Tema 6 Matematicas Ingenieria informatica (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Europea Miguel de Cervantes
Grado Ingeniería Informática - 1º curso
Asignatura Matematicas
Año del apunte 2014
Páginas 27
Fecha de subida 26/11/2014
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Tema 6 Matematicas Ingenieria informatica

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Tema 6 C´ alculo diferencial e integral con funciones de varias variables 6.1.
Funciones reales de varias variables reales Para cada n´ umero natural n, sea Rn el conjunto de todas las n-uplas ordenadas de n´ umeros reales x = (x1 , x2 , . . . , xn ).
Una funci´on real de n variables reales es una aplicaci´on f : X °! Y en donde X Ω Rn , n > 1, e Y Ω R.
El conjunto X es el dominio de la funci´on; el conjunto f (X) es el recorrido de la funci´on.
A menudo la funci´on vendr´a dada por una f´ormula y si no se da de modo expreso el dominio, se supondr´a que este es el mayor conjunto de puntos de Rn para el cual la f´ormula est´a definida.
Designaremos habitualmente por D el dominio de la funci´on. Cuando tratemos con una funci´on f de dos variables escribiremos a veces z = f (x, y); x, y son las variables independientes, z es la variable dependiente. Fijaremos principalmente nuestra atenci´on en funciones de 2 o 3 variables reales.
Ejemplo Sea f (x, y) = es [0, +1).
p y ° x2 . El dominio de f es el conjunto D = {(x, y) 2 R2 : y ∏ x2 } y el recorrido Se define la norma (eucl´ıdea) de (x, y) 2 R2 por p k(x, y)k = x2 + y 2 .
Sea P0 (x0 , y0 ) un punto del plano y r un n´ umero real positivo.
Se llama disco abierto (o bola abierta) de centro P0 y radio r al conjunto B(P0 ; r) = {(x, y) 2 R2 : k(x, y) ° (x0 , y0 )k < r}, y disco cerrado (o bola cerrada) de centro P0 y radio r al conjunto B(P0 ; r) = {(x, y) 2 R2 : k(x, y) ° (x0 , y0 )k ∑ r}.
Sea S un subconjunto de R2 .
Decimos que un punto P 2 S es un punto interior de S si existe un disco abierto centrado en P contenido en S. El conjunto S se llama abierto si es vac´ıo o si todos sus puntos son interiores.
Un punto P 2 R2 es un punto frontera de S si todo disco abierto centrado en P contiene puntos de S y puntos que no est´an en S. El conjunto S se llama cerrado si contiene a todos sus puntos frontera. El conjunto de los puntos frontera de S se llama frontera de S. El conjunto S es cerrado si, y s´olo si, R2 \ S es abierto.
1 6.1. Funciones reales de varias variables reales 2 Un punto P 2 R2 es un punto de acumulaci´on de S si para todo r > 0 existe al menos un punto Q 6= P tal que Q 2 S \ B(P ; r).
El conjunto S se llama acotado si existe un disco que lo contiene.
Diremos que el conjunto S es compacto si es simult´aneamente cerrado y acotado.
En R3 se tienen definiciones an´alogas.
Ejemplo El dominio de f (x, y) = de ecuaci´on y = x2 .
p y ° x2 es cerrado y no acotado. La frontera del dominio es la par´abola Sea D Ω R2 y f : D °! R.
La gr´ afica de f es el conjunto {(x, y, f (x, y)) 2 R3 : (x, y) 2 D}.
La gr´afica de f es una superficie en R3 cuya proyecci´on sobre el plano OXY es el dominio D. En la Figura 6.1 se representa la gr´afica de la funci´on que venimos considerando.
4 X 2 0 2 4 4 3 2 Z 1 0 0 5 10 15 Y Figura 6.1: Superficie z = p y ° x2 .
Cuando el plano z = C corta a la superficie, el resultado es una curva en el espacio cuyas ecuaciones son ( f (x, y) = C, z = C.
Una curva de este tipo se llama traza (o secci´ on) de la gr´afica de f en el plano z = C. El conjunto de los puntos del plano OXY que verifican la ecuaci´on f (x, y) = C recibe el nombre de curva de nivel de f correspondiente al valor C. Las curvas de nivel de una funci´on f nos proporcionan informaci´on sobre las secciones de la superficie z = f (x, y) perpendiculares al eje OZ (cf. Figuras 6.2 y 6.3). En general, se podr´a obtener una imagen m´as completa de la superficie examinando las secciones en otras direcciones.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.2. L´ımites y continuidad 3 0 5 Y 10 15 4 3 Z 2 1 0 4 2 0 2 X 4 Figura 6.2: Superficie z = p y ° x2 , secci´on en el plano z = 3 y correspondiente curva de nivel.
Y 15 10 5 4 2 0 Figura 6.3: Curvas de nivel de la superficie z = 6.2.
2 4 X p y ° x2 correspondientes a z = 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3.
L´ımites y continuidad Definici´ on 6.2.1 Sea f : D Ω R2 °! R y (x0 , y0 ) un punto de acumulaci´on de D. Se dice que f tiene l´ımite L 2 R en el punto (x0 , y0 ) y se escribe l´ım (x,y)!(x0 ,y0 ) (x,y)2D f (x, y) = L si para cada " > 0 existe ± > 0 tal que si (x, y) 2 D y 0 < k(x, y) ° (x0 , y0 )k < ± entonces |f (x, y) ° L| < ".
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.2. L´ımites y continuidad 4 Si D = R2 escribiremos simplemente l´ım f (x, y) = L l´ım f (x, y) = L.
(x,y)!(x0 ,y0 ) en lugar de (x,y)!(x0 ,y0 ) (x,y)2R2 Siempre que no haya lugar a confusi´on, escribiremos abreviadamente l´ım (x,y)!(x0 ,y0 ) f (x, y) = L.
Teorema 6.2.1 Si f : D Ω R2 °! R y si (x0 , y0 ) es un punto de acumulaci´on de D, entonces f puede tener solamente un l´ımite en (x0 , y0 ).
Teorema 6.2.2 Sea D Ω R2 , D0 un subconjunto de D y (x0 , y0 ) un punto de acumulaci´on de D0 (y por tanto de D). Si f : D °! R es tal que l´ım f (x, y) = L, entonces existe (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) l´ım (x,y)2D 0 ,(x,y)!(x0 ,y0 ) f (x, y) y vale L.
En general, puede existir embargo, no existir l´ım (x,y)2D 0 ,(x,y)!(x0 ,y0 ) l´ım (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) f (x, y) para muchos subconjuntos D0 de D y, sin f (x, y).
El resultado anterior permite probar en algunos casos la no existencia de l´ım (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) f (x, y).
En efecto, si se pueden encontrar dos subconjuntos D1 y D2 de D tales que (x0 , y0 ) sea un punto de acumulaci´on de D1 y de D2 y l´ım (x,y)2D1 ,(x,y)!(x0 ,y0 ) f (x, y) 6= l´ım (x,y)2D2 ,(x,y)!(x0 ,y0 ) f (x, y) (o bien no existe alguno de estos l´ımites), entonces puede asegurarse que no existe l´ım (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) f (x, y).
Ejemplo Sea D = R2 \ {(0, 0)} y f : D °! R definida por f (x, y) = 2xy .
+ y2 x2 Sea S∏ = {(x, y) 2 R2 : y = ∏x} \ {(0, 0)}. Si (x, y) 2 S∏ , entonces 2x(∏x) 2∏x2 2∏ f (x, y) = 2 = 2 = , 2 2 2 x + (∏x) x +∏ x 1 + ∏2 luego l´ım (x,y)!(0,0) (x,y)2S∏ que depende de ∏. Por tanto, no existe f (x, y) = l´ım (x,y)2D,(x,y)!(0,0) 2∏ , 1 + ∏2 f (x, y).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.2. L´ımites y continuidad 5 Teorema 6.2.3 Sea D Ω R2 , sean f y g funciones definidas en D y sea (x0 , y0 ) 2 R2 un punto de acumulaci´ on de D. Si l´ım f (x, y) = L y l´ım g(x, y) = M , entonces: (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) (1) (2) (3) (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) l´ım kf (x, y) = kL para todo k 2 R, l´ım [f (x) + g(x)] = L + M , l´ım [f (x)g(x)] = LM , (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) (4) Si g(x, y) 6= 0 para todo (x, y) 2 D y M 6= 0, es f (x, y) L = .
