TEMA 2. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 2º curso
Asignatura Sistemes elèctrics
Año del apunte 2014
Páginas 40
Fecha de subida 26/06/2014
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Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 TEMA 2. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA 2.1 - La función sinusoidal 2.2 - El condensador y la bobina 2.3 - Fasores 2.4 - Impedancia y admitancia 2.5 - Inductancia mutua 2.6 - Potencia instantánea en corriente alterna.
2.7 - Potencias características P, Q y S.
2.8 - Corrección del factor de potencia.
1 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Lectura 3 2 1 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 2.1. La función sinusoidal 3 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 La función sinusoidal Onda seno: x(t )  X M  sen(t   ) Función periódica: x (t  T )  x(t ) Parámetros: - XM = amplitud o valor máximo (valor de pico) - T = periodo [s] - ω = frecuencia angular [rad/s]:   - f = frecuencia [Hz]: f  - ωt = ángulo de fase [rad] 1 T 2  2f T -  = desfase inicial [rad] (suele expresarse en º) 4 2 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Adelanto/retraso de fase Para comparar p una función senoidal con otra de la misma frecuencia para determinar la diferencia de fase, se deben expresar: - Con amplitudes positivas.
 - En funciones seno o coseno.
Sean 2 funciones sinusoidales: x1 (t )  X M 1  sen(t   ) x2 (t )  X M 2  sen(t   ) Se dice que x1(t) adelanta a x2(t)    radianes, o bien que x2(t) se retrase de x1(t)    radianes. Si     funciones en fase 5 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 2.2. El Condensador y la Bobina 6 3 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Condensador Un condensador consta de dos superficies conductoras separadas por un material dieléctrico y tiene la virtud de almacenar energía en forma de carga eléctrica.
La unidad de la capacidad p C del condensador es el Farad [F] C q V 7 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Ecuaciones del condensador 1 t i ( x)dx d C  dv • Corriente [A]: i (t )  C dt dv(t ) p ( t )  v ( t )  i ( t )  Cv ( t ) •Potencia [W]: dt t 1 • Energía [J]: wC (t )   p (t )  C  v(t ) 2  2 • Tensión T ió [V]: [V] v(t )  El condensador almacena energía en forma de carga eléctrica 8 4 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Corriente en un Condensador v(t )  V sin i t    ; i (t )  C dv dt   i (t )  V ·C cos t     V ·C sin  t     2  El condensador d d adelanta d l t 90º la l sinusiode i i d de d corriente i t respecto a la de tensión.
En corriente continua el condensador se comporta como un circuito abierto.
9 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Combinación de condensadores C1 C2 + v1 - + v2 - + i(t) v(t) Cn + vn - Resto del circuito 1  n 1 1 1 1        CS  i 1 Ci  C1 C2 Cn n C P   Ci  C1  C2    Cn i 1 10 5 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Bobina Una bobina consiste en un conductor enrollado ( (normalmente l en torno a un núcleo ú l ferromagnético) y tiene la virtud de almacenar energía en forma de flujo magnético.
La unidad de medida de la inductancia L de la bonina es el Henry [H] L  I 11 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Ecuaciones de la bobina • Tensión T ió [V]: [V] v(t )  L di (t ) dt 1 t i (t )   v( x) dx L  • Potencia [W]: p(t )  v(t )  i (t )   L di (t ) i (t ) d   dt t 1 • Energía [J]: wL (t )   p (t )  L  i (t ) 2  2 • Corriente [A]: La bobina almacena energía en forma de flujo magnético 12 6 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Corriente en una Bobina i t    ; i (t )  v(t )  V sin i (t )  1 v dt L  V V  cos t     sin  t     L L 2  La bobina L b bi retrasa t 90º la l sinusiode i i d de d corriente i t respecto a la de tensión.
En corriente continua la bobina se comporta como un corto circuito.
