Trabajo 3 (2014)

Trabajo Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería en Tecnologías Industriales - 3º curso
Asignatura Mecánica de Fluidos
Año del apunte 2014
Páginas 34
Fecha de subida 30/06/2014
Descargas 3

Descripción

Tercer trabajo de la asignatura de Mecánica de Fluidos correspondiente al temario de Ecuaciones Fundamentales (capítulo 6). nota = 8,25

Vista previa del texto

1.- Determinar la variación de la altura del nivel del líquido en el depósito troncocónico de la figura en función del tiempo. Se conocen las dimensiones del depósito y las secciones de los dos conductos de salida de fluido. Como primera aproximación, considerar los coeficientes de descarga como la unidad. Fluido incomprensible.
El primer pas que fem es assignar un volum de control tal com mostra la figura, un cop aquesta assignació tenim que tindre en compte un parell de coses, com el valor del increment de volum (perquè podem veure que amb el temps el volum de fluid anirà buidant-se): I un altre factor que tenim que tindre en compte es el radi, veiem que segons a quina altura tindrem més o menys radi a causa del angle que formen les parets, per això amb trigonometria hem trobat un valor de r que varia amb l'angle tal que Un cop fet aquests supòsits, utilitzem l'equació de continuïtat.
Veiem que el primer terme es diferent de 0 ja que el volum varia amb el temps, mentre que el segon terme de l'equació estarà repetit, un per cada sortida.
Veiem que la densitat no varia amb el temps per això es 0.
Eliminem les densitats, que posat que tenim un fluid incompressible son totes igual, i veiem com la part de velocitats tenen signe positiu ja que la superfície de control i la velocitat formen un angle de 0º (cos0 = 1).
Ara per saber la velocitat de sortida respecte l'alçada utilitzem l'equació de l'energia.
De la part esquerre no tenim cap terme, mentre que de la part dreta el volum el considerem constant i no depenen del tems, i queda només l'equació de dalt, que només considerem el de sortida ja que no tenim cap entrada.
Ara apliquem Bernoulli: A més podem eliminar el terme de pressions a la sortida, ja que considerem pressions relatives (agafem la pressió relativa al 0 per simplificar).
Així operant trobem la velocitat de sortida, però tenim que considerar dos casos, posat que tenim dues sortides.
Sortida 1: Sortida 2: Ara que ja hem trobat el valor de les velocitats en funció de l'alçada tornem a l'equació de continuïtat resultant i substituïm.
Hem aconseguit una equació diferencial: Per resoldre aquesta equació tindrem que dividir la integral en dos trams.
Tram 1 (Ho → H1) Tram 2 (H1 → 0) → Per trobar el resultat de la primera integral cal utilitzar un programa de càlcul avançat com el Maple, així trobem el valor de t1.
Mentre que amb la segona integral, trobem t1 i t2.
Un cop trobada la integral resolta per Maple (terme molt llarg i complex), el temps de buidat es la suma de t1 y t2.
2.- La tubería de la figura consta de tres zonas [1], [2], [3]. El conducto se mueve únicamente en dirección x y se puede considerar que existe rozamiento. Calcular: a) Velocidad U3 considerando que la distribución de velocidad en cada sección es uniforme. Realizar este apartado para el caso de que el fluido sea compresible e incompresible.
b) El desplazamiento X con respecto a la posición de reposo del conducto, conociendo que el tramo de conducto en estudio, es soportado por unos muelles de constante Km conocida.
c) El desplazamiento en dirección vertical Y, que sufre el conducto, considerando que la constante de los muelles en dirección vertical vale KV, considerar asimismo que el conducto tiene un peso W.
Datos: P1, P2, P3,u1 ,u2 ,A1 ,A2 ,ρ ,Kv , Km ,W a) Pels dos casos (compressible i incompressible) apliquem la equació de la continuïtat.
El terme integral que depèn del temps es 0, ja que ni la densitat depèn del temps, ni el volum depèn del temps ni la densitat depèn del volum.
A més, apliquem un sistema de control tal que: Veiem com el sistema de control respecte les velocitats de entrada i sortida talla de manera perpendicular formant un angle de 180º a l'entrada (cos180 = -1) i de 0º a les sortides (cos0 = 1).
