Trabajo 2 (2014)

Trabajo Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería en Tecnologías Industriales - 3º curso
Asignatura Mecánica de Fluidos
Año del apunte 2014
Páginas 23
Fecha de subida 30/06/2014
Descargas 3

Descripción

Segundo trabajo de la asignatura de Mecánica de Fluidos correspondiente al temario de Estática (capítulo 5). nota = 8

Vista previa del texto

1.- En el esquema siguiente, determinar la presión del aire para que la resultante de todas las componentes horizontales de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de la figura, de radio R y longitud unitaria, sea nula. Para este mismo caso, hallar el peso mínimo por unidad de longitud que ha de tener el cuerpo de la figura para que se mantenga en la posición esquematizada en la figura. Considerar se conocen todas las dimensiones necesarias, así como las densidades de los diferentes fluidos.
El primer de tot que farem serà dividir el nostre cos en 4 superfícies, i veure quines pressions actuen en cada superfície.
Un cop tinguem les 4 forces horitzontals les igualarem a zero, i trobarem la pressió de l'aire.
Per relacionar les forces i les pressions tenim aquesta fórmula.
SUPERFÍCIE 1 y 2 Si ens fixem bé, podem veure com les forces tenen una distribució bastant semblant, (com si tinguessin un eix de simetria), si aquestes forces les descomponem en la component horitzontal veiem que són iguals però de signe contrari.
SUPERIFÍCE 1 Si mirem quines pressions actuen sobre la superifície 1 tenim, la pressió de l'aigua, la de l'oli i no oblidar-nos de l atmosfèrica (que la podem considerar absoluta, o relativa dient que és 0).
També és important tindre en compte que descompondrem la pressió com la seva densitat per la gravetat i per l'altura corresponent.
Farem la suposició de què el cos té una longitud de 'L'.
Veiem que estem donant l'altura de la superfície en funció de l'angle que assoleix donant per sapigut el radi (com a 'R').
L'única dificultat visible pot ser la integral de la part de l'aigua, l'hem dividit en dos, la primera part és com les anteriors, i la segona ens queda un cosθ multiplicat per un sinθ, aquesta integral té per resultat -1/2*cosθ^2.
SUPERFÍCIE 2 Com hem dit, la component horitzontal és la mateixa que la superfície 1 però a signe canviat.
Es a dir la força horitzontal és: SUPERFÍCIE 3 De nou, podem veure que aquesta part només l'afecta la pressió atmosfèrica, la de l'aigua i la de l'oli.
A més, a la superfície tres direm que té una altura total 'A', i aquest com en comptes de donar la superfície en funció de l'angle, la donarem en funció de la seva altura que direm que varia y de 0 a A.
Veiem que l'únic terme que depèn de y es la part de l'aigua, però en tots els casos són integrals senzilles.
SUPERFÍCIE 4 Aquest cop, les pressions que actuen, serà la de l'aigua, la de l'aire (no ens oblidem que és la que volem trobar) i ja està, aquí no tenim atmosfèrica.
En aquesta superfície tenim que vigila amb l'angle que es forma, i amb l'altura que varia.
De nou les integrals són senzilles, i el sinΦ que afecta la pressió s'envà amb el de la superfície.
Ara ja tenim totes les forces horitzontals, només ens queda igualar-les a zero.
Fx1 + Fx2 + Fx3 + Fx4 = 0 Hem vist que Fx1 = -Fx2, llavors ens queda.
Fx3 = -Fx4 Per al segon apartat, farem el mateix procediment, calcularem les forces verticals de cada superfície i igualarem a zero, sense oblidar-nos del pes del nostre cos.
SUPERFÍCIE 1 L'única variació que pateix respecte a la component x, és que la pressió és multiplica pel sinθ.