13 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Combinación de bobinas L1 L2 + v1 - + v2 - i(t) v(t) + Ln + vn - Resto del circuito n LS   Li  L1  L2    Ln i 1 1  n 1 1 1 1          LP  i 1 Li  L1 L2 Ln 14 7 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Dualidad condensador-bobina Condensador Bobina q  Cv i (t )  C dv(t ) dt 1 t i ( x)dx C  dv(t ) p (t )  Cv (t ) dt 1 wC (t )  C  v(t ) 2 2 v(t )  v(t )  L di (t ) dt 1 t v( x)dx L  di (t ) p (t )  Li (t ) dt 1 wL (t )  L  i (t ) 2 2 i (t )  15 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 2.3. Fasores 16 8 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Fasores Dominio temporal (funciones sinusoidales) Acost    Asen t    Dominio frecuencial (fasores) A  A   A  A    90º 17 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Fasores para una resistencia Tensión e intensidad en fase 18 9 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Fasores para una bobina Tensión adelanta 90º a la intensidad 19 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Fasores para un condensador Intensidad adelanta 90º a la tensión 20 10 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Resumen de fasores de R, L y C Elemento Relación V/I Condensador i(t )  C Bobina Resistencia dv(t ) dt v(t )  L di(t ) dt v(t )  Ri(t ) Relación Fasor I  jCV Fase  CV v  90º I adelanta a V en 90º V  jLI  LIi  90º V adelanta a I en 90º V  RI  RI0º VeI en fase 21 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Ejemplo E7.6 E7 6 La intensidad en una bobina de 0.05 0 05 H es I = 4 <-30º. Expresar la tensión en sus terminales como una función del tiempo, si la corriente tiene una frecuencia de 60 Hz.
Solución: v(t )  75.4 cos(377t  60º ) V 22 11 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Ejemplo E7.7 E7 7 La intensidad en un condensador de 150 μF es I = 3.6 <-145º. Expresar la tensión en sus terminales como una función del tiempo, si la corriente tiene una frecuencia de 60 Hz.
Solución: v(t )  63.66 cos(377t  235º ) V 23 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 2.4. Impedancia y admitancia 24 12 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Impedancia • Se ppuede entender como la relación ((módulo y fase) entre el fasor tensión y el fasor corriente de un circuito eléctrico.
Z V VM  v VM    v   i  Z Z I I M  i I M • La unidad de la impedancia es el Ohm, [ • La impedancia es (normalmente) un número complejo, pero no es un fasor.
25 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Impedancia • En forma rectangular: g Z  R  jX Módulo : Z  R 2  X 2 X  Z  tan 1 Fase : R • R= Parte real (resistencia): R  Z cos  Z • X = Parte imaginaria (reactancia): X  Z sen Z • X > 0: Reactancia inductiva • X < 0: Reactancia capacitiva 26 13 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Impedancia de los elementos del circuito Elemento Condensador Impedancia Zc  1 1 j  jX C   90º  j C C C Bobina ob a Z L  jL  jjX L  L90º  jL Resistencia Z R  R  R0º 27 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Impedancia serie Z1 Z2 ZS Zn n Z S   Z i  Z1  Z 2    Z n i 1 28 14 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Impedancia paralelo Z1 Z2 Zn ZP n 1 1 1 1 1     Z P i 1 Z i Z1 Z 2 Zn 29 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Admitancia • Es el inverso de la impedancia, p , es decir: Y 1 I I M  i I M     i   v  YY Z V VM  v VM • La unidad de la admitancia es el Siemens, [S].
• Dado que la impedancia es un número complejo (no un fasor), la admitancia también lo es.
30 15 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Admitancia • En forma rectangular: g Y  G  jB Módulo : Y  G 2  B 2 Y  tan 1 Fase : B G • G = Parte real (conductancia): G  Y  cos Y • B = Parte imaginaria (susceptancia): B  Y  senY 31 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Admitancia • Importante: – L La conductancia d t i NO es la l inversa i de d la l resistencia: i t i G ≠ 1/R – La susceptancia NO es la inversa de la reactancia: B ≠ 1/X – Relaciones: R 1 G  jB  R  jX G R2  X 2 X B 2 R X2 – Para buscar el inverso  multiplicar y dividir por el conjugado: Y  R  jX 1 1 1 R  jX     2 R X2 Z R  jX R  jX R  jX 32 16 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Admitancia de los elementos del circuito Elemento Admitancia Condensador Bobina Resistencia Yc  1 1  jC  C90º jC 1 1 j YL   90º  jL L L YR  1  G (sólo en el caso resistivo) R 33 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Admitancia serie Y1 Y2 YS Yn n 1 1 1 1 1     YS i 1 Yi Y1 Y2 Yn 34 17 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Admitancia paralelo Y1 Y2 YP Yn n YP   Yi  Y1  Y2    Yn i 1 35 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Ejemplo Ejercicio resuelto 7.11 Calcular la impedancia equivalente de la red Zeq en las terminales A-B.
