝑒 −𝑗4𝜋𝐹𝑜 𝑛 2 i per tant queda la suma de les sèries geomètriques: 𝑀 La potencia queda: � 𝑒 𝑛=−𝑀 𝑃𝑥 = 𝑗4𝜋𝐹𝑜 𝑛 𝑀 = � 𝑒 −𝑗4𝜋𝐹𝑜 𝑛 = 𝑛=−𝑀 sin�2𝜋𝐹𝑜 (2𝑀 + 1)� sin(2𝜋𝐹𝑜 ) sin�2𝜋𝐹𝑜 (2𝑀 + 1)� 𝐴2 1 lim �2𝑀 + 1 + �= sin(2𝜋𝐹𝑜 ) 2 𝑀→∞ 2𝑀 + 1 sin�2𝜋𝐹𝑜 (2𝑀 + 1)� 1 𝐴2 𝐴2 + lim = � � sin(2𝜋𝐹𝑜 ) 2 2 𝑀→∞ 2𝑀 + 1 Finalment, resolent el límit, 𝐴2 ; 𝑠𝑖 𝐹𝑜 ≠ 0 ± 𝑘 (𝑘 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟) 𝑃𝑥 = � 2 𝐴2 ; 𝑠𝑖 𝐹𝑜 = 0 ± 𝑘 (𝑘 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟) Simulació Matlab per 𝑥[𝑛] = 4 cos(2𝜋0.03𝑛). La potència es mesura amb el nombre de mostres disponible.
Fx=0.03; Nx=201; n=0:Nx-1; x=4*cos(2*pi*Fx*n); Px=x*x(:)/Nx; stem(n,x), title(['Senyal x[n]=4cos(2 pi ',num2str(Fx),' n). P_x=',num2str(Px),' mesurada amb N_x=',num2str(Nx),' mostres']), xlabel('n'), axis([n(1),n(end),-4.5,4.5]), grid; ___________________________________________________________________________ 3 de 13 Professors SiS_v1 Sol.
Senyals i sistemes 5. Calculi l’energia del senyal pols rampa digital causal de L mostres 𝑛 ;0 ≤ 𝑛 < 𝐿 𝑥[𝑛] = � 𝐿−1 0; 𝑝𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑛 ∞ 𝐸𝑥 = � |𝑥[𝑛]|2 = 𝑛=−∞ 𝐿−1 1 𝐿(2𝐿 − 1) � 𝑛2 = (𝐿 − 1)2 6(𝐿 − 1) 𝑛=0 Simulació Matlab per 𝐿 = 25. La solució teòrica és 𝐸𝑥 = 8.5069 n=-10:50; Nx=length(n); L=25; x=p6_rampad(n,L); Ex=x*x(:); stem(n,x), title(['Senyal rampa digital amb L=',num2str(L),' mesurada amb N_x=',num2str(Nx),' mostres. Ex=',num2str(Ex)]), xlabel('n'), axis([n(1),n(end),0,1.1]), grid; -t 6. Fer dues funcions MATLAB, una que generi l’exponencial unilateral (e u(t)), i l’altre que generi un pols triangular.
Sol.
La primera funció és: function x= p6_exp(t) x=exp(-t).*(t>=0); La segona: function x= p6_pols_triang(t) x=(1-abs(t)).*(abs(t)<1); ___________________________________________________________________________ 7. Fer una funció Matlab rampa digital causal de L mostres Sol.