SUPERFÍCIE 2 De nou podem fixar-nos que la superfície 2 està molt relacionada amb la superfície 1, aquest cop la component no tenen sentit contrari, sinó que tenen el mateix signe i són iguals. Fy1 = Fy2 SUPERFÍCIE 3 Si mirem bé la superfície 3, veiem que és una superfície totalment vertical, es a dir que les forces que actuen sobre aquesta superfície són horitzontals, llavors: Fy3 = 0 SUPERFÍCIE 4 Com el càlcul de la component horitzontal, podem veure com les pressions que actuen són les de l'aire i la de l'aigua.
Veiem que l'únic canvi que pateix respecte a l'apartat anterior és la superfície on actua la pressió, es un canvi trignomètric però significatiu pel càlcul de l'integral.
Per poder trobar la solució, necessitem unes igualtats i considerar que l'amplada total de la part de la superfície és 'D'.
Ara toca trobar la solució, amb el sumatori: Fy1 + Fy2 + Fy3 + Fy4 + mg = 0 Recordant que Fy1 = Fy2, i que Fy3 = 0 2·Fy1 + Fy4 + mg = 0 Ja que hem trobat la pressió de l'aire en el apartat anterior, el fiquem a la nostra equació.
Jugant una mica, i aïllant el valor de la massa del cos trobem la següent igualtat: 2.- El esquema de la figura muestra un embalse y una compuerta triangular situada en una pared inclinada del mismo.
Se pide, determinar la fuerza que el fluido ejerce sobre la compuerta triangular, (triángulo equilátero de lado L), así como el par que dicha fuerza ejerce sobre un eje situado en la parte inferior de la compuerta, eje X’X’.
Realizar el problema de dos maneras: mediante la aplicación de las expresiones conocidas y mediante integración del elemento diferencial de fuerza a lo largo de la superficie de la placa. Los datos de partida son los que se detallan en la figura adjunta, se conoce además la longitud de los lados del triángulo L.
1.- A través de la integració de l'element diferencial de força El punt d'inici és la fórmula de la pressió en funció de la densitat.
En el nostre problema podem veure com tenim dues altures una per l'aigua i l'altre per l'oli, per facilitar els càlculs anem a trobar una altura equivalent, que relacioni les dues.
Ara integrem per trobar l'altura equivalent, prestant atenció als límits d'integració.
Ara ja tenim aïllat l'altura de l'aigua equivalent, si substituïm els valor de l'enunciat trobem: El primer que ens crida l'atenció és que l'altura equivalent de l'aigua ocupa menys que la de l'oli, això és degut és que aquest és menys dens que l'aigua.
La figura ens queda amb l'esquema següent.
En la figura veiem aproximadament la posició de l'altura equivalent, veiem també la posició del centre de gravetat (que ara calcularem), i també veiem la secció que ens definirà la nostra obertura i que ens permetrà trobar dS.
Ara ens cal trobar el centre de gravetat de la nostra comporta.
Podem veure que tenim un triangle equilàter, on el seu centre de gravetat és troba al baricentre.
Ara calcularem dS, a partir de trobar la S, sabem que la superfície d'un triangle és: Ens interessa ficar-ho tot en funció de h, que ens defineix la nostra obertura.
I trobar dS és simplement derivar.
Ja tenim dS, i la P, llavors tenim l'equació: Veiem que tenim dos altures, amb el centre de gravetat trobat, podem relacionar l'altura del centre de gravetat amb la qual ens defineix l'obertura.
I ara ens toca integrar per trobar la força.
Inclús podem arreglar una mica l'expressió, amb la relació de h: Ara volem trobar el parell, per això tenim un F que és l'aplicada al centre de pressions i la x, que és la distància del centre de pressions a l'eix.
Considerem la Ycdp la nostra linía de referència.
Amb la geometria trobem una relació de Y1 amb H1.
I podem seguir arreglant, amb la relació anterior esmentada de h i L.
Ja tenim la Ycdp, i sabem que la distancia a la força aplicada és: I podem calcular el parell.
2.- A partir d'expressions conegudes Per calcular amb expressions conegudes, utilitzarem relacions de l'apartat anterior (referencies, relacions geomètriques, relacions de triangles, etc).