Solución: Zeq = 3.8+0.6j Ω 36 18 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Ejemplo E7.11 Dibujar un diagrama de fasores que ilustre todas las corrientes y tensiones en el siguiente circuito: Solución: 37 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Ejemplo Ejercicio resuelto 7.16 Calcular la tensión Vo del siguiente circuito, aplicando: superposición, análisis de nodos, análisis de mallas, teorema de Thévenin y teorema de Norton.
Solución: Vo = 4 <143.13º 143.13 V (por cualquiera de los métodos, excepto superposición, pues el circuito presenta una fuente dependiente) 38 19 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 2.5. Inductancia mutua 39 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Inductancia mutua • La inductancia mutua aparece cuando 2 o más bobinas se colocan muy próximas entre sí, de modo que comparten un flujo en común.
• Considerando 2 bobinas: d i1 di M 2 dt dt di di v 2 (t )  M 1  L2 2 dt dt v1 (t )  L1 Inductancia mutua 20 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Inductancia mutua M i1(t) + v1(t) – L1 Dominio temporal d i1 di M 2 dt dt d i1 d i2 v 2 (t )  M  L2 dt dt v1 (t )  L1 i2(t) L2 + v2(t) – Dominio frecuencial V1  j L1 I1  j M I 2 V 2  j M I 1  j L 2 I 2 41 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Método de cálculo Paso 1. Se coloca una fuente de tensión dependiente en serie con la bobina i, de valor: j·ω·M·Ij Paso 2. Se introducen los signos + y – en la fuente dependiente en función del sentido de la intensidad respecto del d l punto que indica i di ell acoplamiento l i inductivo en la bobina j Paso 3. Realizar los cálculos con el circuito del paso 2 42 21 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Paso 2. Fuente de tensión dependiente i1(t) i2(t) + L1 L2 v1(t) jjωMI2 ? – v2(t) ? jωMI1 – 43 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Método de cálculo Paso 1. Se coloca una fuente de tensión dependiente en serie con la bobina i, de valor: j·ω·M·Ij Paso 2. Se introducen los signos + y – en la fuente dependiente en función del sentido de la intensidad respecto del d l punto que indica i di ell acoplamiento l i inductivo en la bobina j Paso 3. Realizar los cálculos con el circuito del paso 2 44 22 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Paso 2. Sentido de la fuente de tensión dependiente Convenio: • Se considera una intensidad positiva aquella que entra al punto.
• Así pues, se analiza si la intensidad ij entra o sale por el punto de la bobina Lj: - Si ij entra p por el p punto, le corresponderá p un signo g + en la posición de la fuente dependiente (en serie con la bobina i) correspondiente con el punto de la bobina i.
- Si ij sale por el punto, le corresponderá un signo - en la posición de la fuente dependiente (en serie con la bobina i) correspondiente con el punto de la bobina i.
45 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Paso 2. Sentido de la fuente de tensión dependiente i1(t) i2(t) + L1 L2 v1(t) v2(t) jωMI2 + – - + - jωMI1 – 46 23 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Paso 2. Ejemplos 47 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Paso 2. Ejemplos 48 24 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Método de cálculo Paso 1. Se coloca una fuente de tensión dependiente en serie con la bobina i, de valor: j·ω·M·Ij Paso 2. Se introducen los signos + y – en la fuente dependiente en función del sentido de la intensidad respecto del d l punto que indica i di ell acoplamiento l i inductivo en la bobina j Paso 3. Realizar los cálculos con el circuito del paso 2 49 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Paso 3. Resolver el circuito Se resuelve el circuito del paso 2 (con las fuentes de tensión dependientes) por cualquiera de los métodos vistos a lo largo del curso.