-INCOMPRESIBLE Si es incompresible, en tot moment la densitat es la mateixa, i podem eliminar (ja que multiplica a tot arreu).
I podem simplificar una mica més, considerant que S1 = S3 -COMPRESIBLE Per contra si es compressible, la densitat de les dues sortides i l'entrada son diferents i en queda: De nou considerem que S1 = S3 b) Per trobar el desplaçament utilitzarem la equació de quantitat de moviment, i per simplificar suposarem un fluid incompressible i règim permanent, continuem utilitzant el sistema de control abans definit.
El terme de la gravetat l'hem depreciat, ja que estem parlant de la component X.
Mentre que la component tallant, només considerem la de la superfície lateral, ja que no tenim una variació de la velocitat de entrada i sortida.
Recordem que la integral de pressió, i de tallant de la superfície lateral forma la component de la força (en aquest cas X).
De nou per simplificar considerem S1 = S3.
Per trobar el desplaçament sabem que Fx = Fxm (força horitzontal delmotlle), on aquesta Fxm = -Km·X, el resultant és: c) Aquest cop fem el mateix que abans però en comptes de depreciar l'efecte de la gravetat ara el tenim en compte, considerant per W.
Però la part de la dreta de l'equació es 0, posat que no tenim cap velocitat (ni d'entrada ni de sortida) en direcció Y.
Llavors queda: -W + P1·S1 + P2·S2 – P3·S3 + Fy = 0 I fem el mateix que abans, Fy = Fmy on Fmy = -Kv·Y 3.- Determinar la fuerza en dirección X e Y que ejerce el fluido sobre el alabe de la figura, considerando este estático. Considerar despreciables las fuerzas másicas. Realizar el mismo problema cuando el alabe se desplaza a una velocidad “U” en el sentido indicado.
Se conoce la sección de la tobera y el caudal másico saliente por la misma, se sabe que el caudal másico en la sección superior del alabe es el 70% del caudal saliente por la tobera, asimismo, se entenderá que la sección de salida del fluido por la parte superior del alabe es también el 70% de la sección de salida de la tobera, la sección de salida del fluido por la parte inferior del alabe es el 30% de la sección de la tobera. Realizar el problema de las cuatro maneras posibles.
a) Trobem les forces X i Y quan el àlep està aturat.
Assignem el sistema de control de la següent forma: Veiem com el contorn del nostre sistema de control talla de manera perpendiculars amb els fluxos d'entrada i sortida.
Per trobar les forces corresponents apliquem la equació de quantitat de moviment.
En l'entrada el signe es negatiu donat que el diferencial de superfície i la velocitat de entrada formen un angle de 180º, mentre que a la sortida formen un angle de 0º (cos180 = -1, cos0 = 1).
A més hem depreciat la part de l'equació que derivava respecte el temps perquè no hi ha cap variació de volum respecte el temps ni de densitat, ni variació de densitat respecte el volum, i de la part de la graveta veurem que només afecta en la component Y (que de totes formes depreciarem posat que l'enunciat no ens parla del pes, ni del sòlid ni del fluid), mentre que la part de tallant i pressions només tenim en la part lateral (no afecta a l'entrada i sortida), i aquestes dos integrals en la part lateral son les forces.
Integrant l’equació anterior i igualant entrada amb sortida (per la diferencia de signe) queda: Considerem que el volum de entrada i de sortida es el mateix, així com que la densitat es la mateixa.
Ara bé tenim que veure el sentit de les velocitats, la entrada veiem que nomes afecta a la component horitzontal (Vxe = V; Vye = 0), pero les de sortida tenim que vigilar amb l'angle que formen.
I a més, podem simplificar una mica més tenint en compte que Se = Ss, i que S2 = 0,3Ss Si ara substituïm aquest a l’equació pertinent queda.
S1 = 0,7Ss i que b) Trobem aquestes mateix forces però considerant ara que el àlep es mou amb velocitat u, i ho farem per 4 casos diferents.
1. Sistema de referencia fix i volum de control invariable 2. Sistema de referencia fix i volum de control variable 3. Sistema de referencia mòbil i volum de control invariable 4. Sistema de referencia mòbil i volum de control variable cas 1. Sistema de referencia fix i volum de control invariable Agafem com sistema de referencia el punt de sortida del fluid (fix), i com volum de control el àlep (es mou amb aquest, llavors el volum de control no varia amb el temps). Llavors establim que Ve =Vs = (V – U) Utilitzem l'equació de la continuïtat de la massa Tornem a suposar que el caudal d'entrada es igual al de sortida, tenint en compte que tenim 2 sortides.