(x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) g(x, y) M l´ım Definici´ on 6.2.2 Sea D un subconjunto no acotado de R2 y sea f : D °! R. Se dice que f tiene l´ımite L 2 R cuando (x, y) 2 D tiende a infinito y se escribe l´ım (x,y)2D,(x,y)!1 f (x, y) = L si para cada " > 0 existe K > 0 tal que si (x, y) 2 D y k(x, y)k > K, entonces |f (x, y) ° L| < ".
Definici´ on 6.2.3 Sea D un subconjunto no acotado de R2 y sea f : D °! R. Se dice que f tiende hacia +1 (resp. °1) cuando (x, y) 2 D tiende a infinito y se escribe l´ım (x,y)2D,(x,y)!1 f (x, y) = +1 (resp.
l´ım (x,y)2D,(x,y)!1 f (x, y) = °1) si para cada Æ 2 R existe K > 0 tal que si (x, y) 2 D y k(x, y)k > K, entonces f (x, y) > Æ (resp.
f (x, y) < Æ).
Definici´ on 6.2.4 Sea D Ω R2 , sea f : D °! R y sea (x0 , y0 ) un punto de acumulaci´on de D. Se dice que f tiende hacia +1 (resp. °1) cuando (x, y) 2 D tiende hacia (x0 , y0 ) y se escribe l´ım (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) f (x, y) = +1 (resp.
l´ım (x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) f (x, y) = °1) si para cada Æ 2 R existe ± > 0 tal que si (x, y) 2 D y 0 < k(x, y) ° (x0 , y0 )k < ±, entonces f (x, y) > Æ (resp. f (x, y) < Æ).
Definici´ on 6.2.5 Sea D Ω R2 , sea f : D °! R y sea (x0 , y0 ) 2 D. Se dice que f es continua en (x0 , y0 ) si para cada " > 0 existe ± > 0 tal que si (x, y) 2 D y k(x, y) ° (x0 , y0 )k < ±, entonces |f (x, y) ° f (x0 , y0 )| < ". Si f no es continua en (x0 , y0 ), entonces se dice que f es discontinua en (x0 , y0 ).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.2. L´ımites y continuidad 6 Observaciones (1) Si (x0 , y0 ) 2 D es un punto de acumulaci´on de D, entonces f es continua en (x0 , y0 ) si, y s´olo si, l´ım f (x, y) = f (x0 , y0 ).
(x,y)2D,(x,y)!(x0 ,y0 ) (2) Si (x0 , y0 ) 2 D no es un punto de acumulaci´on de D, entonces existe ± > 0 tal que D \ B((x0 , y0 ); ±) = {(x0 , y0 )}. Por tanto, f es autom´aticamente continua en un punto (x0 , y0 ) 2 D que no sea un punto de acumulaci´on de D. Tales puntos reciben el nombre de puntos aislados de D. As´ı pues, se estudiar´a la continuidad solamente en puntos de acumulaci´on.
Definici´ on 6.2.6 Sea D Ω R2 y sea f : D °! R. Si A es un subconjunto de D, se dice que f es continua en el conjunto A si f es continua en cada punto de A.
Teorema 6.2.4 Sea D Ω R2 y sean f, g : D °! R. Supongamos que (x0 , y0 ) 2 D y que f y g son continuas en (x0 , y0 ). Entonces: (1) kf es continua en (x0 , y0 ) para todo k 2 R.
(2) f + g es continua en (x0 , y0 ).
(3) f g es continua en (x0 , y0 ).
(4) Si g(x, y) 6= 0 para todo (x, y) 2 D, entonces f /g es continua en (x0 , y0 ).
Teorema 6.2.5 Sea D Ω R2 y sean f, g : D °! R continuas en D. Entonces: (1) kf es continua en D para todo k 2 R.
(2) f + g es continua en D.
(3) f g es continua en D.
(4) Si g(x, y) 6= 0 para todo (x, y) 2 D, entonces f /g es continua en D.
Teorema 6.2.6 Sean A Ω R2 , B Ω R y sean f : A °! R y g : B °! R funciones tales que f (A) Ω B. Si f es continua en un punto P 2 D y g es continua en f (P ) 2 B, entonces la composici´ on g ± f : A °! R es continua en P .
Teorema 6.2.7 Sean A Ω R2 , B Ω R, f : A °! R continua en A y g : B °! R continua en B.
Si f (A) Ω B, entonces la funci´on compuesta g ± f : A °! R es continua en A.
Definici´ on 6.2.7 Se dice que una funci´on f : D Ω R2 °! R es acotada si existe M > 0 tal que |f (x, y)| ∑ M para todo (x, y) 2 D.
Teorema 6.2.8 Sea K un subconjunto compacto de R2 y f : K °! R continua en K. Entonces f es acotada.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.3. Funciones diferenciables 7 Definici´ on 6.2.8 Sea D Ω R2 y f : D °! R. Sea (x0 , y0 ) 2 D. Se dice que f tiene un m´ aximo absoluto (resp. m´ınimo absoluto) en (x0 , y0 ) si f (x, y) ∑ f (x0 , y0 ) (resp. f (x0 , y0 ) ∑ f (x, y)) para todo (x, y) 2 D.
Teorema 6.2.9 (Teorema del m´ aximo-m´ınimo) Si K Ω R2 es un conjunto compacto y f es continua en K, entonces existe un punto de K en el que f tiene un m´aximo absoluto y un punto de K en el que f tiene un m´ınimo absoluto.
Las definiciones y los teoremas de esta secci´on son, por supuesto, aplicables a funciones de tres variables.
6.3.
Funciones diferenciables Definici´ on 6.3.1 Sea D un subconjunto abierto de R2 y f : D °! R. Sea (x0 , y0 ) 2 D. El plano y = y0 corta a la superficie z = f (x, y) determinando la curva ( z = f (x, y0 ), y = y0 .
Se define la derivada parcial de f respecto a x en el punto (x0 , y0 ) como la derivada de la funci´ on ' dada por '(x) = f (x, y0 ) en x0 @f f (x0 + h, y0 ) ° f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ım h!0 @x h (siempre que el l´ımite exista y sea finito). Se designa tambi´en por fx (x0 , y0 ). El plano x = x0 corta a la superficie z = f (x, y) determinando la curva ( z = f (x0 , y), x = x0 .
Se define la derivada parcial de f respecto a y en el punto (x0 , y0 ) como la derivada de la funci´ on √ dada por √(y) = f (x0 , y) en y0 @f f (x0 , y0 + k) ° f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ım k!0 @y k (siempre que el l´ımite exista y sea finito). Se designa tambi´en por fy (x0 , y0 ).
Si existe la derivada parcial de f respecto a x (resp. respecto a y) en todos los puntos del conjunto D, se llama derivada parcial de f respecto a x (resp. derivada parcial de f respecto a y) a la funci´on @f (o fx ) (resp. @f (o fy )) que asigna a cada (x, y) 2 D la derivada parcial de f @x @y respecto a x (resp. respecto a y) en (x, y), @f (x, y) (o fx (x, y)) (resp. @f (x, y) (o fy (x, y))). 1 @x @y Para determinar @f se deriva f respecto a x de la manera usual, manteniendo y constante.
@x An´alogamente, para determinar @f se deriva f respecto a y, manteniendo x constante.
@y Se definen de forma an´aloga las derivadas parciales de funciones de tres variables.
1 Adrien-Marie Legendre (1752-1833), matem´ atico franc´ es, utiliz´ o en un art´ıculo de 1786 (“M´ emoire sur la mani` ere de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations”, Histoire de l’Acad´ emie Royale des Sciences, Paris (1788), p´ ags. 7-37) el s´ımbolo @v @ en la notaci´ on para una derivada parcial, @x , aunque con poca convicci´ on, pues ya no us´ o esta notaci´ on en art´ıculos posteriores. El matem´ atico alem´ an C. G. J. Jacobi (1804-1851) reintrodujo definitivamente en 1841 el s´ımbolo @ y la correspondiente notaci´ on de la definici´ on 6.3.1 para las derivadas parciales (diÆerentialia partialia) en su art´ıculo “De determinantibus functionalibus”, Journal f¨ ur die reine und angewandte Mathematik, vol. 22, p´ ags. 319-359.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.3. Funciones diferenciables 8 Ejemplo Determinemos los valores de @f y @f en el punto (4, °5), siendo f (x, y) = x2 + 3xy + y ° 1.