I el parell de manera semblant: 3.- Determinar la densidad de la esfera, ρ esfera, sabiendo que cuando se introduce en agua, flota en la posición que indica en la figura. θ = 30º; ρ agua = 1010 Kg/m3.
Si la esfera se sumerge en mercurio, determine el nivel de mercurio respecto al eje central de la esfera. ρmercurio = 13600 Kg/m3 Primer definim els següents paràmetres referents a la geometría: Partim de l’equació de l’empuje: Pasem als eixos determinats per l’angle donat a l’enunciat i fem servir els parameters definits anteriorment: Finalment, obtenim que el empuje és: Per cumplir amb l’estat estacionari que se’ns planteja al problema, el pes de l’esfera ha de ser igual al que hem obtingut per l’empuje, per tant: Finalment, obtenim que: Ara hem de calcular l’alçada que es summergeix en mercuri (coneixent la densitat d’aquest). La lógica diu que s’ha de sumergir menys que abans, per la diferencia de densitats. Per tant, l’angle estarà entre [0,-π/2].
S’ha de mantenir que el empuje sigui igual al pes, l’equació de l’empuje és la que hem trobat abans però fent servir la densitat del mercuri.
Si desenvolupem la integral i igualem a 0 (fent el canvi de variable x=sin ɵ), obtenim: Si resolem l’equació, obtenim 3 solucions: X1= -0.971477 X2= 0.860738 + 0.965146i X3= 0.860738 – 0.965146i Ens quedem amb la única solución que no es imaginaria, és a dir: x=-0.971477, desfem el canvi de variable x=sinɵ, i obtenim que ɵ = -76,28º respecte l’eix horitzontal situat al centre de l’esfera.
Tal i com deiem al principi, es summergeix menys que abans, creiem que és un resultat aceptable.
4.- Sea un recipiente cilíndrico parcialmente lleno de agua y abierto a la atmósfera.
Dicho recipiente gira a una velocidad angular de ω = 20 rads y está montado en un ascensor.
En condiciones de reposo, la altura del nivel del líquido es de 20 cm. Quedando un espacio libre entre el nivel del líquido y la superficie del vaso de 20 cm, el radio del cilindro es de 10 cm.
Sabiendo que cuando el ascensor se pone en marcha, tanto en sentido ascendente como descendente, la aceleración del mismo es de 1.5 m/s2 y su deceleración para cualquier sentido de la marcha es de 1.2 m/s2 determinar: a. La ecuación que rige la posición del nivel del líquido en función del radio.
b. La presión a la que está sometida una partícula de fluido situada a una altura de 2 cm respecto el fondo del depósito y a un radio de 0,05 m, para cualquier sentido de la marcha del ascensor.
c. Considerando que el vaso fuese suficientemente alto, determinar la velocidad de giro del mismo, para que la altura del fluido en el centro del vaso, radio = 0, sea nula.
h1 = 20 cm H = 40 cm a1 = 1,5 m/s2 a2 = 1,2 m/s2 R = 10 cm a) Partirem de l’equació diferencial de distribució de pressions, farem servir la que està en coordenades cilíndriques per la geometria del dipòsit que conté el fluid: Sabem que l’acceleració normal serà: i també sabem que per el nostre cas l’acceleració tangencial serà nula. Si apliquem aquestes condicions, l’equació que ens queda és la següent: Integrem l’equació diferencial, la nostra superfície de pressió serà la que es troba a pressió atmosfèrica (amb l’objectiu de simplificar els càlculs), haurem d’integrar entre h o (que no varia) fins la h (variable). Obtenim la següent equació: Resolem la integral: Si sabem que el volum del fluid no varia, és a dir que el volum del fluid en moviment és el mateix que tenia en el repòs, podem trobar la nostra incògnita, h0 : On el subíndex “i” fa referència al repòs. El volum en el repòs el coneixem i val: També sabem que el volum en moviment serà una integral al llarg del diferencial de volum: Si a aquesta expressió hi substituïm l’expressió de “h” que hem trobat anteriorment: Ara, igualem els volums i podem aïllar la h0: Substituint a la expressió de h trobada abans i substituint pels valors que coneixem (en unitats del SI) obtenim l’expressió desitjada: Obtenim una equació en funció de l’acceleració, a l’enunciat se’ns plantejen 4 casos diferents, a continuació els comprovem un per un, mirem que cap de les situacions fagi vessar el fluid (vessa si r=R tenint en compte que H=40 cm) No vessa en cap dels 4 casos proposats.