50 25 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Ejemplo E8.2 Calcular las intensidades I1 e I2 y la tensión de salida Vo del siguiente circuito: Solución: I1 = 4.29 <137.2º A I2 = 0.96 <-16.26º A Vo = 3.84 <-106.26º V 51 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Lectura 4 52 26 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 2.6. Potencia instantánea en CA 53 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Potencia instantánea Formas de onda de tensión y corriente en red AC: v(t) = VM cos(t+v) i(t) = IM cos(t+i) Definimos potencia instantánea como el producto d t de d estas t magnitudes: it d p(t) = v(t) i(t) = VM IM cos(t+v) cos(t+i) p(t) = ½VM IM [cos(v- i) + cos(2t+v +i)] Constante Onda con el doble de frecuencia 54 27 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Circuito puramente resistivo 55 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Circuito puramente inductivo VI=LI 2 56 28 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Circuito inductivo (45º) 57 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Potencia promedio Potencia promedio es la integral de la potencia instantánea en un ciclo dividido por su período: P= 1 T t 0 T  t0 p(t) dt = 1 T = t 0 T  V M cost   v  I M cost + i  dt t0 1 VM I M cos v -  i  2 58 29 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Valores eficaces El valor eficaz de una tensión o corriente alterna (AC), es un valor constante (DC) que desarrolla la misma potencia promedio sobre una resistencia R en un tiempo T.
RI to  T 2 rms ( DC ) 1  T I rms 1  T  R  i (t )(2AC ) dt to to  T  i (t ) 2 dt to RMS viene del inglés “root-mean-square” 59 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Valores eficaces Valores rms de una onda sinusoidal: i (t )  I M cos( t   i ) I rms  1 T to  T   i (t )  to 2 dt  ...  IM 2 Estas relaciones permiten reescribir las equaciones de potencia promedio: 1 P  VM I M cos( v  i )  ...  Vrms I rms cos( v  i ) 2 60 30 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 2.7. Potencias características P, Q y S 61 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Potencia Activa P La potencia activa, P, es el valor medio de la potencia instantanea y su unidad es [W] Circuito puramente resistivo: P = Vrms I rms cos  v - i   Vrms I rms  RI rms 2 Vrms  ;  v - i  0º R Circuito puramente reactivo: P = Vrms I rms cos  v - i   0 ;  v - i  90º 62 31 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Potencia Reactiva Q La potencia reactiva, Q, representa la máxima velocidad de almacenamiento de energía por parte de un elemento reactivo y su unidad es [var] Circuito puramente resistivo: Q = Vrms I rms sin  v - i   0 ;  v - i  0º Circuito puramente reactivo: Q = Vrms I rms sin  v - i   Vrms I rms  XI rms  2 Vrms ;  v - i  90º X 63 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Potencia Aparente S La potencia aparente, S, representa la máxima potencia activa que podría ser consumida por una impedancia Z=R±jX o desarrollada por una fuente AC y su unidad es [VA] Circuito genérico: S = Vrms I rms 64 32 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Potencia compleja La potencia compleja es una herramienta matemática que se define como el producto del fasor de tensión por el conjugado del fasor de corriente: S  Vrms I*rms S  Vrms I*rms  Vrms  v I rms   i  Vrms I rms  v  i   Vrms I rms cos  v  i   j Vrms I rms sin  v  i   P  jQ 65 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Potencia compleja (S) S  S  Vrms I rms [VA] P  Re(S)  Vrms I rms cos  v  i  [W] S    v  i    Z L  Ángulo entre V e I Q  Im(S)  Vrms I rms sin  v  i  [var] S  S  Vrms I rms Q  Vrms I rms sin  v  i   v  i S  P2  Q2 tan  v  i   Q P P  Vrms I rms cos  v  i  66 33 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 2.8. Corrección del factor de potencia 67 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Factor de potencia Definimos: fi i Potencia activa: P  Vrms I rms cos( v  i ) Potencia aparente: S  Vrms I rms [W] [VA] Llamamos factor de potencia a la relación entre P y S: fdp  P  ...  cos( v  i ) S El ángulo de la expresión anterior se corresponde con el ángulo de fase de la impedancia de carga 68 34 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Corrección del fdp • De la ppotencia total entregada g ppor las compañías p eléctricas tan sólo se consume potencia activa, de modo que es “interesante” que el factor de potencia de la carga sea la unidad: fdp = P/S = P/P = 1 • P Pero la l naturaleza l d las de l cargas generalmente l es inductiva y por lo tanto se requiere compensar la potencia reactiva colocando en paralelo un banco de condensadores para obtener un fdp cercano a la unidad.