function x=p6_rampa(n,L) % Funció rampa digital causal de L mostres % x=p6_rampa(n,L) % x=n/(L-1); si 0<=n<L % x= 0; per altres n % aquesta funció es va fer a la classe del 22-II-2012, (G23) % la primera opció que es va discutir està comentada if any(fix(n)~=n) error('n no és enter') end if (L~=fix(L) | (L<2)) error('L no és adequat') 4 de 13 Professors SiS_v1 Senyals i sistemes end % ni=n(1); % nf=n(end); % j=0; % for in=ni:nf % j=j+1; % if in<0 % x(j)=0; % elseif in<L % x(j)=in/(L-1); % else % x(j)=0; % end % end x=n/(L-1).*((0<=n)&(n<L)); ___________________________________________________________________________ 8. Donats els senyals de la figura x(t) 1 0.5 t 0 -0.5 -1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y(t) 1 0.5 t 0 -0.5 -1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 es demana: Sol.
a) Obtingui la relació entre el senyals y(t) i x(t) mitjançant transformació de variable.
b) Obtingui l’expressió analítica del senyal x(t).
c) Comprovi amb MATLAB la correcció de les respostes als apartats a) i b). Quina és doncs l’expressió analítica del senyal y(t)? a) y (t ) = x ( −2(t − 3) ) = x(−2t + 6)  0; per t < -1  1+ t  = x(t )  ; per t ≤ 1  2− (t −1) b) ; per t > 1 −e  t −1  − ( t −1) x(t ) =Λ  u (t − 1) ·u (−t + 1) − e  2  5 de 13 Professors SiS_v1 c) Senyals i sistemes 0; per t > 3.5   y (t= ) 3.5 − t ; per 2.5 < t < 3.5  −e 2t −5 ; per t < 2.5  y ( t ) =−e 2t −5u ( −t + 2.5 ) + Λ ( t − 2.5 ) u ( t − 2.5 ) Un possible codi Matlab de comprovació: Es crea una funció generadora del senyal original: function x=p6_senyal_exemple(t) x=zeros(size(t)); x=x+(1+t)/2.*(abs(t)<=1)-exp(-(t-1)).*(t>1); Un cop guardada la funció, i des de la finestra d’ordres de Matlab, es fa una representació gràfica de l’original i del senyal resultant amb el canvi de variable, tots dos en un interval temporal t: t=-2:0.001:6; x= p6_senyal_exemple(t); y= p6_senyal_exemple(-2*t+6); subplot(211), plot(t,x), grid on subplot(212), plot(t, y), grid on ___________________________________________________________________________ 9. Donats els senyals de la figura x 1(t) 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 -2 -1 0 1 2 3 4 x 2(t) 2 0 -2 1.5 1 1 0.5 0.5 -4 -2 0 -1 0 2 4 6 0 1 2 3 4 y 2(t) 2 1.5 0 y 1(t) 1 -4 -2 0 2 4 6 es demana: a) Obtingui la relació entre el senyal y1(t) i x1(t) mitjançant transformació de variable.
b) Obtingui l’expressió analítica dels senyals x1(t) i y1(t).
c) A partir d’aquesta expressió analítica de x1(t) i de la relació obtinguda en l’apartat a) comprovi el resultat de y1(t) que ha donat en l’apartat b).
d) Repeteixi els tres apartats anteriors pels senyals x2(t) i y2(t).
6 de 13 Professors SiS_v1 Senyals i sistemes Sol.
a) 𝑦1 (𝑡) = 𝑥1 �2(𝑡 − 1)� 𝑡 2 𝑡−1 3 � ; 𝑦1 (𝑡) = (2 − 𝑡)Π �𝑡 − � 2 2 2(𝑡−1) 2(𝑡−1)−1 2𝑡−3 �1 − �Π� � = (2 − 𝑡)Π � � 2 2 2 b) 𝑥1 (𝑡) = �1 − � Π � c) 𝑥1 �2(𝑡 − 1)� = d) 𝑦2 (𝑡) = 2𝑥2 (−𝑡 + 2); amb 𝑥2 (𝑡) = 𝑒 −(𝑡−1) 𝑢(𝑡 − 1); Obtenim 𝑦2 (𝑡) = 2𝑒 (𝑡−1) 𝑢(−𝑡 + 1); 3 2 = (2 − 𝑡)Π �𝑡 − � Simulació Matlab.