b) Estudiarem la pressió per el punt que ens han donat en els següents casos: Quan el ascensor puja, en el moment de acceleració i el de desceleració. El mateix per quan baixa.
Primer treurem l’expressió de la pressió i despres l’analitzarem per a cada cas.
Tornem a plantejar la mateixa equació que al primer apartat: Substituint la ho ja trobada i treballant en pressions relatives (Patm = 0): El punt que hem d’estudiar te les següents coordenades: r = 0,05 m i h = 0,02 m. El fluid és aigua, per tant ρ = 1025 kg/m3. Substituint cada az per cada un dels 4 casos i els altres valors en unitats del SI: Si el ascensor puja: 1. Acceleració 2. Desceleració Si el ascensor baixa: 3. Acceleració 4. Desceleració c) Hem de trobar la velocitat angular per a un punt on h o = 0 i r = 0. Partim de la relació que hem trobat anteriorment: Sabent que ho = 0 i aïllant la velocitat angular ens queda: Observem que tenim dos signes per el resultat de la velocitat angular, depenent de si gira en un sentit o cap a l’altre.
Així, podem obtenir la velocitat angular pels quatre casos que ja hem estudiat abans: Si el ascensor puja: 1. Acceleració 2. Desceleració Si el ascensor baixa: 3. Acceleració 4. Desceleració 5.- Sea un depósito parcialmente lleno de agua y abierto a la atmósfera como el que se muestra en la figura. El depósito se desliza en sentido ascendente, por el plano inclinado de la figura, manteniendo una aceleración constante. Si en un momento dado, la superficie libre del liquido esta en la posición indicada en la figura, determinar el valor de dicha aceleración, así como de sus componentes en sentido horizontal y vertical. Determinar bajo estas mismas condiciones la presión en el punto B de la figura.
Distancia entre los puntos A-B: 1m.
Distancia entre los puntos B-C: 1,5 m.
La pendiente del plano inclinado se esquematiza en la figura adjunta.
Abans de començar amb els càlculs numèrics hem de posar un eix de referència. El posarem en la direcció que mostra la següent imatge i l’origen serà al punt A: Primer de tot projectarem la gravetat als eixos que hem escollit. En aquest cas, considerarem que la gravetat és 9.81 m/s2.
Com que l’enunciat ens dona les dimensions del triangle, podem calcular l’angle: Considerarem el moviment del fluid com el d’un sòlid rígid. Tindrem en compte l’acceleració i la gravetat en X i en Y, per tant tindrem el següent: Partim de la següent equació diferencial: Substituim els termes anterior per l’equivalència que els correspon i queda el següent: Per trobar l’acceleració integrarem entre A i C. Veiem que als dos punta hi ha la mateixa pressió, és a dir, la pressió atmosfèrica.
Tenint en compte que hem posat els eixos de coordenades en A, el punt C és el (1.5; -1): On ρ és la densitat de l’aigua i en aquest cas considerem que es troba en condicions normals, és a dir, 1000kg/m3.
