Mecánica Cuántica - Problema 37 (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 10
Subido por

Vista previa del texto

.
37 Considereu l’hamiltoni` a 1 2 1 H = ~Ê a†1 a1 + a†2 a2 + ⁄ a†1 a2 + a1 a†2 on els operadors ai satisfan [ai , a†j ] = ”ij , [ai , aj ] = 0, 2 ⁄œR [a†i , a†j ] = 0.
A partir dels operadors a1 i a2 constru¨ım sengles operadors nombre N1 = a†1 a1 i N2 = a†2 a2 .
(a) Considereu els estats que s´on propis de N1 i N2 simult`aniament, |n1 , n2 Í. Dedu¨ıu com actuen a1 , a2 , a†1 i a†2 sobre |n1 , n2 Í, constants de normalitzaci´o incloses.
(b) Demostreu que ni N1 ni N2 s´on constants del moviment, per`o si que ho ´es una combinaci´ o lineal d’ells.
(c) Estudieu el temps caracter´ıstic que triga el sistema en passar de l’estat |1, 0Í a l’estat |0, 1Í.
Soluci´ o: (a) Donat que [N1 , N2 ] = 0 (aix` o es pot demostrar f`acilment considerant les regles de commutaci´ o presents en l’enunciat), els operadors N1 i N2 constitueixen un conjunt complert d’observables compatibles (CCOC). Aleshores existeix una base comuna, {|n1 , n2 Í}, pr` opia d’N1 i N2 simult`aniament, N1 |n1 , n2 Í = n1 |n1 , n2 Í, N2 |n1 , n2 Í = n2 |n1 , n2 Í. La notaci´ o utilitzada ´es for¸ca pr`actica, i al cap i a la fi, ´es la que s’utilitza, encara que estrictament, els estats viuen en un espai de Hilbert producte, H = H1 ¢H2 ; entenent que |n1 , n2 Í © |n1 Í ¢ |n2 Í, N1 |n1 , n2 Í © (N1 ¢ N2 |n1 , n2 Í © ( 1 2 ) |n1 Í ¢ |n2 Í = N1 |n1 Í ¢ |n2 Í = n1 |n1 Í ¢ |n2 Í © n1 |n1 , n2 Í, ¢ N2 ) |n1 Í ¢ |n2 Í = |n1 Í ¢ N2 |n2 Í = n2 |n1 Í ¢ |n2 Í © n2 |n1 , n2 Í.
(0.18) Per veure com actuen els operadors ai i a†i , i = 1, 2, sobre |n1 , n2 Í, cal tenir present: Ë È Ë È [Ni , aj ] = a†i ai , aj = a†i [ai , aj ] + a†i , aj ai = ≠”ij ai =∆ [Nj , aj ] = ≠aj , (0.19) i com que [A, B]† = ≠[A† , B † ] i Nj ´es un operador autoadjunt (Nj = Nj† ), aleshores [Nj , a†j ] = a†j . Dit aix` o, la manera de procedir ´es la mateixa que com ho varem fer quan estudiavem l’oscil·lador harm` onic a teoria: estudiant N1 a1 |n1 , n2 Í. Se segueix, N1 a1 |n1 , n2 Í = (a1 N1 + N1 a1 ≠ a1 N1 ) |n1 , n2 Í = (a1 N1 + [N1 , a1 ]) |n1 , n2 Í = (a1 N1 ≠ a1 ) |n1 , n2 Í = (a1 n1 ≠ a1 ) |n1 , n2 Í = (n1 ≠ 1) a1 |n1 , n2 Í.
(0.20) 6 .
El resultat anterior suggereix que a1 |n1 , n2 Í = C|n1 ≠1, n2 Í. Per determinar la constant C, notem que |C|2 = Èn1 ≠ 1, n2 |C ú C|n1 ≠ 1, n2 Í = Èn1 , n2 |a†1 a1 |n1 , n2 Í = Èn1 , n2 |N1 |n1 , n2 Í (0.21) Ô = Èn1 , n2 |n1 |n1 , n2 Í = n1 =∆ C = n1 .
Ô Aix´ı doncs, a1 |n1 , n2 Í = n1 |n1 ≠ 1, n2 Í. De la mateixa manera trobem els seg¨ uents Ô Ô † † resultats: a2 |n1 , n2 Í = n2 |n1 , n2 ≠ 1Í, a1 |n1 , n2 Í = n1 + 1|n1 + 1, n2 Í i a2 |n1 , n2 Í = Ô n2 + 1|n1 , n2 + 1Í.