@x @y Se tiene @f @f (x, y) = 2x + 3y y (x, y) = 3x + 1, @x @y luego @f @f (4, °5) = 2 · 4 + 3 · (°5) = °7 y (4, °5) = 3 · 4 + 1 = 13.
@x @y Observaci´ on La existencia de fx (x0 , y0 ) y fy (x0 , y0 ) no asegura la continuidad de f en (x0 , y0 ).
Consideremos la funci´on f : R2 °! R definida por ( 0 si xy 6= 0, f (x, y) = 1 si xy = 0.
Sea S = {(x, y) 2 R2 : y = x}. Si (x, y) 2 S y (x, y) 6= (0, 0), se tiene que f (x, y) = 0 pero f (0, 0) = 1. Como l´ım f (x, y) = 0 6= 1 = f (0, 0), (x,y)!(0,0) (x,y)2S f no es continua en (0, 0). Ahora bien, fx (0, 0) = 0 y fy (0, 0) = 0.
Definici´ on 6.3.2 Sean D un subconjunto abierto de R2 , f : D °! R y (x0 , y0 ) 2 D. Se dice que f es diferenciable en (x0 , y0 ) si existe una aplicaci´ on lineal ∏ : R2 °! R (necesariamente u ´nica) tal que |f (x0 + h, y0 + k) ° f (x0 , y0 ) ° ∏(h, k)| l´ım = 0.
(h,k)!(0,0) k(h, k)k A esta aplicaci´ on lineal la designaremos por Df (x0 , y0 ) y se la llama diferencial de f en (x0 , y0 ), y a la matriz que la define respecto a las bases can´ onicas de R2 y R se la llama matriz jacobiana de f en (x0 , y0 ), y se la designa por f 0 (x0 , y0 ).
Definici´ on 6.3.3 Se dice que la funci´on f : D Ω R2 °! R es diferenciable en un abierto A Ω D si es diferenciable en cada uno de los puntos de A.
Teorema 6.3.1 Sea f : D Ω R2 °! R diferenciable en (x0 , y0 ) 2 D. Entonces f es continua en (x0 , y0 ).
Teorema 6.3.2 Sea f : D Ω R2 °! R diferenciable en (x0 , y0 ) 2 D. Entonces existen fx (x0 , y0 ) y fy (x0 , y0 ), y f 0 (x0 , y0 ) = (fx (x0 , y0 ) fy (x0 , y0 )).
Por tanto, Df (x0 , y0 )(h, k) = Df (x0 , y0 )(1, 0)h + Df (x0 , y0 )(0, 1)k = fx (x0 , y0 )h + fy (x0 , y0 )k.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.3. Funciones diferenciables 9 La definici´on que hemos introducido de diferencial en un punto (x0 , y0 ) indica que cuando se pasa del punto (x0 , y0 ) al punto (x0 + h, y0 + k), la diferencia entre el incremento del valor de la funci´on, f (x0 + h, y0 + k) ° f (x0 , y0 ), y el valor en (h, k) de la aplicaci´on lineal escogida (la diferencial) tiende a cero “m´as deprisa”que k(h, k)k. En este sentido Df (x0 , y0 )(h, k) es una buena aproximaci´on local de f (x0 + h, y0 + k) ° f (x0 , y0 ). Si hacemos (x, y) = (x0 + h, y0 + k), lo que estamos diciendo es que f (x0 , y0 ) + Df (x0 , y0 )(x ° x0 , y ° y0 ) = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x ° x0 ) + fy (x0 , y0 )(y ° y0 ) es una buena aproximaci´on local a la funci´on f cerca de (x0 , y0 ).
Definici´ on 6.3.4 Sea f : D Ω R2 °! R diferenciable en (x0 , y0 ) 2 D. El plano (en R3 ) definido mediante la expresi´ on z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x ° x0 ) + fy (x0 , y0 )(y ° y0 ) se llama plano tangente a la gr´afica de f en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
Teorema 6.3.3 Sean D un subconjunto abierto de R2 , f : D °! R y (x0 , y0 ) 2 D. Si las funciones fx y fy est´an definidas en un conjunto abierto que contenga a (x0 , y0 ) y son continuas en (x0 , y0 ), entonces f es diferenciable en (x0 , y0 ).
Definici´ on 6.3.5 Sean D un subconjunto abierto de R2 y f : D °! R. Si fx y fy est´an definidas y son continuas en D, se dice que f es de clase 1 en D y se escribe f 2 C 1 (D).
Evidentemente si f 2 C 1 (D) entonces f es diferenciable en D.
Las definiciones y los teoremas anteriores se extienden, por supuesto, a funciones de tres variables (en tal caso, en la definici´on 6.3.4 se habla de hiperplano tangente en R4 ).
Ejemplos (1) Sea f : R2 °! R definida por f (x, y) = ex+y + sen (x ° y).
Si (x, y) 2 R2 se tiene fx (x, y) = ex+y + cos (x ° y), fy (x, y) = ex+y ° cos (x ° y).
Las funciones fx y fy est´an definidas y son continuas en R2 , es decir, f 2 C 1 (R2 ), y por tanto, f es diferenciable en todo punto. En particular, Df (0, 0) es la aplicaci´on lineal de R2 en R definida por la matriz f 0 (0, 0) = (fx (0, 0) fy (0, 0)) = (2 0).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.3. Funciones diferenciables 10 p (2) Sea f : R2 °! R definida por f (x, y) = |xy| . La funci´on f es continua en R2 por ser composici´on de funciones continuas. Aplicando la definici´on 6.3.1, se tiene f (h, 0) ° f (0, 0) 0°0 = l´ım =0 h!0 h!0 h h fx (0, 0) = l´ım (¡no se trata de la forma indeterminada 00 !) y, an´alogamente, fy (0, 0) = 0. Si f fuese diferenciable en (0, 0), deber´ıa ser Df (0, 0) la aplicaci´on lineal definida por la matriz (0 0), y |f (0 + h, 0 + k) ° f (0, 0) ° Df (0, 0)(h, k)| = 0, (h,k)!(0,0) k(h, k)k l´ım pero este l´ımite no existe, ya que si S∏ = {(h, k) 2 R2 : k = ∏h}, es r p p |hk| |h| |∏| |f (h, k) ° 0 ° 0| |∏| l´ım = l´ım p = l´ım p = , 2 2 2 h!0 |h| 1 + ∏ (h,k)!(0,0) (h,k)!(0,0) k(h, k)k 1 + ∏2 h +k (h,k)2S∏ (h,k)2S∏ que depende de ∏.
Si a 6= 0, fx (a, 0) = 0 y no existe fy (a, 0), puesto que p p p p |ak| |a| |ak| |a| l´ım+ = l´ım+ p = +1 y l´ım° = l´ım° ° p = °1.
k!0 k!0 k!0 k!0 k k °k k An´alogamente, si b 6= 0, fx (0, b) no existe y fy (0, b) = 0.
La funci´on f es diferenciable en el conjunto A = {(x, y) 2 R2 : xy 6= 0} por ser continuas las derivadas parciales en cada punto de A: 8 y > si x > 0, y > 0 o bien x < 0, y < 0 < 2pxy fx (x, y) = > si x > 0, y < 0 o bien x < 0, y > 0 : p°y 2 fy (x, y) = °(xy) 8 > < 2pxxy > : p°x 2 °(xy) si x > 0, y > 0 o bien x < 0, y < 0 si x > 0, y < 0 o bien x < 0, y > 0.
Si Æ > 0, el plano tangente a la gr´afica de f en el punto (Æ, Æ, Æ) es 1 1 1 1 z = f (Æ, Æ) + fx (Æ, Æ)(x ° Æ) + fy (Æ, Æ)(y ° Æ) = Æ + (x ° Æ) + (y ° Æ) = x + y 2 2 2 2 o bien x + y ° 2z = 0.
En la Figura 6.4 se representa la gr´afica de la funci´on f .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.3. Funciones diferenciables 11 Y 1 0 2 1 2 2.0 1.5 Z 1.0 0.5 0.0 2 1 0 X 1 2 Figura 6.4: Superficie z = p |xy|.
