Tema 2 Probabilitat (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 2º curso
Asignatura Probabilitat i estadística
Año del apunte 2013
Páginas 23
Fecha de subida 17/05/2014
Descargas 10
Subido por

Vista previa del texto

65 Probabilitat Tema 2: Probabilitat n! ≃ √ 2πn nn e−n 2.1 An`alisi combinatori 2.2 Probabilitat 2.3 Probabilitat condicionada 2.4 Teorema de la probabilitat total 2.5 Teorema de Bayes Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 66 Probabilitat 2.1 An` alisi combinatori L’an´ alisi combinatori, es pot definir com una forma sofisticada de comptar.
Def. 1. Principi fonamental del compte Si un esdeveniment es pot presentar de n1 formes, i un altre es pot presentar de n2 formes, . . . i, finalment un esdeveniment k-´essim es pot presentar de nk formes, aleshores el nombre de formes en que tots aquests esdeveniments poden presentarse ´es de n 1 n 2 . . . nk Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 67 Probabilitat Def. 2. Permutacions on els diferents grups Permutacions de n elements, s´ que poden formar-se amb els n elements, de manera que dos grups difereixen entre s´ı si els seus elements estan en diferent ordre.
Pn = n(n − 1)(n − 2) . . . 1 = n! Def. 3. Permutacions amb repetici´ o Permutacions amb repetici´ o s´ on els diferents grups que poden formar-se amb n elements dels quals n1 s´ on d’un tipus (´es a dir, no es podr´ıen distingir entre si), n2 s´ on d’un segon tipus, . . . , nk s´ on del k-´essim tipus, de manera que dos grups difereixen entre s´ı si els seus elements estan en diferent ordre.
P Rnn1 ,n2 ,...nk = n! n1 !, n2 !, . . . nk ! Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 68 Probabilitat Def. 4. Variacions Variacions de n elements s´ on els diferents grups que poden formar-se amb els n elements donats, agafats de s en s, de manera que dos grups difereixen entre s´ı si els seus elements s´ on diferents o estan en diferent ordre.
Vn,s = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − s + 1) = n! (n − s)! Def. 5. Variacions amb repetici´ o Variacions amb repetici´ o de n elements agafats de s en s, s´ on els diferents grups que poden formar-se amb els n elements donats, agafats de s en s, en els que poden apareixer elements repetits, de manera que dos grups son diferents entre s´ı si els seus elements s´ on diferents o estan en diferents ordre.
V Rn,s = ns Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 69 Probabilitat Def. 6. Combinacions Combinacions de n elements agafats de s en s, s´ on els diferents grups que poden formar-se amb els n elements donats, agafats de s en s, de manera que dos grups difereixen entre s´ı cuando, al menys, un element ´es diferent. No se te en compte l’ordre.
  n Vn,s n!   Cn,s = = = s! s!(n − s)! s Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 70 Probabilitat Principi fonamental del compte: diagrama d’arbre No repetici´ o Repetici´ o Variacions Vm,n = m! (m−n)! Ordre Si m = n : Permutacions V Rm,n = mn Si m = α + · · · + λ : α,β,...,λ Pm = m! α!·β!...λ! Pm = m! Combinacions  m m!  = (m−n)! n! n  No ordre Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 71 Probabilitat 2.2 Probabilitat Un dels aspectes m´es importants de l’estad´ıstica ´es l’obtenci´o de conclusions basades en dades experimentals (infer`encia estad´ıstica). Volem obtenir una mesura de confian¸ca (probabilitat) per a la predicci´o.
Un fet comprobable emp´ıricament ´es que la freq¨ u`encia relativa d’aparaci´o de certs resultats en experi`encies similars s’aproximen a un valor fix. En el segle XIX es va definir probabilitat d’un esdeveniment com el valor l´ımit de la seva freq¨ u`encia relativa. Aquesta definici´o presenta problemes te`orics i pr`actics.
