Examen juliol 2004 (2004)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Mates
Año del apunte 2004
Páginas 1
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 0

Vista previa del texto

Matem` atiques 23816 Ci`encies Ambientals 09.07.04 1. Considereu la corba Γ(t) = (t2 , t3 ) en l’interval t ∈ [0, 15].
(a) Doneu l’equaci´o de la recta tangent a la corba en l’instant t = 2.
√ (b) Calculeu la longitud de l’arc de corba en l’interval [0, 5].
2. (a) Considerem el seg¨ uent model de poblaci´o, on k i N s´on constants positives i P (t) denota la poblaci´o a l’instant t, dP = kP (N − P ).
dt i. Si partim d’una poblaci´o inicial de 4N individus, qu`e passar`a quan t → ∞ ? ii. Si partim d’una poblaci´o inicial de N/4 individus, qu`e passar`a quan t → ∞ ? iii. Al cap d’un cert temps observem que cal modificar el model de poblaci´o, obtenint dP kN 2 = kP (N − P ) − .
dt 4 Qu`e passar`a en els casos anteriors quan t → ∞ ? 2x2 amb y(0) = 1.
(b) Resoleu l’equaci´o diferencial y = 2 (x + 1)(x − 1)2 2 3. (a) Considereu la funci´o f (x) = x2 · e−x i responeu les q¨ uestions seg¨ uents raonant les vostres respostes: i.
ii.
iii.
iv.
Quin ´es el domini de f ? Calculeu el l´ımit de f quan x tendeix a ∞.
Determineu els intervals de creixement i decreixement de f .
T´e extrems relatius f ? En cas afirmatiu, digueu en quins punts i si s´on m`axims o m´ınims.
(b) Trobeu el polinomi de Taylor d’ordre 4 de g(x) = ln(x) en x0 = 2.
4. (a) Trobeu els extrems relatius i punts de sella (en cas que en tingui) de la funci´o f (x, y) = x3 + y 3 + 2x2 y + 2xy 2 − 9x − 9y.
(b) Trobeu el pla tangent a la superficie x2 + y 2 − z 2 = 18 en el punt (3, 5, −4).
(c) Un gat es troba en un ambient radiactiu. El nivell de radiactivitat ve donat per R(x, y) = 2x2 − 4y 2 . Si el gat est`a en el punt (−1, 2), en quina direcci´o ha d’anar per disminuir el m´es r`apid possible la radiactivitat? Els quatres exercicis tenen la mateixa puntuaci´o.
Escriviu el Nom i COGNOMS i el grup al qual esteu matriculats, en cada full d’examen.
Entregueu els exercicis en fulls separats.
...