Cuando derivamos una funci´on real de dos variables f dos veces, se obtienen sus derivadas parciales de segundo orden: µ ∂ @ 2f @ @f = = (fx )x = fxx @x2 @x @x µ ∂ @ 2f @ @f = = (fy )y = fyy @y 2 @y @y µ ∂ @ 2f @ @f = = (fy )x = fyx @x@y @x @y µ ∂ @ 2f @ @f = = (fx )y = fxy .
@y@x @y @x La extensi´on de estas notaciones a ´ordenes superiores es obvia (as´ı como a funciones de tres variables).
Ejemplo Sea f : R2 °! R dada por f (x, y) = x cos y + yex . Se tiene @f (x, y) = cos y + yex @x @ 2f (x, y) = °sen y + ex @y@x @ 2f (x, y) = yex @x2 @f (x, y) = °x sen y + ex @y @2f (x, y) = °sen y + ex @x@y @2f (x, y) = °x cos y.
@y 2 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.4. Extremos relativos de las funciones de dos variables En el ejemplo anterior observamos que siguiente resultado: @2f @y@x = @2f @x@y 12 . Esto no es una casualidad. Se tiene el Teorema 6.3.4 (Teorema de Schwarz) Sea D un subconjunto abierto de R2 y f : D °! R.
Sea (x0 , y0 ) 2 D. Si fx , fy y fxy existen en D y adem´as fxy es continua en (x0 , y0 ), entonces existe fyx (x0 , y0 ) y se tiene fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ).
(El teorema es tambi´en v´alido si en el enunciado se intercambian fxy y fyx ).
Definici´ on 6.3.6 Sea D un subconjunto abierto de R2 y f : D °! R. Si f admite derivadas parciales hasta el orden k ∏ 1 en cada punto de D y ´estas son continuas en D, se dice que f es de clase k en D y se escribe f 2 C k (D). Si f es de clase k en D para cada k 2 N se dice que f es de clase infinito en D y se escribe f 2 C 1 (D).
Definici´ on 6.3.7 Sea D un subconjunto abierto de R2 , (x0 , y0 ) 2 D y f : D °! R tal que f 2 C 2 (D). La matriz (sim´etrica en virtud del teorema de Schwarz) √ ! fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 ) Hf (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 ) se denomina matriz hessiana de f en (x0 , y0 ) y su determinante se llama hessiano de f en (x0 , y0 ).
El teorema de Schwarz es tambi´en v´alido para funciones de tres variables; las dos definiciones que siguen al teorema se extienden de forma natural a tales funciones.
6.4.
Extremos relativos de las funciones de dos variables2 Definici´ on 6.4.1 Sea D Ω R2 y f : D °! R. Sea (x0 , y0 ) 2 D. Se dice que f tiene un m´ aximo relativo (resp. m´ınimo relativo) en (x0 , y0 ) si existe un disco abierto B((x0 , y0 ); ±) tal que f (x, y) ∑ f (x0 , y0 ) (resp. f (x0 , y0 ) ∑ f (x, y)) para todo (x, y) 2 B((x0 , y0 ); ±) \ D. Se dice que f tiene un extremo relativo en (x0 , y0 ) si tiene o bien un m´aximo relativo o bien un m´ınimo relativo en (x0 , y0 ). En cada caso, si para (x, y) 6= (x0 , y0 ) la desigualdad es estricta diremos que el extremo es estricto.
El siguiente teorema proporciona una condici´on necesaria pero no suficiente para la existencia de un extremo relativo en un punto.
Teorema 6.4.1 Sea (x0 , y0 ) un punto interior del conjunto D Ω R2 en el que f : D °! R tiene un extremo relativo. Si existen las derivadas parciales de f en (x0 , y0 ), entonces fx (x0 , y0 ) = 0 y fy (x0 , y0 ) = 0.
2 Las definiciones y los resultados de esta secci´ on se extienden de forma natural a las funciones de tres variables, excepto los teoremas 6.4.2 y 6.4.5.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.4. Extremos relativos de las funciones de dos variables 13 Observaciones (1) La funci´on f : R2 °! R dada por f (x, y) = x3 + y 3 , verifica que fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0 y sin embargo en (0, 0) no tiene un extremo relativo pues f cambia de signo en cualquier disco abierto centrado en (0, 0) (f (h, 0) = h3 es positivo si h > 0 y negativo si h < 0).
(2) Una funci´on puede tener un extremo relativo en un punto (x0 , y0 ) en el que no existe alguna derivada parcial, en cuyo caso la condici´on del teorema anterior no es verificable. Por ejemplo, la funci´on f : R2 °! R dada por f (x, y) = |x| + |y| no tiene derivadas parciales en el punto (0, 0) y, sin embargo, tiene un m´ınimo relativo en dicho punto ya que f (0, 0) = 0 y f (x, y) > 0 si (x, y) 6= (0, 0).
Definici´ on 6.4.2 Un punto interior (x0 , y0 ) del dominio D Ω R2 de f tal que fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0 se llama punto cr´ıtico (o estacionario) de f .
As´ı pues, los u ´nicos puntos donde f : D °! R puede tener un extremo relativo son los puntos cr´ıticos, los puntos interiores del dominio donde una o ambas derivadas parciales no existan y los puntos frontera del dominio.
Ejemplo Sea f : R2 °! R definida por f (x, y) = x2 + y 2 . Buscamos los puntos en los que f tiene un extremo relativo.
El dominio de f es R2 , luego no hay puntos frontera. Las derivadas parciales son fx (x, y) = 2x y fy (x, y) = 2y para todo (x, y) 2 R2 . Por tanto, los u ´nicos puntos donde f puede tener un extremo relativo son los puntos cr´ıticos. De fx (x, y) = 2x = 0, fy (x, y) = 2y = 0 se deduce que el u ´nico punto cr´ıtico es el origen (0, 0). Como para todo (x, y) 2 R2 f (x, y) ∏ 0 = f (0, 0) f tiene en el origen un m´ınimo relativo, que de hecho es absoluto.
Definici´ on 6.4.3 Sea (x0 , y0 ) un punto cr´ıtico de f . Se dice que f tiene en (x0 , y0 ) un punto de silla si en todo disco abierto centrado en (x0 , y0 ) hay puntos donde la funci´on toma valores mayores que f (x0 , y0 ) y puntos donde la funci´on toma valores menores que f (x0 , y0 ).
Teorema 6.4.2 Sea D un subconjunto abierto de R2 y sea f : D °! R una funci´on de clase 2 en D. Sea (x0 , y0 ) 2 D un punto cr´ıtico de f . Entonces: (1) Si fxx (x0 , y0 ) > 0 y det[Hf (x0 , y0 )] > 0, L tiene un m´ınimo relativo estricto en (x0 , y0 ).
(2) Si fxx (x0 , y0 ) < 0 y det[Hf (x0 , y0 )] > 0, L tiene un m´aximo relativo estricto en (x0 , y0 ).
(3) Si det[Hf (x0 , y0 )] < 0, f tiene un punto de silla en (x0 , y0 ).
(4) Si det[Hf (x0 , y0 )] = 0, se presenta un caso dudoso (en (x0 , y0 ) puede haber extremo relativo o no).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.4. Extremos relativos de las funciones de dos variables 14 Ejemplo Sea f : R2 °! R definida por f (x, y) = y 2 ° x2 . El dominio de f es R2 , luego no hay puntos frontera. Las derivadas parciales son fx (x, y) = °2x y fy (x, y) = 2y para todo (x, y) 2 R2 . El u ´nico punto cr´ıtico es (0, 0). Las funciones fxx (x, y) = °2, fyy (x, y) = 2, fxy (x, y) = 0 son continuas en R2 . Se tiene que det[Hf (0, 0)] = °4 < 0, luego f tiene un punto de silla en (0, 0). Se concluye que f no tiene extremos relativos.
Definici´ on 6.4.4 Un subconjunto C de R2 se dice que es convexo si es vac´ıo o si contiene todos los segmentos cuyos extremos est´an en C, es decir, si para cualesquiera x, y 2 C y 0 ∑ t ∑ 1 se tiene que (1 ° t)x + ty 2 C.
Definici´ on 6.4.5 Sea C Ω R2 un conjunto convexo. Se dice que f : C °! R es convexa en C si para cualesquiera x, y 2 C y 0 ∑ t ∑ 1, se tiene que f ((1 ° t)x + ty) ∑ (1 ° t)f (x) + tf (y).