Encara que la probabilitat es pot interpretar com un model de freq¨ u`encia relativa, en cal una definici´o axiom` atica. Les seves propietats es correspondran amb les de la freq¨ u`encia relativa.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 72 Probabilitat Def. 7. Experi` encia aleat` oria Anomenarem experi`encia aleat` oria qualsevol experi`encia de la qual no podem predir el resultat amb exactitut.
Cal especificar clarament el criteri per establir que dos resultats s´on considerats diferents.
Def. 8. Espai mostral L’espai mostral Ω associat a una experi`encia aleat` oria ´es el conjnut de tots els resultats possibles que es poden obtenir en realitzar aquesta experi`encia.
Exemple. Llan¸cament d’un dau; llan¸cament d’una moneda; comptar els cotxes que passen un peatge; escollir a l’atzar un nombre en (−2, 3).
´ qualsevol subconjunt de Def. 9. Esdeveniment Es l’espai mostral Ω.
El conjunt dels esdeveniments ´es el conjunt P(Ω) de les parts de Ω.
◃ L’espai mostral Ω s’anomena esdeveniment segur ◃ El conjunt buit ∅ s’anomena esdeveniment impossible Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 73 Probabilitat Operacions amb esdeveniments Si A i B s´on dos esdeveniments associats a una experi`encia aleat`oria, llavors: ◃ A ∪ B ´es l’esdeveniment que es compleix quan es compleixen A `o B. S’anomena esdeveniment uni´o.
◃ A ∩ B ´es l’esdeveniment que es compleix quan es compleixen A i B. S’anomena esdeveniment intersecci´o.
◃ A ´es l’esdeveniment que es verifica quan no es verifica A . S’anomena complementari de A.
Lleis de Morgan A∪B =A∩B A∩B =A∪B Def. 10. Dos esdeveniments s´ on m´ utuament excloents o incompatibles si tenen una intersecci´ o buida. En cas contrari, es diu que s´ on compatibles.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 74 Probabilitat Definici´ o de probabilitat 1.- Regla de Laplace Esdeveniments equiprobables casos favorables P (A) = casos possibles 2.- Definici´o axiom`atica (m´es general) Def. 11. Probabilitat Sigui Ω el conjunt de resultats possibles d’un experiment aleatori i sigui F = P(Ω) la col.lecci´ o de tots els esdeveniments.
Una probabilitat P ´es una aplicaci´ o P : F → [0, 1] que verifica els axiomes seg¨ uents ◃ P (A) ≥ 0, ∀A ∈ F ◃ P (Ω) = 1 ◃ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) , amb A ∩ B = ∅ .
La terna (Ω, F, P ) s’anomena model probabil´ıstic o espai de probabilitat.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 75 Probabilitat Propietat. Probabilitat (b) P (A) = 1 − P (A) (a) P (∅) = 0 (c) A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B) (d) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) (e) P (A) ≤ 1 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 76 Probabilitat Exemple. Una enquesta diu que el 35% dels habitants d’una ciutat llegeixen el diari A, el 28% el B i un 10% els llegeixen tots dos.
Es tracta de trobar la probabilitat que un ciutad` a escollit a l’atzar llegeixi: (a) Un dels dos diaris (b) A per` o no B (c) Nom´es un dels dos diaris (d) Cap dels dos diaris Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 77 Probabilitat Exemple. Una cabina telef` onica no est` a en molt bones condicions, i pot passar que: R1 : Accepta monedes i d´ ona l´ınia.
R2 : Accepta monedes i no d´ ona l´ınia.
R3 : No accepta monedes i no d´ ona l´ınia.
R4 : No accepta monedes i d´ ona l´ınia.
S’observa que de cada 10 intents: • en 8 accepta monedes, • en 8 d´ ona l´ınia, • en 9 “fa alguna cosa”.
Pregunta: Quina ´es la probabilitat que en un cert intent el tel`efon funcioni correctament (situaci´ o R1 )? Dades del model probabil´ıstic (Ω, F, P ): • Ω = {R1 , R2 , R3 , R4 }, • P ({R1 , R4 }) = 0.8, • P ({R1 , R2 }) = 0.8, • P ({R1 , R2 , R4 }) = 0.9.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 78 Probabilitat La inc`ognita ´es P ({R1 }) que podem calcular fent ( ) P ({R1 }) = P {R1 , R2 } ∩ {R1 , R4 } = ( ) = P ({R1 , R2 }) + P ({R1 , R4 }) − P {R1 , R2 , R4 } = 0.8 + 0.8 − 0.9 = 0.7.
