Problemes funcions en diverses variables (2009)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Mates
Año del apunte 2009
Páginas 1
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 1

Vista previa del texto

Matem` atiques 23816 Ci` encies Ambientals Problemes Curs 2008-2009 FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES 66. Calculeu el gradient ∇f per a cadascuna de les funcions seg¨ uents: 1 ; (b) f (x, y) = exy ; (a) f (x, y) = 2 x + y2 1 (c) f (x, y) = 2 ; (d) f (x, y) = (x2 + y 2 ) ln x2 + y 2 .
x + y2 67. Calculeu les derivades direccionals de les funcions seg¨ uents en els punts indicats i en les direccions donades: (a) f (x, y) = x + 2xy − 3y 2 , (b) f (x, y) = ex cos (πy), (x0 , y0 ) = (1, 2), v = 35 i + 45 j; (x0 , y0 ) = (0, −1), v = −1 √ i 5 + √2 j; 5 68. En quina direcci´o, des de (0, 1), creix m´es r`apid f (x, y) = x2 − y 2 ? 69. Trobeu els extrems i els punts de sella de les funcions seg¨ uents: (a) f (x, y) = x2 − 4xy + y 3 + 4y; (c) f (x, y) = 5 + 4x − 2x2 + 3y − y 2 ; (e) f (x, y) = yx2 + y 3 − 4x2 ; (b) f (x, y) = x2 + 2xy + 3y 2 ; (d) f (x, y) = ex sin y; (f) f (x, y) = x3 + y 3 + 2x2 y + 2xy 2 − 9x − 9y.
70. Volem construir una caixa rectangular que contingui un volum de 12 litres. El preu per dec´ımetre quadrat del material que s’utilitzar`a ´es de 40 euros per al fons, 30 euros per als costats oposats i 20 euros per als altres costats. Trobeu les dimensions de la caixa per a les quals el cost ´es m´ınim.
71. Trobeu tres nombres reals positius la suma dels quals sigui 1000 i el producte dels quals sigui el m`axim possible.
72. Suposem que una muntanya t´e forma d’un paraboloide el.l´ıptic z = c − ax2 − by 2 , on a, b i c s´ on constants positives, x i y s´on les coordenades est-oest i nord-sud, i z ´es l’altitud sobre el nivell del mar (x , y i z estan mesurades en metres). En el punt (1, 1), en quina direcci´o est`a augmentant m´es r`apid l’altitud? Si es deixa anar una bola en (1, 1), en quina direcci´o comen¸car`a a rodar? 73. (a) Trobeu els extrems relatius i punts de sella de la funci´o: f (x, y) = x3 + y 3 − 3x2 + 3y 2 − 4.
(b) Considereu la superf´ıcie z = f (x, y). Si us trobeu en el punt (−1, 1, −4), en quina direcci´ o heu d’anar per descendre pel m`axim pendent? Si en comptes de descendre volgu´essiu mantenir la mateixa al¸cada, en quina direcci´o podr´ıeu anar? 1 ...