69 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Corrección del fdp C Qc V 2 70 35 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Ejemplo E9.13 E9 13 Calcular el valor e la batería de condensadores necesaria para cambiar a 0,95 inductivo el factor de potencia de la siguiente carga: 71 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Pasos para la corrección del fdp Paso 1. Calcular Qorig a partir de PL y θorig o el fdporig Paso 2. Calcular Qnue a partir del fdpnue deseado (dato) P Paso 33. Calcular C l l la l potencia t i reactiva ti de d la l batería b t í de d condensadores d d Paso 4. Determinar el valor de la capacidad de la batería de condensadores 72 36 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Paso 1. Calcular Qorig Desfase tensión-intensidad original:  orig  arccos(fdporig )  arccos(0, 7)  45º Potencia reactiva original: Qorig  Porig  tan(45º )  102.020, 4 var 73 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Pasos para la corrección del fdp Paso 1. Calcular Qorig a partir de PL y θorig o el fdporig Paso 2. Calcular Qnue a partir del fdpnue deseado (dato) P Paso 33. Calcular C l l la l potencia t i reactiva ti de d la l batería b t í de d condensadores d d Paso 4. Determinar el valor de la capacidad de la batería de condensadores 74 37 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Paso 2. Calcular Qnue La potencia activa se mantiene inalterada: Pnue  Porig Desfase tensión-intensidad nuevo:  nue  arccos(fdp nue )  arccos(0,95)  18,19º Potencia reactiva nueva: Qnue  Pnue  tan(18,19º )  32.865, 4 var 75 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Pasos para la corrección del fdp Paso 1. Calcular Qorig a partir de PL y θorig o el fdporig Paso 2. Calcular Qnue a partir del fdpnue deseado (dato) P Paso 33. Calcular C l l la l potencia t i reactiva ti de d la l batería b t í de d condensadores d d Paso 4. Determinar el valor de la capacidad de la batería de condensadores 76 38 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Paso 3. Calcular Qcap Potencia de la batería de condensadores: Qcap  Qnue  Qorig  62.152 var 77 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Pasos para la corrección del fdp Paso 1. Calcular Qorig a partir de PL y θorig o el fdporig Paso 2. Calcular Qnue a partir del fdpnue deseado (dato) P Paso 33. Calcular C l l la l potencia t i reactiva ti de d la l batería b t í de d condensadores d d Paso 4. Determinar el valor de la capacidad de la batería de condensadores 78 39 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Paso 4. Calcular C Capacidad de la batería de condensadores a colocar en paralelo con la carga: Qcap  V 2 Zc  V 1 2 j C 2  C V  C  Qc V 2   2   f V = Tensión en bornes de la batería de condensadores d d Por lo tanto: Qcap  6.215  7,96 104 F  796  F 2· ·60·4802 79 Circuitos de Corriente Alterna Tema 2 Ejemplo E9.10 (modificado) Una carga industrial consume 100 kW con un fdp de 0,707 inductivo (en retraso). La tensión de línea en la carga es 480 <0º Vrms a 60 Hz. La resistencia de la línea de transmisión entre el transformador de la compañía eléctrica y la carga es de 0.1 Ω. Determinar la bateria de condensadores necesaria para cambiar el fdp a 0.94 inductivo (en retraso) y los ahorros de potencia que podrían obtenerse.
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