(b) D’acord amb el que he dit en el problema anterior, per demostrar la primera part cal veure que [Ni , H] ”= 0, i = 1, 2. Es t´e, Ë È [N1 , H] = ~Ê [N1 , N1 + N2 ] + ⁄ N1 , a†1 a2 + a1 a†2 = ~Ê ([N1 , N1 ] + [N1 , N2 ]) +⁄ 1 1Ë È Ë N1 , a†1 a2 + N1 , a1 a†2 Ë È È2 =⁄ Ë 1Ë È Ë N1 , a†1 a2 + N1 , a1 a†2 È = ⁄ a†1 [N1 , a2 ] + N1 , a†1 a2 + a1 N1 , a†2 + [N1 , a1 ] a†2 1 2 2 È2 = ⁄ a†1 a2 ≠ a1 a†2 ”= 0 =∆ ÈN1 Í = ” cte. del moviment, Ë È [N2 , H] = ~Ê [N2 , N1 + N2 ] + ⁄ N2 , a†1 a2 + a1 a†2 = ~Ê ([N2 , N1 ] + [N2 , N2 ]) +⁄ 1 1Ë È Ë N2 , a†1 a2 + N2 , a1 a†2 Ë È È2 =⁄ Ë 1Ë È Ë N2 , a†1 a2 + N2 , a1 a†2 È = ⁄ a†1 [N2 , a2 ] + N2 , a†1 a2 + a1 N2 , a†2 + [N2 , a1 ] a†2 Ara b´e, 1 2 2 (0.22) È2 = ⁄ ≠a†1 a2 + a1 a†2 ”= 0 =∆ ÈN2 Í = ” cte. del moviment.
1 2 1 [N1 + N2 , H] = [N1 , H] + [N2 , H] = ⁄ a†1 a2 ≠ a1 a†2 + ⁄ ≠a†1 a2 + a1 a†2 = 0 =∆ ÈN1 + N2 Í = cte. del moviment.
2 (0.23) (c) Acabem de veure que ÈN1 + N2 Í = cte., per tant, si inicialment el sistema es troba en l’estat |1, 0Í (el qual t´e ÈN1 + N2 Í = 1), el mateix sols podr`a anar a parar a l’estat |1, 0Í o |0, 1Í (la resta d’estats no ens importen pel que fa a aquest apartat; treballarem en el subespai {|1, 0Í, |0, 1Í}), ja que s´on els dos u ´nics estats que tenen ÈN1 + N2 Í = 1. La representaci´ o matricial de l’hamiltoni`a en aquest subespai (en la base {|1, 0Í, |0, 1Í}), ´es Ë 1 H|1, 0Í = ~Ê (N1 + N2 ) + ⁄ a†1 a2 + a1 a†2 Ë 1 H|0, 1Í = ~Ê (N1 + N2 ) + ⁄ a†1 a2 + a1 a†2 Aleshores, H= A H|1, 0Í H|0, 1Í ~Ê ⁄ ⁄ ~Ê B 2È 2È |1, 0Í = ~Ê|1, 0Í + ⁄|0, 1Í, (0.24) |0, 1Í = ~Ê|0, 1Í + ⁄|1, 0Í.
(0.25) |1, 0Í |0, 1Í = ~Ê + ⁄‡x .
(0.26) Arribats a n’aquest punt, hi ha (com a m´ınim) dues maneres lleugerament diferents d’abordar el problema.
7 .
1) Podem, per exemple, calcular directament l’operador d’evoluci´o temporal U (t).
Atesos a que [ , ‡x ] = 0, i considerant el resultat del problema 9, se segueix que U (t) = e≠iHt/~ = e≠i~Ê =e ≠iÊt A t/~ ≠i⁄‡x t/~ e = e≠iÊt (cos(⁄t/~) ≠ i sin(⁄t/~)‡x ) B cos(⁄t/~) ≠i sin(⁄t/~) .
≠i sin(⁄t/~) cos(⁄t/~) (0.27) Si inicialment (a t = 0) el sistema es troba en l’estat |1, 0Í, en la base {|1, 0Í, |0, 1Í} tenim A B 1 |Â(t = 0)Í = |1, 0Í = .
(0.28) 0 Llavors, l’evoluci´ o temporal del sistema vindr`a donada per |Â(t)Í = U (t)|Â(t = 0)Í = e ≠iÊt A B cos(⁄t/~) .
≠i sin(⁄t/~) (0.29) Per trobar el temps que es demana, sols hi ha que imposar que la transici´o tingui lloc: P (t; |0, 1Í) = |È0, 1|Â(t)Í|2 = 1, A B-2 -1 2 cos(⁄t/~) -≠iÊt |È0, 1|Â(t)Í| = - 0 1 e - = sin2 (⁄t/~) = 1.