t=linspace(-4,6,1000); x1=p6_pols_rect((t-1)/2).*(1-t/2); % Original %y1=p6_pols_rect(t-1.5).*(2-t); % Original y1=p6_pols_rect((2*(t-1)-1)/2).*(1-2*(t-1)/2); % Trf. variable subplot(211) plot(t,[x1;y1]) title(['Senyals original x_1(t) (blau) i aplicant la trf. variable y_1(t) (verd)']), xlabel('t'), axis([t(1),t(end),0,1.1]), grid x2=p6_exp(t-1); % Original %y2=2*p6_exp(-(t-1)); % Original y2=2*p6_exp((-t+2)-1); % Trf. variable subplot(212) plot(t,[x2;y2]) title(['Senyals original x_2(t) (blau) i aplicant la trf. variable y_2(t) (verd)']), xlabel('t'), axis([t(1),t(end),0,2.1]), grid ___________________________________________________________________________ 10. Convolució entre  t − τ / 2 − t0   t −τ / 2  x(t ) = Π Π  i h(t ) =  τ τ     Sol.
 t − τ − to  y (t )= x(t ) * h(t )= τ ·Λ    τ  Simulació Matlab, amb 𝜏 = 1 𝑖 𝑡𝑜 = 2 t=linspace(-1,5,1000); tau=1; to=2; x=p6_pols_rect((t-tau/2)/tau); h=p6_pols_rect((t-tau/2-to)/tau); y=tau*p6_pols_triang((t-tau-to)/tau); subplot(211) plot(t,[x;h]) title(['Senyals original x(t) (blau) i h(t) (verd)']), xlabel('t'), axis([t(1),t(end),0,1.1]), grid subplot(212) 7 de 13 Professors SiS_v1 Senyals i sistemes plot(t,y) title(['Senyal convolucionat']), xlabel('t'), axis([t(1),t(end),0,1.1]), grid ___________________________________________________________________________ 11. Problema 2.3 Haykin, trobi s1[n]=z[n]*y[n] i faci la representació gràfica especificant l’eix n. Comprovi el resultat amb Matlab. Sabent la durada de z[n] i de y[n] quina és la durada de s1[n]. Es pot generalitzar aquest resultat? Sol.
El problema 2.3 es troba a la pàgina 154 del llibre.
z[n] = p3 [n] + 2· p3 [n − 3] y[n= ] p3 [n + 2] − p2 [n − 1] 1,2,3,3,3,4,1,-2,-4,-2 per n=-2:7 = s1[n] z= [n]* y[n]  0, per altres valors de n  Amb Matlab, i fent servir la funció p6_polsd.m, definida com function x=p6_polsd(n,L) if (any(fix(n)~=n) | (fix(L) ~=L) | (L<1)) error('??? n i L han de ser enters, amb L>0') end x=(n>=0)&(n<L); x=double(x); a la finestra de comandes, o amb un fitxer .m, fem: nz=-3:8; z=p6_polsd(nz,3)+2*p6_polsd(nz-3,3) ny=-4:5; y= p6_polsd(ny+2,3)-p6_polsd(ny-1,2) s1=conv(z,y); ns1=(-3-4): (8+5) subplot(311), stem(nz,z), ylabel(‘z’), xlabel(‘n’) subplot(312), stem(ny,y) , ylabel(‘y’), xlabel(‘n’) subplot(313), stem(ns1,s1) , ylabel(‘s1’), xlabel(‘n’) La durada de z[n] és Lz=6 mostres, la de y[n] és Ly=5. La durada de s1[n]=10 mostres=Lz+Ly-1, generalitzable per convolució de senyals de durada finita.
___________________________________________________________________________ 𝑡 𝑇 12. Fer la convolució entre 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2 (2𝜋𝑓𝑜 𝑡) i 𝑦(𝑡) = Π � �. Analitzi el resultat en funció de T Sol.
