Tema 3. Variables aleatorias discretas (2016)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Biomédicas - 1º curso
Asignatura Bioestadística y Análisis de datos
Año del apunte 2016
Páginas 4
Fecha de subida 06/04/2016
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Bioestadística Milena Abreu | @milenaabreu22 TEMA 3. Variables aleatorias y discretas VARIABLE ALEATORIA Variable cuyo resultado numérico viene de un experimento aleatorio. Matemáticamente no es más que una función, una operación matemática. A todos los elementos del espacio muestral omega que nos describa la población, les asignamos un valor numérico. Cambiar de resultado del experimento a número es lo que hace que se genere una variable aleatoria  transformación. Puedo definir tantas variables aleatorias como considere interesante. Un ejemplo de experimento aleatorio es lanzar dos veces una moneda.
Tipos de variables aleatorias en función del tipo de número que describa: - Discretas. Resultado de un recuento. Me interesa contar qué está pasando. Ej: experimento consistente en escoger familias y anotar su número de hijos.
Continuas. Resultados de un experimento aleatorio que me dan un número real. Resultados de medidas. Ej: experimento aleatorio consistente en escoger individuos y medir su estatura.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Función densidad de probabilidad  f(x). Aquella función que a cada valor de la variable aleatoria discreta le asigna su probabilidad. Tendrá tantos valores como tenga la variable x. Cada número real tendrá un valor de probabilidad. Siempre hay que tener en cuenta el valor 0. Para que yo pueda usar esta función como función densidad de probabilidad, la suma de todas las probabilidades para todos los posibles casos tiene que dar 1. Si no da 1, hay que normalizar.
Función de distribución de probabilidad  F(x). A cada número real le asigna su probabilidad acumulada. Los valores que no estén entre los posibles tienen una probabilidad de 0. Todos los valores más pequeños que los posibles tendrán una probabilidad de 0. El valor máximo de la función es 1, el mínimo es 0. Las gráficas siempre serán escalonadas. Habrá un escalón cada vez que se sume una probabilidad más la siguiente.
Bioestadística Milena Abreu | @milenaabreu22 El valor de una función para una variable aleatoria discreta nunca puede ser mayor que 1 ni menor que 0.
Si se conocen las 2 funciones, tenemos la variable perfectamente definida.
CARACTERIZACIÓN DE LAS POBLACIONES Hay valores numéricos que nos ayudan a caracterizarlas  Una población está completamente caracterizada si conocemos su función densidad de probabilidad  Una función densidad de probabilidad se especifica a través de sus parámetros  Los parámetros en la población son los equivalentes a los estadísticos en la muestra (siempre en letras griegas) Esperanza matemática, media poblacional o valor esperado: E(X), μ Sería la media de las infinitas poblaciones. Media poblacional de la variable aleatoria X. La media, si la frecuencia relativa es la probabilidad, será multiplicar cada valor por su probabilidad (si conozco la probabilidad de cada valor y conozco los valores posibles).
Propiedades 1. La esperanza matemática de una variable aleatoria que sea una constante es esa misma constante. E(c)=c 2. La esperanza matemática de una variable aleatoria generada a partir de multiplicar una conocida por una constante también queda multiplicada por esa constante. E(Y)=E(cX)=c·E(X) 3. La esperanza matemática de la suma de dos variables aleatorias será la suma de las esperanzas. E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4. La esperanza matemática del producto de dos variables será el producto de las esperanzas si, y solo si, son variables independientes. E(X·Y)=E(X)·E(Y) Varianza poblacional: Var (X), σ2 (Esperanza matemática de la variable aleatoria X menos su esperanza)^2. En realidad: la resta entre la esperanza de la variable X^2 menos el cuadrado de la esperanza de X.
Propiedades Una varianza siempre será mayor o igual que 0, dado que [X-E(X)]2 ≥ 0. Var(X) ≥ 0 La varianza de una variable aleatoria que sea una constante será 0. Var(c)=0 La varianza de una variable aleatoria a la que le sumo la constante no varía. Var(X+c)=Var(X) Si multiplico la varianza de una variable aleatoria por una constante: Var(X·c)=c2 · Var(X) La varianza de la suma o la resta es la suma de varianzas si, y solo si, son independientes. Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y) 1.
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Estas propiedades solo se pueden utilizar para la varianza, no se cumplen en la desviación típica.
Desviación típica poblacional: σ DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (replicar Bernouilli)  En cada prueba del experimento son posibles dos resultados  El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en las otras  La probabilidad de “éxito” del suceso de interés p es un parámetro constante (no varía de una prueba a otra).
La probabilidad del fracaso es q o 1-p.
 El experimento consta de un número n de pruebas Una variable aleatoria X que expresa el número de éxitos obtenidos en las pruebas de un experimento es: - Una variable aleatoria discreta Solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4…n Se denomina variable aleatoria binomial Tiene parámetros n y p Se indica: b(x;n,p) Bioestadística Milena Abreu | @milenaabreu22 Distribución binomial – b(x;n,p) Función densidad de probabilidad: Probabilidad que de N sujetos independientes, x sean de una categoría y N-x de otra.
Nº combinatorio  número de formas en que pueden combinarse N individuos en dos categorías tal que haya x en una y en otra N-x.
El cálculo es complicado si N es muy grande y/o p cercano a 0 o 1.
La esperanza matemática de un experimento que sigue una distribución binomial siempre será N·p  E(X)=n·p La varianza será  Var(X)= n·p·q DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL o o Fenómenos con más de 2 alternativas La distribución multinomial analiza la frecuencia de aparición y su probabilidad en cada una de las múltiples opciones.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON  En cada prueba del experimento solo son posibles 2 resultados  El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en las otras  La probabilidad de éxito del suceso de interés p es una constante (no varía de una prueba a otra). La probabilidad de fracaso es q o 1-p.
 El experimento se realiza sobre unidades de tiempo, superficie, volumen…  La información conocida es el valor promedio La variable aleatoria X expresa el número de éxitos obtenidos por unidad de tiempo, superficie, volumen, etc. es: - Una variable aleatoria discreta Puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4... (hasta infinito) Se denomina variable aleatoria de Poisson Tiene un único parámetro: λ Se indica: p(x; λ) Se asocia a sucesos raros con n grande, p0 y λ =n·p Bioestadística Milena Abreu | @milenaabreu22 Función densidad de probabilidad: Tanto su esperanza matemática como su varianza coinciden con λ (λ=n·p) Distribución de asimetría positiva  a medida que aumenta su valor, λ tiende a valores positivos ...