Tamb´e podem calcular la probabilitat dels altres esdeveniments elementals: P ({R2 }) = P ({R1 , R2 }) − P ({R1 }) = 0.8 − 0.7 = 0.1 P ({R4 }) = P ({R1 , R4 }) − P ({R1 }) = 0.8 − 0.7 = 0.1 P ({R3 }) = 1 − P ({R1 , R2 , R4 }) = 1 − 0.9 = 0.1 A partir d’aqu´ı podem calcular la probabilitat de qualsevol esdeveniment i per tant el model queda determinat al donar les probabilitats dels esdeveniments que venien en les dades del problema.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 79 Probabilitat 2.3 Probabilitat condicionada Exemple introductori: En una capsa tenim cinc boles blanques, numerades del 1 al 5, i tres boles negres, numerades del 1 al 3.
Experiment aleatori: Treiem una bola a l’atzar.
Espai mostral: Ω = {B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , N1 , N2 , N3 }.
Probabilitat: P ({B1 }) = P ({B2 }) = · · · = P ({N3 }) = 18 (a l’atzar vol dir que tots els esdeveniments elementals s´on equiprobables).
Pregunta: Quina ´es la probabilitat de l’esdeveniment A:“treure una bola amb un nombre parell”? Resposta: A = {B2 , B4 , N2 } i P (A) = P ({B2 }) + P ({B4 }) + P ({N2 }) = 81 + 1 8 + 1 8 = 83 .
Pregunta: Quina ´es la probabilitat de treure un nombre parell sabent que la bola ´es blanca? La informaci´o addicional ens fa canviar el model.
Ara els resultats possibles s´on nom´es B = {B1 , B2 , B3 , B4 , B5 } i per tant la probabilitat de parell ´es la de {B2 , B4 }, ´es a dir 25 .
Observaci´ o important: 2 5 = 2/8 5/8 = P (A∩B) P (B) .
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 80 Probabilitat Moltes vegades ´es interesant calcular la probabilitat d’un esdeveniment B condicionada al fet que s’hagi verificat un altre esdeveniment A. Aquesta probabilitat la representem per P (B/A) Def. 12. Probabilitat condicionada La probablitat que succeeixi l’esdeveniment B condicionada al fet que hagi succe¨ıt l’esdeveniment A es defineix per P (A ∩ B) P (B/A) = P (A) Per tant: P (A ∩ B) = P (A)P (B/A) = P (B)P (A/B) (probabilitats compostes) Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 81 Probabilitat Independ` encia d’esdeveniments Dos esdeveniments A i B s´ on independents si el coneixement que ha succe¨ıt un d’ells no modifica la probabilitat que l’altre succeeixi.
Def. 13. Independ` encia d’esdeveniments Diem que els esdeveniments A i B s´ on independents si P (B/A) = P (B) o b´e P (A/B) = P (A) Per tant, P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Propietat de la independ` encia Si A i B s´on esdeveniments independents aleshores tamb´e ho s´on A i B; A i B; A i B.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 82 Probabilitat Exemple. Independ` encia Es treuen dues cartes d’un joc de 52 cartes. Trobar la probabilitat de que ambdues cartes siguin asos si la carta (a) es retorna (b) no es retorna.
Considerem A1 = as en la primera extracci´ o A2 = as en la segona extracci´ o.
Busquem P (A1 ∩ A2 ).
(a) Tenim 4 asos en les 52 cartes. Per tant, 4 P (A1 ) = 52 . Com retornem la carta al joc, per a la segona extracci´ o continuem tenint 4 asos: 4 P (A2 ) = 52 . Aleshores: P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 )P (A2 ) = 4 4 1 · = .