8 de 13 Professors SiS_v1 Senyals i sistemes 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ 𝑦(𝑡) = 𝑘 2 𝐴𝑇 𝐴 sin(2𝜋𝑓𝑜 𝑇) + cos(2𝜋2𝑓𝑜 𝑡) 4𝜋𝑓𝑜 2 Si 𝑓𝑜 𝑇 = , és a dir, si T inclou un nombre enter de semiperíodes de la sinusoide, la convolució és la constant 𝐴 sin(2𝜋𝑓𝑜 𝑇) , 4𝜋𝑓𝑜 𝐴𝑇 .
2 Altrament, la convolució és un cosinus de freqüència 2𝑓𝑜 i amplitud amb un nivell de continua donat per 𝐴𝑇 .
2 Simulació Matlab, considerant 𝐴 = 2, 𝑓𝑜 = 5𝐻𝑧 𝑖 𝑇 = 30𝑚𝑠. Es considera un interval temporal de -200ms a 200ms, ja que el període de x(t) és de 𝑇𝑥 = 100𝑚𝑠. Amb 𝑇 = convolució val la constant 𝐴𝑇 2 = 0.1 1 2𝑓𝑜 = 100𝑚𝑠, la A=2; fo=5; T=0.03; % Amb T=0.1, z(t)=0.1 t=-0.2:1/1000:0.2; x=A*cos(2*pi*fo*t).^2; y=p6_pols_rect(t/T); z=A*T/2+A/(4*pi*fo)*sin(2*pi*fo*T)*cos(2*pi*2*fo*t); plot(t,[x;y;z]) ___________________________________________________________________________ 13. Fer les convolucions: 1 − t −τ 2  t +1 y1 (t ) = x(t ) * h(t ), amb x(t)=Π  , i h ( t ) = e u (t − 2)  τ  T   t −T / 2  y2 (t ) = x(t ) * h(t ), amb x(t)=Π  Ae − t /τ u (t ) ,  cos(2π f o t ), i h(t ) =  T  per T>>τ i per T<<τ, en tots dos casos.
Sol.
⎧ ⎪ ⎪ 0, 𝑝𝑒𝑟 𝑡 < 1 − 𝑇 𝑇 2 𝑡−1+ 𝑦1 (𝑡) = 1 − 𝑒 − 𝜏 2 , 𝑝𝑒𝑟 1 − 𝑇 < 𝑡 < 1 + 𝑇 ⎨ 2 2 𝑇 𝑇 𝑡−1 ⎪ 𝑇 ⎪ 2𝜏 − − �𝑒 − 𝑒 2𝜏 � 𝑒 𝜏 , 𝑝𝑒𝑟 𝑡 > 1 + ⎩ 2 𝑦1 (𝑡) = �1 − 𝑒 𝑦2 (𝑡) = − 𝑇 𝑡−1+ 𝑡 2 𝜏 �Π� ⎧ ⎪ 𝑇 𝑇 𝑡−1 −1 𝑇 � + �𝑒 2𝜏 − 𝑒 −2𝜏 � 𝑒 − 𝜏 𝑢 �𝑡 − �1 + �� 𝑇 2 0, 𝑝𝑒𝑟 𝑡 < 0 𝑡 −𝜏𝑒 −𝜏 𝐴 + (𝜏 cos(2𝜋𝑓𝑜 𝑡) + 2𝜋𝑓𝑜 sin(2𝜋𝑓𝑜 𝑡)) , 𝑝𝑒𝑟 0 < 𝑡 < 𝑇 · (2𝜋𝑓𝑜 )2 + 𝜏 2 ⎨ 𝑇 𝑡 𝑇 ⎪(−𝜏 + 𝑒 𝜏 (𝜏 cos(2𝜋𝑓𝑜 𝑇) + 2𝜋𝑓𝑜 sin(2𝜋𝑓𝑜 𝑇)))𝑒 −𝜏 , 𝑝𝑒𝑟 𝑡 > 1 + 2 ⎩ 9 de 13 Professors SiS_v1 Senyals i sistemes Simulació Matlab.