Se dice que f es c´ oncava si °f es convexa.3 Teorema 6.4.3 Sean C Ω R2 un conjunto convexo y f : C °! R una funci´on convexa. Si f tiene en a 2 C un m´ınimo relativo, entonces tiene en a un m´ınimo absoluto.4 Teorema 6.4.4 Sean C Ω R2 un conjunto abierto y convexo, y f : C °! R una funci´on diferenciable en C. Entonces f es convexa si, y s´olo si, para todo a, x 2 C, f (x) ∏ f (a) + f 0 (a) · (x ° a).5 Corolario 6.4.1 Sean C Ω R2 un conjunto abierto y convexo, y f : C °! R una funci´on diferenciable y convexa en C. Entonces f tiene en a 2 C un m´ınimo absoluto si, y s´olo si, f 0 (a) = O.
Teorema 6.4.5 Sea C Ω R2 un conjunto abierto y convexo, y sea f : C °! R una funci´on de clase 2 en C. Entonces f es convexa si, y s´olo si, fxx (a) ∏ 0 y det[Hf (a)] ∏ 0 para todo a 2 C.6 3 Se dice que f es estrictamente convexa si para cualesquiera x, y 2 C con x 6= y y 0 < t < 1, se tiene f ((1 ° t)x + ty) < (1 ° t)f (x) + tf (y).
Se dice que f es estrictamente c´ oncava si °f es estrictamente convexa.
4 Si f es estrictamente convexa se tiene que f (a) < f (x) si x 6= a y, por tanto, f toma su valor m´ınimo en un u ´ nico punto.
5 f es estrictamente convexa si, y s´ olo si, para todo a, x 2 C, a 6= x, f (x) > f (a) + f 0 (a) · (x ° a).
6 Si fxx (a) > 0 y det[Hf (a)] > 0 para todo a 2 C, entonces f es estrictamente convexa en C. El rec´ıproco no es cierto (basta considerar, por ejemplo, f : R2 °! R definida por f (x, y) = x4 + y 4 ).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.4. Extremos relativos de las funciones de dos variables 15 Ejemplos (1) La funci´on f : R2 °! R dada por f (x, y) = x2 + y(y 3 ° 4), tiene derivadas parciales de segundo orden fxx (x, y) = 2, fyy (x, y) = 12y 2 , fxy (x, y) = 0 que son funciones continuas en R2 . Adem´as fxx (x, y) > 0 y det[Hf (x, y)] = 24y 2 ∏ 0 para todo (x, y) 2 R2 , luego f es convexa. Las derivadas parciales de f son fx (x, y) = 2x fy (x, y) = 4y 3 ° 4 y para todo (x, y) 2 R2 . El u ´nico punto cr´ıtico es (0, 1) y este es, por tanto, el u ´nico punto en el que f presenta un m´ınimo absoluto: f (0, 1) = °3.
(2) El m´ etodo de los m´ınimos cuadrados Supongamos que se tienen n(> 1) puntos (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) en el plano R2 que no pertenecen a una misma recta vertical, y busquemos una recta y = ax + b tal que sea m´ınima la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos dados a la recta. La ordenada del punto de la recta que tiene por abscisa xk es axk + b. Por tanto, debemos determinar los valores de a y b que minimizan el valor de la funci´on n X f (a, b) = [yk ° (axk + b)]2 .
k=1 El dominio de f es R2 . Los puntos cr´ıticos de f son las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales 9 n X > > fa (a, b) = 2 [yk ° (axk + b)](°xk ) = 0 > > = k=1 fb (a, b) = 2 n X k=1 es decir, √ n X x2k k=1 ! > > > [yk ° (axk + b)](°1) = 0 > ; a+ √ √ n X xk k=1 n X xk k=1 ! ! b= a + nb = n X k=1 n X 9 > > xk y k > > = > > > > ; yk k=1 Este tiene soluci´on u ´nica pues el determinante de la matriz de los coeficientes es Pn sistema P n 2 2 n k=1 xk °( k=1 xk ) que, por la desigualdad de Cauchy, es positivo. La soluci´on del sistema es √ n !√ n ! n X X X n xk y k ° xk yk a0 = k=1 k=1 n n X k=1 b0 = √ n X k=1 x2k x2k ° !√ n X √ n X xk k=1 yk k=1 n k=1 n X k=1 ! ° x2k ° , !2 √ n X xk k=1 √ n X k=1 xk !√ !2 n X xk y k k=1 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara ! .
6.5. Extremos condicionados de las funciones de dos variables Las funciones faa (a, b) = 2 n X x2k , fbb (a, b) = 2n, fab (a, b) = 2 k=1 16 n X xk k=1 £ P § P son continuas en R . Adem´as faa (a, b) > 0 y Hf (a, b) = 4 n nk=1 x2k ° ( nk=1 xk )2 > 0 para todo (a, b) 2 R2 , luego f es convexa. Por tanto (a0 , b0 ) es el u ´nico punto en el que f tiene un m´ınimo absoluto. La soluci´on es la recta y = a0 x + b0 , que recibe el nombre de recta de m´ınimos cuadrados.
2 6.5.
Extremos condicionados de las funciones de dos variables7 En esta secci´on veremos algunos resultados que permiten estudiar la existencia de extremos relativos de una funci´on f de dos variables restringida a un subconjunto S de su dominio D, cuando S se describe de forma impl´ıcita por una ecuaci´on del tipo g(x, y) = 0.
Definici´ on 6.5.1 Sean D un subconjunto abierto de R2 , f, g : D °! R y S = {(x, y) 2 D : g(x, y) = 0}. Se dice que f tiene un m´ aximo relativo (resp. m´ınimo relativo) en (x0 , y0 ) 2 D sometido a la condici´ on g(x, y) = 0, es decir, en (x0 , y0 ) 2 S, si existe ± > 0 tal que f (x, y) ∑ f (x0 , y0 ) (resp. f (x0 , y0 ) ∑ f (x, y)) para todo (x, y) 2 B((x0 , y0 ); ±) \ S, es decir, si la funci´ on restricci´ on f |S : S °! R tiene un m´aximo relativo (resp. m´ınimo relativo) en (x0 , y0 ). Se dice que f tiene un extremo relativo en (x0 , y0 ) 2 D sometido a la condici´ on g(x, y) = 0 si tiene o bien un m´aximo relativo o bien un m´ınimo relativo en (x0 , y0 ) 2 D sometido a la condici´ on g(x, y) = 0. En cada caso, si para (x, y) 6= (x0 , y0 ) la desigualdad es estricta diremos que el extremo es estricto.
El llamado m´etodo del multiplicador de Lagrange proporciona una condici´on necesaria para la existencia de extremo relativo condicionado.
Teorema 6.5.1 (Teorema del multiplicador de Lagrange) Sean D un subconjunto abierto de R2 , f, g : D °! R funciones de clase 1 en D y S = {(x, y) 2 D : g(x, y) = 0}. Si en (x0 , y0 ) 2 S la funci´ on f |S tiene un extremo relativo y rg[g 0 (x0 , y0 )] = 1, entonces existe un n´ umero real ∏ tal que f 0 (x0 , y0 ) = ∏g 0 (x0 , y0 ), es decir, se verifica fx (x0 , y0 ) = ∏gx (x0 , y0 ) y fy (x0 , y0 ) = ∏gy (x0 , y0 ).
El n´ umero ∏ recibe el nombre de multiplicador de Lagrange.
As´ı pues, la soluci´on del sistema 9 fx (x, y) = ∏gx (x, y)> = fy (x, y) = ∏gy (x, y) > ; g(x, y) = 0 de tres ecuaciones con tres inc´ognitas (x, y y el multiplicador ∏), nos permite obtener los posibles extremos. Una vez localizados se hace necesario disponer de condiciones suficientes para poder garantizar que en esos puntos la funci´on presenta un extremo.
7 Las definiciones y los teoremas de esta secci´ on se extienden de forma natural a las funciones de tres variables.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.5. Extremos condicionados de las funciones de dos variables 17 Teorema 6.5.2 Sean D un subconjunto abierto de R2 , f, g : D °! R funciones de clase 2 en D y S = {(x, y) 2 D : g(x, y) = 0}. Sea L la funci´ on auxiliar de Lagrange o funci´ on lagrangiana definida por L(x, y) = f (x, y) ° ∏g(x, y), (x, y) 2 D.