≠i sin(⁄t/~) 2 (0.30) La condici´ o anterior ens diu que el temps m´ınim que ha de passar per tal que es doni la transici´ o ´es: tm´ın. = fi2 ⁄~ .
2) La segona opci´ o ´es treballar en la base pr`opia de l’hamiltoni`a. Si diagonalitzem la matriu associada a H, trobem dos valors propis -~Ê ≠ “ - ⁄ - ⁄ -- = 0 =∆ (~Ê ≠ “)2 ≠ ⁄2 = 0 ~Ê ≠ “ - I “1 = ~Ê + ⁄ , “2 = ~Ê ≠ ⁄ (0.31) associats a dos estats propis (els trobem com sempre), A B 1 1 |“1 Í = Ô 2 1 A 1 1 |“2 Í = Ô 2 ≠1 1 = Ô (|1, 0Í + |0, 1Í) , 2 B 1 = Ô (|1, 0Í ≠ |0, 1Í) .
2 (0.32) ´ clar que els dos estats anteriors estan expressats en la base {|1, 0Í, |0, 1Í}. En Es la base pr` opia {|“1 Í, |“2 Í}, |“1 Í = A B 1 , 0 8 |“2 Í = A B 0 , 1 (0.33) .
i per tant, la descomposici´o espectral de l’operador d’evoluci´o temporal resulta ser U (t) = e≠iHt/~ = e≠i“1 t/~ |“1 ÍÈ“1 | + e≠i“2 t/~ |“2 ÍÈ“2 | 1 2 = e≠iÊt e≠i⁄t/~ |“1 ÍÈ“1 | + ei⁄t/~ |“2 ÍÈ“2 | = e≠iÊt Aleshores, |Â(t)Í = U (t)|Â(t = 0)Í = U (t)|1, 0Í = e ≠iÊt A B (0.34) e≠i⁄t/~ 0 .
0 ei⁄t/~ A B e≠i⁄t/~ 0 |1, 0Í.
i⁄t/~ 0 e (0.35) Per continuar, ens cal l’estat |1, 0Í en la base pr`opia d’H, i per posar de manifest l’` algebra, utilitzar´e la matriu de canvi de base. Siguin les bases B1 = {|“1 Í, |“2 Í} i B2 = {|1, 0Í, |0, 1Í}, d’acord amb (0.32), veiem que la matriu de canvi de base ´es: A |“1 Í |“2 Í 1 1 1 ≠1 B A |1, 0ÍB1 = (B2 æ B1 )|1, 0ÍB2 de manera que |Â(t)Í = e ≠iÊt A e≠i⁄t/~ 0 i⁄t/~ 0 e |1, 0Í =∆ |0, 1Í B 1 1 1 (B2 æ B1 ) = Ô .
2 1 ≠1 (0.36) ! 1" A la base B2 , |1, 0Í = 0 , llavors el mateix estat a la base B1 , ser` a 1 (B1 æ B2 ) = Ô 2 A 1 1 1 =Ô 2 1 ≠1 B A B 1 1 Ô 2 1 BA B 1 0 1 1 =Ô 2 1 A B (0.37) A B (0.38) e≠i⁄t/~ 1 = Ô e≠iÊt .
2 ei⁄t/~ Novament i per acabar, imposem que P (t; |0, 1Í) = |È0, 1|Â(t)Í|2 = 1. Per aix`o, ! " primer cal expressar l’estat |0, 1Í (el qual, en la base B2 ´es: |0, 1Í = 01 ) en la base B1 . Com abans, ho podem fer mitjan¸cant la matriu de canvi de base, |0, 1ÍB1 A 1 1 1 =Ô 2 1 ≠1 BA B 0 1 A B 1 1 =Ô .
2 ≠1 (0.39) Despr´es de tot, retrobam que la transici´o es d´ona quan A B-2 - 1 1 ≠i⁄t/~ 2 1 ≠iÊt e |È0, 1|Â(t)Í| = - Ô 1 ≠1 Ô e - = sin2 (⁄t/~) = 1, i⁄t/~ - 2 2 e 2 o sigui quan tm´ın. = (0.40) fi~ 2 ⁄.
De fet, qualitativament pod´ıem estimar el resultat anterior. Notem que les transicions ´ a dir, aquestes venen regulades venen caracteritzades pel terme proporcional a ⁄. Es per ⁄, una constant que t´e dimensions d’energia. Per an`alisi dimensional podem dir que el temps caracter´ıstic anir` a com t ≥ ~/⁄. Que ´es, si fa o no fa, el resultat que hem trobat.
9 ...