t=-5:1/1000:5; T=2;tau=1/4; x=p6_pols_rect((t+1)/T); h=1/tau*p6_exp((t-2)/tau); y1=(1-p6_exp((t-1+T/2)/tau)).*p6_pols_rect((t-1)/T)+(exp(T/(2*tau))exp(-T/(2*tau)))*p6_exp((t-1)/tau).*(t>(1+T/2)); figure(1) plot(t,[x;h;y1]) % fo=1.55; A=2; t=-1:1/1000:5; x2=p6_pols_rect((t-T/2)/T).*cos(2*pi*fo*t); h2=A*p6_exp(t/tau); C1=A/((2*pi*fo)^2+tau^2); y2=C1*(tau*p6_exp(t/tau)+(tau*cos(2*pi*fo*t)+2*pi*fo*sin(2*pi*fo*t))).*p6_pols_ rect((t-T/2)/T); y2=y2+C1*(+tau+exp(T/tau)*(tau*cos(2*pi*fo*T)+2*pi*fo*sin(2*pi*fo*T)))*p 6_exp(t/tau).*(t>T); figure(2) plot(t,[x2;h2;y2]) ___________________________________________________________________________ 14. Donada la següent relació entrada-sortida d’un sistema discret: y[n]=y[n-1]+(x[n]-x[n-5])/5. Es demana: • • • • analitzar les propietats del sistema realització del sistema (esquema) h[n] trobar la sortida a x[n]=cos(2πFon), amb Fo=1/4 • • El sistema és lineal, invariant, causal i estable Diagrama de blocs Sol.
1/5 x[n] + y[n] + z-5 • • -1 z h[n]=1/5 per n=0:4; h[n]=0, per altres valors de n 1 π  y[n] = cos  n  5 2  Simulació Matlab La funció que implementa el sistema és: function y=ex14_f(x) 10 de 13 Professors SiS_v1 Senyals i sistemes % Sistema corresponent al diagrama de blocs de l'exemple 14 corresponent % a l'equació en recurrències % y[n]=y[n-1]+(x[n]-x[n-5])/5 v=zeros(1,5); w=0; Nx=length(x); y=zeros(size(x)); for n=1:Nx y(n)=w+(x(n)-v(5))/5; w=y(n); v=[x(n),v(1:4)]; end El sistema es pot provar amb: Per trobar la resposta impulsional: Nx=20; n=0:Nx-1; x=zeros(1,Nx); x(1)=1; % Delta de n h=ex14_f(x); stem(n,h) Per trobar la resposta a la sinusoide: Fo=1/4; x=cos(2*pi*Fo*n); y=ex14_f(x); stem(n,y) % es pot observar un transitori inicial ___________________________________________________________________________ 15. Un sistema lineal i invariant té la resposta impulsional h[n] representada a la figura.
h[n] 1 n -2 -1 0 1 2 per − 5 < n < 5 n  0 per altres valors de n Troba la sortida y[n] per n=-4 quan l’entrada és x [ n ] =  Si es fa servir una nova entrada al sistema donada per z[n]=x[n-6], troba la sortida per n=0.
Sol.