Sea (x0 , y0 ) un punto de S con rg[g 0 (x0 , y0 )] = 1 y que adem´as es punto cr´ıtico de L. Finalmente, sea Q : R2 °! R definida por Q(h, k) = (h k)HL(x0 , y0 )(h k)t .8 (1) Si Q(h, k) > 0 para todo (h, k) 2 Ker[Dg(x0 , y0 )]\{(0, 0)}, es decir, para todo (h, k) 2 R2 , con (h, k) 6= (0, 0), tal que g 0 (x0 , y0 )(h k)t = 0, entonces f |S tiene un m´ınimo relativo estricto en (x0 , y0 ).
(2) Si Q(h, k) < 0 para todo (h, k) 2 Ker[Dg(x0 , y0 )]\{(0, 0)}, es decir, para todo (h, k) 2 R2 , con (h, k) 6= (0, 0), tal que g 0 (x0 , y0 )(h k)t = 0, entonces f |S tiene un m´aximo relativo estricto en (x0 , y0 ).
Ejemplo Vamos a encontrar los extremos relativos y absolutos de la funci´on f : R2 °! R dada por f (x, y) = x2 + y 2 ° xy, en el conjunto S = {(x, y) 2 R2 : x2 + y 2 = 2}.
Pongamos g(x, y) = x2 + y 2 ° 2 y consideremos la funci´on auxiliar de Lagrange que viene dada por L(x, y) = x2 + y 2 ° xy ° ∏(x2 + y 2 ° 2). Los puntos cr´ıticos de L pertenecientes a S son las soluciones del sistema 9 Lx (x, y) = 2x ° y ° 2∏x = 0> = Ly (x, y) = 2y ° x ° 2∏y = 0 > ; g(x, y) = x2 + y 2 ° 2 = 0 es decir: (1, 1) y (°1, °1) para ∏ = 12 ; (1, °1) y (°1, 1) para ∏ = 32 . Por otra parte, rg[g 0 (x, y)] = rg(2x 2y) = 1 para todo (x, y) 2 S.
Para los puntos (1, 1) y (°1, °1), con ∏ = 12 , es µ ∂ 1 °1 HL(1, 1) = HL(°1, °1) = .
°1 1 Adem´as y, para Æ 6= 0, g 0 (1, 1)(h k)t = 0 () h = °k () g 0 (°1, °1)(h k)t = 0, (°Æ Æ)HL(1, 1)(°Æ Æ)t = (°Æ Æ)HL(°1, °1)(°Æ Æ)t = 4Æ2 > 0, por consiguiente, f |S tiene en (1, 1) y en (°1, °1) m´ınimos relativos estrictos. An´alogamente, para los puntos (1, °1) y (°1, 1), con ∏ = 32 , se tiene que µ ∂ °1 °1 HL(1, °1) = HL(°1, 1) = , °1 °1 8 Dada una matriz de n´ umeros reales A, n £ n, sim´ etrica, se denomina forma cuadr´ atica asociada a la matriz A a la aplicaci´ on Q : Rn °! R definida por n X Q(x) = aij xi xj = xAxt .
i,j=1 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.5. Extremos condicionados de las funciones de dos variables 18 Y 3 2 1 S 3 2 1 1 2 3 X 1 2 3 Figura 6.5: Conjunto S = {(x, y) 2 R2 : x2 + y 2 = 2} y curvas de nivel de la superficie z = x2 + y 2 ° xy correspondientes a z = 0.2, 0.6, 1, 3, 3.4, 3.8.
y g 0 (1, °1)(h k)t = 0 () h = k () g 0 (°1, 1)(h k)t = 0, as´ı que (Æ Æ)HL(1, °1)(Æ Æ)t = (Æ Æ)HL(°1, 1)(Æ Æ)t = °4Æ2 < 0, luego f |S tiene m´aximos relativos estrictos en dichos puntos.
Adem´as, (1, 1), (°1, °1), (1, °1) y (°1, 1) son los u ´nicos puntos en los cuales la funci´on puede tener extremos relativos condicionados y, puesto que S es un conjunto compacto y f es continua en S, f alcanza los extremos absolutos en algunos de ellos. Como f (1, 1) = f (°1, °1) = 1 y f (1, °1) = f (°1, 1) = 3, f alcanza en los puntos (1, 1) y (°1, °1) el m´ınimo absoluto condicionado 1 y en los puntos (1, °1) y (°1, 1) el m´aximo absoluto condicionado 3.
Desde un punto de vista geom´etrico, podemos analizar la evoluci´on de las curvas de nivel de la funci´on f , es decir, x2 + y 2 ° xy = C, C ∏ 0, y su relaci´on con el conjunto S (cf. Figura 6.5).
Si, empezando con C = 0, aumentamos C hasta que la correspondiente curva de nivel toque a S, cada punto de primer contacto ser´a un punto en el que f tendr´a un m´ınimo absoluto condicionado.
Esto sucede cuando C = 1, obteni´endose los puntos de contacto (1, 1) y (°1, °1). An´alogamente, si disminuimos C hasta que la correspondiente curva de nivel toque a S, cada punto de primer contacto ser´a un punto en el que f tendr´a un m´aximo absoluto condicionado. Aparecen as´ı los puntos (1, °1) y (°1, 1), cuando C = 3.
Observaci´ on Si la b´ usqueda se reduce u ´nicamente a los extremos absolutos puede evitarse el uso del teorema 6.5.2. En efecto, los valores de la funci´on en los puntos cr´ıticos de la funci´on auxiliar de Lagrange son los u ´nicos candidatos a extremos relativos, luego los u ´nicos candidatos tambi´en a extremos absolutos. Por tanto, los extremos absolutos se alcanzan en algunos de esos puntos.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.6. Integrales dobles sobre rect´angulos 6.6.
19 Integrales dobles sobre rect´ angulos Sea R Ω R2 un rect´angulo, es decir, el producto cartesiano R = [a, b] £ [c, d].
Una partici´ on regular de R de orden n, Pn , es un conjunto formado por dos colecciones ordenadas de n + 1 puntos igualmente espaciados x0 , x1 , . . . , xn e y0 , y1 , . . . , yn , es decir, puntos que satisfacen a = x0 < x 1 < · · · < x n = b , c = y0 < y 1 < · · · < yn = d y b°a d°c , yk ° yk°1 = n n para j, k = 1, 2, . . . , n. Si Rjk = [xj°1 , xj ] £ [yk°1 , yk ], con frecuencia se escribe Pn = {Rjk }nj,k=1 .
Sea tjk cualquier punto en Rjk ; los puntos tjk se llaman etiquetas de los rect´angulos Rjk . P˙ n = {(Rjk , tjk )}nj,k=1 recibe el nombre de partici´ on regular etiquetada de R de orden n.
Se define la suma de Riemann de una funci´on acotada f : R °! R correspondiente a P˙ n como xj ° xj°1 = S(f ; P˙ n ) = n X j,k=1 f (tjk ) · b°a d°c · .
n n Si f es positiva en R, entonces la suma de Riemann anterior es la suma de los vol´ umenes de n2 cajas rectangulares cuyas bases son los rect´angulos Rjk y cuyas alturas son f (tjk ).
Definici´ on 6.6.1 Si la sucesi´ on {S(f ; P˙ n )}1 ımite S, el mismo para cualquier n=1 converge a un l´ selecci´ on de etiquetas tjk en los rect´ angulos Rjk , se dice que f es integrable (Riemann) en R y se escribe ZZ f (x, y) dx dy R para el l´ımite S. As´ı pues ZZ R f (x, y) dx dy = l´ım S(f ; P˙ n ) .
n!1 Teorema 6.6.1 Si f : R °! R es continua en R, entonces f es integrable en R.
Definici´ on 6.6.2 Las expresiones Z bZ d f (x, y) dy dx , a c Z c d Z b f (x, y) dx dy a reciben el nombre de integrales iteradas. Su significado es, respectivamente, ∏ ∏ Z b ∑Z d Z d ∑Z b f (x, y) dy dx , f (x, y) dx dy .
a c c a El teorema siguiente expresa que la integral doble de una funci´on continua sobre un rect´angulo puede calcularse como una integral iterada en cualquier orden.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.7. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares 20 Teorema 6.6.2 Sea f : R °! R continua, R = [a, b] £ [c, d]. Entonces ZZ Z bZ d Z dZ b f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy .
