Exercicis del tema 6 resolt: Successions i sèries de nombres reals (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 2
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 4
Subido por

Vista previa del texto

Exercicis del tema 6: Successions i sèries de nombres reals 43. Estudieu l’expressió del terme general de les successions següents: a) b) an = c) n 2n +1 d) e) (es pot expressar d’altres maneres).
44. Considereu la successió Justifiqueu que !an} és una progressió (successió) geomètrica i doneu la seva raó. Calculeu: Justificació de per què és una progressió geomètrica: O Observem que passem d’un terme a l’altre multiplicant per raó és . A més, la successió es pot expressar com a !an}=a и rn. La .
177 Llúcia Mauri Masdeu a) b) c) 45. Considereu la successió donada per: , , , , ...
Quin tipus de successió és? És una progressió geomètrica. Quin és el seu terme general? Estudieu la convergència de la successió.
1 És convergent, ja que és una progressió geomètrica de raó  1 .
3 Veiem que es compleix el teorema .
Calculeu la suma de la sèrie -an.
A partir de la successió anterior, definim la nova successió donada per , , , 178 ,...
Matemàtiques II Per tant, serà la successió: , , ,.....
és una progressió geomètrica A partir dels resultats anteriors, estudieu la convergència de la sèrie -bn.
Nota: Recordeu que si -an és convergent, -kan=k-an n n + 2  1  2 +  1  2 1 1 b =  =   n  3  3  (1) 3  3  (2)= 3 2 = 3 n =1 n =1 n =1 + (1) Utilitzant la propietat anterior.
(2) per a l’apartat c).
Observem que no ha fet falta efectuar cap càlcul de límit.
46. Considereu la sèrie -an, de la qual es coneix la successió de les sumes parcials .
Calculeu el terme general de la successió !an}.
Sabem que: si els restem obtenim: Llavors: 179 Llúcia Mauri Masdeu Calculeu la suma de la sèrie.
47. Calculeu la suma de les sèries geomètriques següents: a) b) c) d) e) f) 48. Es deixa caure una pilota des d’una altura de 6 metres i se li permet rebotar de manera indefinida. Quant recorrerà la pilota si sempre rebota el 80% de la seva altura anterior? Imatge 43 180 Matemàtiques II Nota: Interpretem la distància recorreguda com la suma de les altures que recorre la pilota.
Per tant, serà la progressió geomètrica: {a n } = { 6, 9'6 , 6'78 , 6'144 ,....} on a1 = 6 , a 2 = 2 ⋅ 6 ⋅ 0'8 = 9'6 , a3 = 2 ⋅ 6 ⋅ (0'8) 2 = 6'78 ,...., n =1 ­6 Per tant a n = ® ¯12 ⋅ (0'8) n −1 n ≠1 La distància que recorrerà a partir del primer rebot serà la suma dels termes d’aquesta progressió geomètrica: +∞ +∞ n =1 n=2 ¦ an = a1 + ¦12 ⋅ (0'8) 49. Donada n −1 +∞ − 1 = 6 + 12 ⋅ ¦ (0'8) n −1 = 6 + 12 ⋅ n=2 , considereu la sèrie 0'8 − 0 0'8 = 6 + 12 ⋅ = 54 metres 1 − 0'8 0'2 . Es demana: a) Proveu que es tracta d’una sèrie geomètrica i doneu-ne la raó.
an = 1 n 22 b) Calculeu = 1 ( 2) n  1 n =    2 i doneu el valor de S10.
; c) Justifiqueu que la sèrie és convergent i calculeu la seva suma.
1 1 És una sèrie convergent, ja que és una progressió geomètrica de raó 2 50. Responeu les qüestions següents: Justifiqueu que la sèrie no és convergent.
181 Llúcia Mauri Masdeu .. Per tant, la sèrie no és convergent.
' Justifiqueu que la sèrie 1<n -  3 és convergent.
n 1 ' 1<n - 3 n 1 ' n 1 3  3 n ' £ 1 ¥n  3u -² ´ ¤ 3 ¦ n 1 És convergent, ja que és una progressió geomètrica de raó Calculeu ..
182 1 3  1.
...