Substituint tots els valor numèrics ens queda el següent: Finalment aïllem d’aquí l’acceleració: Aquesta és l’acceleració en la direcció del pla inclinat. L’únic que hem de fer és projectarla en la direcció X i Y: Per trobar la pressió en B el que farem és aplicar la mateixa equació que abans però ara integrarem entre A i B. Tenint en compte que l’origen del sistema de referència l’hem posat a A, les coordenades de A seran (0,0) i en B són (0.-1). La pressió en A és l’atmosfèrica i en B és la incògnita: Finalment, substituïm els termes numèrics i aïllem Pb i n’obtenim el resultat final 6.-El esquema que se muestra a continuación, representa un pistón el cual impulsa fluido hacia un acumulador. Para el estado inicial se conocen tanto la posición del pistón como la del embolo del acumulador, sus secciones Spistón; Sembolo, así como las condiciones iniciales de los dos fluidos; La velocidad de desplazamiento temporal del pistón se puede dar como, donde K es una constante a determinar. La variación temporal del volumen del cilindro inferior se representa:; h0 es la longitud inicial de la cámara del pistón.
VKseno(t)=pistónSh(cos(t))∀=+012 Se pide hallar: a.- La ecuación diferencial que caracteriza la variación temporal de la presión en la cámara del pistón, sabiendo que la válvula (A) situada en el acumulador esta abierta y permite que pequeñas cantidades de fluido fluya hacia la atmósfera. Considerar que este caudal de fugas es pequeño comparado con el flujo proveniente del pistón.
Considerar asimismo que el embolo que separa el nitrógeno del aceite esta bloqueado y no se puede mover. Determinar la constante K. Fluido compresible.
b.- Si la válvula (A) esta cerrada, determinar la ecuación que caracteriza la variación temporal de presión en el sistema. Para el caso en que el embolo que separa el aceite y el nitrógeno este inmóvil.
c.- Determinar como varia la posición del embolo y la presión del nitrógeno con el tiempo, si se tiene en cuenta que el aceite se puede considerar como incompresible. La válvula A esta cerrada.
a) Comencem enfocant el problema amb la equació de la continuïtat de la massa amb la forma integral: El volum de control que escollim consta de tot el fluid. La part de dalt serà constant i la part de baix tenim l’equació de com varia. L’enunciat ens diu que el fluid és compressible, això vol dir que la pressió no és constant.
On Vs és la velocitat de sortida del fluid per la vàlvula i Ss la seva secció.
Tenint en compte que la part de dalt del sistema té un volum de control invariable amb el temps, només dependrà del temps la part de baix, que hem anomenat volum de control del pistó: dh/dt és la velocitat en la que es desplaça el pistó i ens la dóna l’enunciat.
Necessitem trobar la velocitat de sortida de la vàlvula. Per trobar-la, fem un balanç d’energia entre l’entrada i la sortida de la vàlvula. Apliquem l’equació de l’energia.
Agafem el següent volum de control: Per tant, l’anterior equació és redueix a la següent: Com que la z d’entrada i la de sortida és la mateixa s’anul·len i com que la velocitat d’entrada és petita comparada amb la de sortida tampoc la tindrem en compte. Aïllant la velocitat de sortida queda el següent: Substituïm la velocitat del pistó i el volum del pistó per les equacions que ens dóna l’enunciat, així com la velocitat de sortida que hem trobat: Sabem que la variació de densitat es relaciona amb la pressió i el mòdul d’elasticitat de la següent manera: Substituint a l’equació i aïllant la derivada temporal de P: Aquesta equació diferencial ens dóna la pressió de l’oli en funció del temps. Considerem la secció de la vàlvula de sortida coneguda i constant.
Per trobar la constant K fem servir les equacions següents: b) Partim de la mateixa equació de la continuïtat de la massa de l’exercici anterior: No hi ha cap sortida, per tant: El volum de la part de dalt és constant: Seguint el mateix procediment que en l’exercici anterior tenim: Integrem l’equació: c) Tornem a fer servir l’equació de la continuïtat: L’èmbol es mou, l’oli el considerem incompressible i la vàlvula està tancada: Solucionem l’equació diferencial: Aquesta equació ens dóna com varia la posició del èmbol amb el temps. Ara passem a calcular com varia la pressió del nitrogen amb el temps.
Sabent que el nitrogen és un gas ideal, tenim: Sabem que: Igualant: Integrem aquesta equació diferencial: Aquesta equació ens dóna com varia la pressió del nitrogen amb el temps.
...