52 52 169 En aquest cas, P (A2 /A1 ) = P (A2 ) i els esdeveniments s´ on indenpendents.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 83 Probabilitat 4 (b) Com en l’apartat (a), P (A1 ) = 52 . Per` o, si treiem un as en la primera extracci´ o, per a la segona 3 ens queden nom´es 3 asos i P (A2 /A1 ) = 51 .
Aleshores: P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 )P (A2 /A1 ) = 1 .
221 En aquest cas P (A2 /A1 ) ̸= P (A2 ) i els esdeveniments no s´ on independents.
Aquest apartat tamb´e es pot resoldre usant l’arbre de les probabilitats condicionades. Les branques representen els esdeveniments i en els nodes se’n posa la probabilitat. Verticalment, la suma ha de valdre 1.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 84 Probabilitat 2.4 Teorema Probabilitat Total Es tracta de calcular la probabilitat d’un esdeveniment a partir de la seva depend`encia respecte altres esdeveniments, els quals defineixen tot l’espai mostral.
Teorema 1. Probabilitat Total Sigui A1 , . . . , An ´es una partici´ o de Ω, ´es a dir, Ω= n ∪ Ai , Ai ∩ Aj = ∅, i ̸= j .
i=1 Aleshores, per a B un esdeveniment qualsevol, tenim que la seva probabilitat val P (B) = n ∑ P (Ai )P (B/Ai ) .
i=1 Exemple. Tenim dues urnes. La n´ umero 1 t´e tres boles blanques i dues negres, mentre que la n´ umero 2 t´e dues boles blanques i tres negres. S’escolleix una urna a l’atzar i se’n treu una bola. ¿Quina ´es la probabilitat de que sigui blanca? Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 85 Probabilitat 2.5 Teorema de Bayes Sabent que ha tingut lloc l’esdeveniment B, ¿quina ´es la probabilitat que hagi estat degut a l’esdeveniment Aj ? Teorema 2. Teorema de Bayes Si A1 , . . . , An ´es una partici´ o de Ω i B ´es un esdeveniment qualsevol de probabilitat no nul·la, tenim que P (Aj )P (B/Aj ) P (Aj /B) = ∑ .
n P (Ai )P (B/Ai ) i=1 cont ex. En l’exemple anterior, suposem que, realitzada l’extracci´ o, la bola resultant sigui blanca.
¿Quina ´es la probabilitat de que l’urna de la qual s’ha tret sigui la n´ umero 1? P (A1 /B) = P (A1 )P (B/A1 ) 3 = P (A1 )P (B/A1 ) + P (A2 )P (B/A2 ) 5 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 86 Probabilitat Exemple. Suposem que en una factoria es fabrica una mateixa pe¸ca amb dues m` aquines diferents M1 i M2 . La m` aquina M1 produeix el 60% de les peces, de les quals un 3% s´ on defectuoses. La m` aquina M2 produeix el 40% restant, de les quals un 2% s´ on defectuoses.
(a) Donada una pe¸ca a l’atzar, quina ´es la probabilitat que sigui defectuosa? (b) Donada una pe¸ca defectuosa, quina ´es la probabilitat que hagi estat fabricada per la m` aquina M1 ? Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 87 Probabilitat Un parell d’exemples m´es sobre el tema del condicionament: Dau: Llancem un dau i considerem els esdeveniments A:“sortir un nombre m´es gran que 2”, B:“sortir un nombre parell”.
Calculeu P (A), P (B), P (A ∩ B), P (A|B) i P (B|A).
Soluci´ o: P (A) = 23 , P (B) = 21 , P (A ∩ B) = 13 , P (A|B) = 23 i P (B|A) = 12 .
Cartes: Considereu un joc de cartes amb 4 pals A,B,C,D i 12 cartes per pal.
(a) Quina ´es la probabilitat de treure un 5? (b) Quina ´es la probabilitat de treure una carta del pal A? (c) Quina ´es la probabilitat de treure el 5 del pal A? (d) Quina ´es la probabilitat de que una carta sigui del pal A sabent que ´es un 5? (e) Quina ´es la probabilitat de que una carta sigui un 5 saben que ´es del pal A? Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena ...