Parcial Tardor 2011 (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Telemática - 2º curso
Asignatura PPEE
Año del apunte 2013
Páginas 3
Fecha de subida 02/12/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

´ de Barcelona ETS d’Enginyeria de Telecomunicacio ` PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCASTICS I ESTAD´ISTICA Examen Parcial 7 de novembre de 2011 1. Un centre de c` alcul ofereix ordinadors als quals els usuaris s’hi poden connectar remotament.
En la zona 1 tenim 5 ordinadors als quals es connecten 3 usuaris. A cada usuari se li assigna a l’atzar un ordinador. En la modalitat A l’assignaci´ o es fa de forma independent, de manera que un ordinador pot quedar amb m´es d’un usuari. En la modalitat B l’assignaci´ o es fa de de manera que als usuaris els corresponen ordinadors diferents.
En la zona 2 tenim 30 ordinadors independents. En cadascun el nombre d’usuaris connectats ´es una variable de Poisson que en condicions normals t´e par` ametre α = 3.
(a) Calcula la probabilitat que dos ordinadors fixats quedin sense usuaris en cadascuna de les dues situacions: zona 1 mode A, zona 1 mode B. Calcula la probabilitat que en la zona 2 hi hagi com a m´ınim dos ordinadors no ocupats.
(b) Considera la variable que d´ ona el nombre d’ordinadors desocupats en la zona 2.
Troba la seva esperan¸ca i la seva desviaci´ o. Si s’observa que hi ha 5 ordinadors desocupats, podem sospitar que no ens trobem en condicions normals? (c) En cada ordinador de la zona 2 s’enc´en un indicador quan el seu nombre d’usuaris ´es igual o superior a 4. Calcula la probabilitat que un ordinador amb l’indicador enc`es tingui 5 usuaris.
(d) Anem inspeccionant ordinadors de la zona 2 fins que en trobem un amb 5 usuaris connectats. Sigui N el nombre d’ordinadors inspeccionats. Troba el seu valor mitj` a i la seva desviaci´ o. (Fes-ho com si hi hagu´es un nombre indefinit d’ordinadors.) Soluci´ o: (a) Zona 1, modalitat A. Per a que els dos primers ordinadors quedin desocupats, als tres usuaris s’han d’assignar algun dels altres tres ordinadors: P = 3 3 5 = 0,216.
Zona 1, modalitat B. Ens fixem en quins tres dels cinc ordinadors han estat triats. La tria es pot fer de 53 maneres. Nom´es en una d’elles queden els dos primers ordinadors lliures: 1 P = 5 = 0,1.
3 En la zona 2, el nombre d’ordinadors desocupats ´es una variable D, binomial amb n = 30 i p = P (0 usuaris) = e−3 .
P (N ≥ 2) = 1 − P (N = 0) − P (N = 1) = 1 − (1 − e−3 )30 − 30(1 − e−3 )29 e−3 = 0,4442.
(b) D = np = 30e−3 = 1,5. σD = √ npq = 30e−3 (1 − e−3 ) = 1,2.
5 difereix de 1,5 en 3 desviacions aix´ı que podem sospitar que no ens trobem en condicions normals.
(c) Si U ´es el nombre d’usuaris en l’ordinador, ens demanen 5 e−3 35! P (U = 5) = P (U = 5 | U ≥ 4) = P (U ≥ 4) 1 − e−3 (1 + 3 + = 32 2! + 33 3! ) 81 = 0,2858.
− 13) 40(e3 5 (d) N ´es geom`etrica amb p = e−3 35! = 0,1008. N = 1 p = 10. σN = √ q p = 9,4.
2. El temps en segons que tarda una l´ınia de comunicaci´ o en transmetre un paquet de dades ´es una variable aleat` oria X amb funci´ o de densitat fX (x) = Kxe−αx , per 0 < x < ∞ (α i K s´ on constants).
(a) Calcula, en funci´ o de α, el valor de K, l’esperan¸ca i la desviaci´ o est` andard de X, i la funci´ o de distribuci´ o de X.
(b) 5 l´ınies amb α = 1 transmeten un paquet de manera independent. Calcula la probabilitat que en alguna el temps de transmissi´ o sigui m´es gran que 4.
(c) El factor de velocitat d’una transmissi´ o ´es la variable Y definida: Y = 1 si X < 1, si X > 1 1 X Raona si es tracta d’una variable discreta, cont´ınua o mixta. Calcula el seu valor mitj` a en funci´ o de α. Discuteix a partir d’aquest resultat si ´es cert que com m´es r` apida ´es la l´ınia, m´es gran ´es el factor de velocitat.
(d) Un sistema t´e tres l´ınies: L1 amb α = 1, L2 amb α = 2, i L3 amb α = 3. Per transmetre un paquet es tria una l´ınia a l’atzar i resulta que passat 1 segon encara no ha arribat. Quina ´es la probabilitat que s’estigui transmetent per L3 ? Compara amb la probabilitat a priori.
Soluci´ o: (a) Calculem els moments: ∞ mn = E[X n] = 0 Imposem m0 = 1, d’on K = x 0 ∞ xn+1 e−αx dx = K 0 α2 .
2 E[X] = m1 = . σX = α Per x > 0: FX (x) = xn · fX (x)dx = K m2 − m21 = α2 x e−αx dx = α2 − 6 − α2 2 α x 1 + 2 α α 2 (n + 1)! .
αn+2 √ 2 = .
α x e−αx 0 = 1 − (αx + 1)e−αx .
(b) P (alguna X > 4) = 1 − P (totes les X < 4) = 1 − P (X < 4)5 = 1 − FX (4)5 = 1 − (1 − 5e−4 )5 = 0,3813.
(c) Y ´es una variable mixta ja que pot prendre qualsevol valor en (0, 1] i P (Y = 1) = P (X < 1) = 0.
Pel teorema de l’esperan¸ca: 1 Y = 0 1 · α2 xe−αx dx + ∞ 1 1 · α2 xe−αx dx x −αx ∞ e = 1 − (α + 1)e−α + αe−α = 1 − e−α .
−α 1 El factor de velocitat creix amb α. Tamb´e podem mesurar la velocitat amb l’invers del temps mitj` a: α2 , aix´ı que el comportament ´es consistent.
(d) P (X > 1) = 1 − FX (1) = (α + 1)e−α. Per Bayes: = FX (1) + α2 P (X > 1|L3 ) 31 P (L3 |X > 1) = P (X > 1|L1 ) 31 + P (X > 1|L2 ) 13 + P (X > 1|L3 ) 13 4e−3 = 0,148.
2e−1 + 3e−2 + 4e−3 La probabilitat a priori ´es P (L3 ) = 31 = 0,333. La probabilitat ha disminu¨ıt ja que L3 ´es la l´ınia m´es r` apida i veiem que el paquet est` a tardant en arribar.
= ...