1 −2 𝑚=−2 𝑚=−5 𝑦[−4] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛]|𝑛=−4 = � 𝑥[−4 − 𝑚]ℎ[𝑚] = � ℎ[−4 − 𝑚]𝑥[𝑚] = 5 − 4 − 3 − 2 = −4 11 de 13 Professors SiS_v1 Senyals i sistemes 𝑧[0] = 𝑧[𝑛] ∗ ℎ[𝑛]|𝑛=0 = 𝛿[𝑛 − 6] ∗ 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛]|𝑛=0 = 𝑦[𝑛 − 6]|𝑛=0 = 𝑦[−6] −1 = � 𝑥[−6 − 𝑚]ℎ[𝑚] = −9 𝑚=−2 Simulació Matlab n=-5:11; % Eix n pels senayls h, x, z h=[0 0 0 1 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; subplot(311) stem(n,h), xlabel('n'), ylabel('h[n]') x=[n(1:11),0 0 0 0 0 0]; subplot(312) stem(n,x), xlabel('n'), ylabel('x[n]') z=zeros(size(x)); z(7:17)=-5:5; subplot(313) stem(n,z), xlabel('n'), ylabel('z[n]') ny=-10:22; % eix n pels senyals convolucionats y=conv(x,h); y1=conv(z,h); figure subplot(211) stem(ny,y), xlabel('n'), ylabel('y[n]') subplot(212) stem(ny,y1), xlabel('n'), ylabel('y1[n]') yn_4=y(find(ny==-4)) % Valor de y a n=-4 y1n0=y1(find(ny==0)) % Valor de y1 a n=0 yn_6=y(find(ny==-6)) % Valor de y a n=-6 ___________________________________________________________________________ 16. Analitzi les propietats de linealitat, invariància, causalitat i estabilitat dels sistemes: a. 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 𝑡𝑜 ) b. 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑎𝑡); 𝑝𝑒𝑟 𝑎 ≠ 0 c. 𝑦(𝑡) = |𝑥(𝑡)| 𝑇 2 𝑇 𝑡− 2 1 d. 𝑦(𝑡) = ∫ 𝑇 1 𝐿 𝑡+ 𝑥(𝜏)𝑑𝜏 e. 𝑦[𝑛] = ∑𝑛𝑚=𝑛−(𝐿−1) 𝑥[𝑚] f.
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] − 𝑎 · 𝑦[𝑛 − 1] g. 𝑦(𝑡) = 1 ∞ ∫ 𝑥(𝑡 𝑅𝐶 0 𝜏 − 𝜏)𝑒 −𝑅𝐶 𝑑𝜏 h. y(t) = x(t) + a · x(t − T) i.
Sol.
𝑡 𝑦(𝑡) = ∫−∞ 𝑥(𝜏)𝑑𝜏 j. 𝑦[𝑛] = ∑𝑛𝑚=−∞ 𝑥[𝑚] k. 𝑦(𝑡) = cos(2𝜋𝑓𝑜 𝑡) 𝑥(𝑡) Sistema Lineal Invariant Causal a si si per 𝑡𝑜 ≥ 0 b si no no c no si si d si si no e si si si 12 de 13 Estable si si si si si Professors SiS_v1 Senyals i sistemes f si si si per |𝑎| < 1 g si si si si h si si per 𝑇 ≥ 0 si i si si si no j si si si no k si no si si ___________________________________________________________________________ 17. Pels sistemes de l’exercici 15, que siguin lineals i invariants, trobi la seva resposta impulsional.
Sol.
a) ℎ(𝑡) = 𝛿(𝑡 − 𝑡𝑜 ) b) no es pot caracteritzar amb h(t) c) no es pot caracteritzar amb h(t) 1 𝑡 𝑇 𝑇 1 𝑝 [𝑛] 𝐿 𝐿 (−𝑎)𝑛 d) ℎ(𝑡) = Π � � e) ℎ[𝑛] = f) ℎ[𝑛] = g) ℎ(𝑡) = h) i) j) k) 1 𝑒 𝑅𝐶 𝑢[𝑛] 𝑡 − 𝑅𝐶 𝑢(𝑡) ℎ(𝑡) = 𝛿(𝑡) + 𝑎𝛿(𝑡 − 𝑇) ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡) ℎ[𝑛] = 𝑢[𝑛] no es pot caracteritzar amb h(t) ___________________________________________________________________________ 13 de 13 ...