R a c c a Ejemplo RR Calculemos R (x2 + y) dx dy siendo R = [0, 1] £ [0, 1].
Por el teorema anterior ZZ Z 1Z 1 Z 2 2 (x + y) dx dy = (x + y) dx dy = R 0 Se tiene Z 0 0 1 (x2 + y) dx = 0 luego ZZ 6.7.
(x2 + y) dx dy = R Z 0 1 µ µ x3 + yx 3 1 +y 3 ∂ 1 ∑Z ∏ 1 2 (x + y) dx dy .
0 ∂ØØx=1 1 Ø = +y, Ø Ø 3 x=0 dy = µ 1 y2 y+ 3 2 ∂ØØ1 5 Ø Ø = .
Ø 6 0 Integrales dobles sobre regiones no rectangulares Definici´ on 6.7.1 Sea D Ω R2 un conjunto acotado que no es un rect´ angulo y sea f : D °! R una funci´on acotada. Sea R un rect´ angulo de lados paralelos a los ejes que contiene a D. Sea § f : R °! R definida por ( f (x, y) si (x, y) 2 D, f § (x, y) = 0 si (x, y) 2 R \ D.
Si f § es integrable en R diremos que f es integrable en D y se define la integral (doble) de f en D por ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f § (x, y) dx dy .
D R Si f : D °! R es continua y la frontera de D est´a formada por gr´aficas de funciones continuas, entonces f § es integrable en R.
Se definen las siguientes regiones elementales de integraci´on: Regi´ on de tipo I Contiene puntos (x, y) tales que para cada x fijo, a ∑ x ∑ b, y var´ıa de '1 (x) a '2 (x), '1 (x) ∑ y ∑ '2 (x), donde '1 y '2 son funciones continuas (cf. Figura 6.6).
Regi´ on de tipo II Contiene puntos (x, y) tales que para cada y fijo, c ∑ y ∑ d, x var´ıa de √1 (y) a √2 (y), √1 (y) ∑ x ∑ √2 (y), donde √1 y √2 son funciones continuas (cf. Figura 6.7).
Todas las regiones que consideraremos ser´an de uno de esos dos tipos o podr´an descomponerse en un n´ umero finito de fragmentos, cada uno de los cuales ser´a de uno de esos dos tipos.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.7. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares 21 Y Y d y 2 x y fijo D D x Ψ1 y y 1 x x Ψ2 y c O a x fijo X b X O Figura 6.6: Regi´on D de tipo I.
Para x 2 [a, b] fijo, y var´ıa en el intervalo ['1 (x), '2 (x)].
Figura 6.7: Regi´on D de tipo II.
Para y 2 [c, d] fijo, x var´ıa en el intervalo [√1 (y), √2 (y)].
Teorema 6.7.1 Sea f : D °! R continua.
(1) Si D es una regi´ on de tipo I, entonces ZZ f (x, y) dx dy = D Z bZ a '2 (x) f (x, y) dy dx .
'1 (x) (2) Si D es una regi´ on de tipo II, entonces ZZ f (x, y) dx dy = D Z c d Z √2 (y) f (x, y) dx dy .
√1 (y) Ciertas regiones son de tipo I y de tipo II a la vez. En estos casos se puede usar indistintamente un m´etodo u otro del teorema anterior. En ocasiones uno de los procedimientos puede involucrar c´alculos m´as sencillos que el otro. Por tanto, ser´a conveniente examinar ambos m´etodos antes de iniciar el c´alculo.
Ejemplo RR Sea D la regi´on limitada por las curvas y = 2x e y = x2 . Calculemos D (x + y) dx dy.
Se tiene ∂Øy=2x ZZ Z 2 Z 2x Z 2µ y 2 ØØ (x + y) dx dy = (x + y) dy dx = xy + dx Ø 2 Ø 2 D 0 x2 0 y=x = Z 0 2 µ 4x2 ° x3 ° 4 x 2 ∂ dx = µ ∂ØØ2 4 3 1 4 1 52 Ø x ° x ° x5 Ø = , Ø 3 4 10 15 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 0 6.7. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares 22 y tambi´en ZZ (x + y) dx dy = D Z 4 0 = Z p y (x + y) dx dy = y/2 4 0 Z µ Z µ 4 0 y 5 p + y y ° y2 2 8 ∂ ∂ØØx=py x Ø + xy Ø dy Ø 2 µ dy = 2 x=y/2 1 2 2 5/2 5 y + y ° y3 4 5 24 ∂ØØ4 52 Ø .
Ø = Ø 15 0 Definici´ on 6.7.2 Sea D Ω R2 un conjunto acotado cuya frontera est´a formada por gr´aficas de funciones continuas.
(1) El ´area de la regi´ on D viene dada por ZZ dx dy .
D (2) Si f : D °! R es continua y positiva en D, el volumen del s´ olido bajo la superficie z = f (x, y) sobre la regi´ on D viene dado por ZZ f (x, y) dx dy .
D En el teorema siguiente reunimos algunas propiedades importantes de las integrales dobles.
Teorema 6.7.2 Sea D Ω R2 y sean f y g funciones integrables en D.
(a) Si k 2 R, se tiene que kf es integrable en D y ZZ ZZ kf (x, y) dx dy = k f (x, y) dx dy .
D D (b) f + g es integrable en D y ZZ ZZ ZZ (f (x, y) + g(x, y)) dx dy = f (x, y) dx dy + g(x, y) dx dy .
D D D (c) Si f (x, y) ∑ g(x, y) para todo (x, y) 2 D entonces ZZ ZZ f (x, y) dx dy ∑ g(x, y) dx dy .
D (d) |f | es integrable en D y D ØZ Z Ø ZZ Ø Ø Ø Ø∑ f (x, y) dx dy |f (x, y)| dx dy .
Ø Ø D D (e) Si D se puede dividir en dos subregiones D1 y D2 , f es integrable en D1 y en D2 y ZZ ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy + f (x, y) dx dy .
D D1 D2 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.7. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares 23 La existencia de simetr´ıa en la regi´on de integraci´on respecto de alguno de los ejes coordenados y la paridad de la funci´on a integrar, facilitan el c´alculo de una integral doble.
1. Funci´ on par en x; regi´ on D sim´etrica respecto del eje OY .
Se verifica que f (°x, y) = f (x, y), para todo (x, y) 2 D, y el valor de la integral es ZZ ZZ f =2 f, e D D e = {(x, y) 2 D : x ∏ 0}.
siendo D 2. Funci´ on par en y; regi´ on D sim´etrica respecto del eje OX.
Ahora f (x, °y) = f (x, y), para todo (x, y) 2 D, y el valor de la integral es ZZ ZZ f =2 f, e D D e = {(x, y) 2 D : y ∏ 0}.
siendo D 3. Funci´ on par en x e y; regi´ on D sim´etrica respecto del eje OX y tambi´en respecto del eje OY .
Por el apartado 1 es ZZ f =2 D ZZ e D f, e = {(x, y) 2 D : x ∏ 0}, y por el apartado 2 es siendo D ZZ ZZ f =2 f, ee D e D e e = {(x, y) 2 D : x ∏ 0, y ∏ 0}, es decir siendo D ZZ ZZ f =4 f.
ee D D 4. Funci´ on impar en x; regi´ on D sim´etrica respecto del eje OY .
En este caso f (°x, y) = °f (x, y), para todo (x, y) 2 D, y se tiene ZZ f = 0.
D 5. Funci´ on impar en y; regi´ on D sim´etrica respecto del eje OX.
Ahora se tiene f (x, °y) = °f (x, y), para todo (x, y) 2 D, y resulta ZZ f = 0.
D Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.8. Ejercicios 6.8.
24 Ejercicios 1. Encuentra el dominio y el recorrido de la funci´on, describe las curvas de nivel, determina si el dominio es un conjunto abierto, cerrado o no es ni abierto ni cerrado y decide si el dominio es acotado o no: x|x| ° y|y| , x+y (1) f (x, y) = x ° y , (5) f (x, y) = (2) f (x, y) = x ° |y| , (6) f (x, y) = xy , (3) f (x, y) = |x| ° |y| , (7) f (x, y) = p (4) f (x, y) = |x| ° y 2 , 2. Estudia la existencia de los siguientes l´ımites: p 2x ° y ° 2 (a) l´ım , (x,y)!(2,0) 2x ° y ° 4 x4 ° y 2 (b) l´ım , (x,y)!(0,0) x4 + y 2 9 ° x2 ° y 2 (8) f (x, y) = e°(x (e) (f) x4 + y 4 (c) l´ım , (x,y)!(0,0) x2 + y 2 (g) xy , (x,y)!(0,0) |xy| (h) (d) l´ım 1 2 +y 2 ) , .
xy , (x,y)!(0,0) |x| + |y| l´ım x °p , 2 (x,y)!(0,0) x + y2 l´ım l´ım (x,y)!(0,0) xy sen ≥y¥ x , xy ° y ° 2x + 2 .
(x,y)!(1,1) x°1 l´ım 3. Calcula las derivadas parciales de las funciones siguientes: (1) f (x, y) = x+y , xy ° 1 (4) f (x, y) = xy , cos x z e , sen y (2) f (x, y) = cos (x2 sen y) , (5) f (x, y, z) = (3) f (x, y) = exy ln y , (6) f (x, y, z) = xz arcsen ≥y¥ x .
4. Sea g : R °! R una funci´on continua. Calcula las derivadas parciales de las funciones f1 , f2 : R2 °! R definidas por Z y Z xy f1 (x, y) = g(t) dt, f2 (x, y) = g(t) dt.
x 2x Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.8. Ejercicios 25 5. Estudia la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en el punto (0, 0) de las funciones siguientes: (1) f (x, y) = xy 2 si (x, y) 6= (0, 0) , f (0, 0) = 0 , x2 + y 4 (2) f (x, y) = x sen 1 si (x, y) 6= (0, 0) , f (0, 0) = 0 , x2 + y 2 x|y| (3) f (x, y) = p si (x, y) 6= (0, 0) , f (0, 0) = 0 , x2 + y 2 1 (4) f (x, y) = (x2 + y 2 ) sen p x2 + y 2 si (x, y) 6= (0, 0) , f (0, 0) = 0 .
6. Sea fa : R2 °! R la funci´on definida por fa (x, y) = (xy)a si (x, y) 6= (0, 0) , fa (0, 0) = 0 .
x2 + y 2 Discute, seg´ un los valores de a > 0, la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de fa en (0, 0).
7. Se define f : R2 °! R por f (x, y) = xy x2 ° y 2 si (x, y) 6= (0, 0) , f (0, 0) = 0 .
x2 + y 2 Demuestra que fy (x, 0) = x para cada x y fx (0, y) = °y para cada y. Demuestra que fxy (0, 0) 6= fyx (0, 0). ¿Contradice esto el teorema de Schwarz? 8. Encuentra los extremos relativos y puntos de silla de las funciones siguientes: (1) f (x, y) = x4 + x2 y + y 2 , (5) f (x, y) = (x2 + y 2 ° 1)(xy + 4) , (2) f (x, y) = xy ex+2y , (6) f (x, y) = x3 + y 3 ° 3Æxy , Æ 2 R , (3) f (x, y) = 4xy ° x4 ° y 4 , (7) f (x, y) = y sen x , (4) f (x, y) = sen(xy) , (8) f (x, y) = sen x · sen y .
9. Determina los puntos de silla y los extremos relativos y absolutos de la funci´on f : R2 °! R definida por f (x, y) = 2x4 + y 4 ° 2x2 ° 2y 2 .
10. Sea D Ω R2 abierto y f : D °! R. Sea h : R °! R una funci´on creciente (o decreciente) y G = h ± f . Demuestra que los puntos de extremo relativo son los mismos para las funciones f y G.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.8. Ejercicios 26 11. Sea f : [0, 1] £ [0, 1] °! R definida por ( x(1 ° y) si x ∑ y, f (x, y) = y(x ° 1) si x > y.
(1) Estudia la continuidad de f .
(2) Demuestra que f tiene m´aximo absoluto y que ´este se alcanza en el interior del cuadrado donde est´a definida.
12. Demuestra la desigualdad x2 + xy + y 2 + p a3 a3 3 + ∏ 3 3 a2 si x > 0, y > 0, x y siendo a una constante positiva.
13. Demuestra que la funci´on f : R2 °! R definida por f (x, y) = x2 + y 2 + x + y tiene extremos absolutos en la regi´on A = {(x, y) 2 R2 : x2 + y 2 ∑ 4, y ∑ 1}. Determ´ınalos.
14. Considera la funci´on f : R2 °! R definida por f (x, y) = (x2 + y 2 ) e°x°y y el conjunto A = {(x, y) 2 R2 : x ∏ 0, y ∏ 0, x + y ∑ 3}.
(1) Demuestra que f tiene extremos absolutos en A. Determ´ınalos.
(2) Deduce que si (x, y) 2 A entonces x2 + y 2 ∑ 4ex+y°2 .
(3) En el punto (1, 1) 2 A, ¿tiene f un extremo relativo? 15. Determina los extremos relativos y absolutos de la funci´on f : R2 °! R definida por f (x, y) = x2 + y ° 1 en la circunferencia x2 + y 2 = 1.
16. Determina los extremos relativos y absolutos de la funci´on f : R2 °! R definida por f (x, y) = x2 + 4y ° 4 en la elipse x2 + 4y 2 = 4.
17. Halla las distancias m´axima y m´ınima del origen a la elipse 5x2 + 6xy + 5y 2 = 8.
18. Encuentra los puntos de la elipse x2 + 4y 2 = 4 que est´an a mayor y menor distancia de la recta x + y = 4.
19. Halla los extremos relativos de la funci´on f : R2 °! R definida por f (x, y) = x3 + xy + y 3 en el conjunto S = {(x, y) 2 R2 : xy = 2}. ¿Tiene extremos absolutos? 20. Determina los extremos, tanto relativos como absolutos, de la funci´on f : R2 °! R dada por f (x, y) = x2 + y 2 + xy + 1 en el conjunto A = {(x, y) 2 R2 : xy ∏ °1}.
21. Halla los extremos de la funci´on f : R2 °! R dada por f (x, y) = x2 + xy + y 2 , bajo la condici´on x3 y + xy 3 = 2a4 , seg´ un los valores de a > 0.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 6.8. Ejercicios 27 22. Calcula las siguientes integrales dobles: ZZ x2 (1) dx dy , D = [0, 1] £ [0, 1] , 2 D 1+y ZZ (2) x ln(xy) dx dy , D = [2, 3] £ [1, 2] , (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ D D y 2 sen (xy) dx dy , D = [0, 2º] £ [0, 1] , D |y ° sen x| dx dy , D = [0, º] £ [0, 1] , D © x2 dx dy , D = (x, y) 2 R2 : 1 ∑ x ∑ 2, 2 y 1 x ™ ∑y∑x , D y dx dy , D = {(x, y) 2 R2 : 0 ∑ x ∑ 1, 0 ∑ y ∑ 1, x2 + y 2 ∏ 1} , 1 + x3 D xy 2 dx dy , D = {(x, y) 2 R2 : |y| ∑ x ∑ 1} , D p (2 1 ° x2 + 1) dx dy , D = B((0, 0); 1) \ B((0, 1); 1) , D m´ax{x, y} dx dy , D = {(x, y) 2 R2 : 2 |y| ∑ x2 + 1 ∑ 2} .
D © ™ |x ° 1| dx dy , D = (x, y) 2 R2 : |x| ∑ y ∑ 12 x + 3 .
23. Sea f : R °! R una funci´on continua y par. Si a > 0 y D = [0, a] £ [0, a], demuestra que ZZ Z a f (x ° y) dx dy = 2 (a ° t)f (t) dt.
D 0 Deduce de la igualdad anterior el valor de la integral ZZ £ § £ § |x ° y| cos(x ° y) dx dy , D = 0, º2 £ 0, º2 .
D 24. Calcula mediante una integral doble el ´area encerrada por una elipse de semiejes a y b.
25. Calcula mediante una integral doble el ´area limitada por las curvas y = 4 x2 e y = 5 ° x2 .
26. Calcula mediante una integral doble el volumen bajo la superficie z = x2 + y 2 sobre la regi´on D = {(x, y) 2 R2 : |x| ∑ 1, |y| ∑ 1}.
27. Calcula el volumen del s´olido limitado por los cilindros x2 + y 2 = r2 y x2 + z 2 = r2 .
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