La part esquerra de l'equació succeeix com abans, quedant només la superfície lateral, que ens permetrà les forces.
També com abans, la entrada te signe negatiu, posat que amb el volum de control la velocitat de entrada forma una angle de 180º mentre que la sortida forma un de 0º.
Però aquest cop a diferencia de l'anterior tenim que veure quines velocitats tenim en cada cas.
Ara ja podem substituir a l'equació de continuïtat i integrar, donant com a resultat De la mateixa forma procedim per les forces horitzontals, tal que: Depreciem el pes, posat que l'enunciat no diu res, però si tinguéssim només afectaria a les forces verticals.
cas 2. Sistema de referencia fix i volum de control variable Agafem el mateix sistema de referencia que abans (fix en la boca de sortida de fluid), però aquest cop el volum de control agafem tot el sistema (llavors es veu clar com anirà variant amb el temps).
Per això passarem a resoldre l'exercici dividint el sistema de control en dos, la part de la tovera (amb el temps es va fent gran, V1), i l’altre es la part només del àlep (veiem com abans que no varia amb el temps, ja que el volum de control es mou solidari aquest, V2).
Procedim a resoldre com abans: Sabem que la variació temporal només depèn del allargament, es a dir, de la velocitat, concloem amb: I ara procedim a efectuar el sumatori de X.
I ara vigilem amb les velocitats, on: Ja definides les velocitats, les afegim al sumatori.
Amb el mateix procediment, efectuem el sumatori a Y (depreciem pes).
No tenim velocitat de entrada, ja que només te component X, mentre que velocitats de sortides queden de la següent forma: Ja tenim les velocitats, substituïm e integrem al sumatori de Y.
cas 3. Sistema de referencia mòbil i volum de control invariable Al igual que hem fet en el primer apartat el volum de control l'agafem amb l’àlep (movent-se amb aquest, per tant no varia amb el temps). Però a diferencia del primer cas el sistema de referencia es mòbil.
Definit això, ens queden unes velocitats: Ara tornem a utilitzar el sumatori de forces en direcció X.
Sustituïm el valor de les velocitats, i després integrant queda: I mateix procediment en la direcció Y, amb sumatori tal que: Le velocitats de nou són: Substituïm de nou, i integrem resultant: cas 4. Sistema de referencia mòbil i volum de control variable Ara agafem el mateix sistema de referencia del cas 3 (mòbil), mentre que el volum de control es idèntic al del cas 2 (mateix procediment de resolució de dividir en dos parts).
Al igual que en el cas 2, sabem que la variació temporal del volum de control depèn exclusivament del allargament, allargament que ve produït directament per la velocitat.
De nou tenim cura de les velocitats, i substituïm al sumatori de forces horitzontals.
I tenim com a resultat: En la part vertical, més de lo mateix.
Substituint en el sumatori les velocitats pertinents i integrant, ens dóna: Com a conclusió podem veure, que sigui quin sigui el mètode de resolució, la resposta es la mateixa tant en les forces verticals com les de direcció X.
4.- Sea el dispositivo que se esquematiza en la figura, el cual está formado por tres conductos aspersores idénticos. En el extremo de cada uno de los conductos aspersores el fluido sale a una velocidad que sigue una distribución lineal, (tal y como se especifica en el gráfico adjunto), (obsérvese que los vectores velocidad tienen únicamente componente en dirección “Z”). Suponiendo conocido el caudal másico entrante al sistema, ṁ, y las dimensiones de todos los tramos, hallar: a.- El valor de la velocidad Vmax.
b.- Los diversos pares y sus direcciones, pares provocados por el flujo saliente.
c.- La velocidad angular a la que girará el aspersor, conociendo que el par antagonista al giro se puede dar como: M= K ω ; siendo K una constante conocida, y ω la velocidad angular de giro.
a) Primer definim unes condicions de contorn: Per tant, la distribució de velocitats queda com: Per l’equació de continuïtat igual el cabal a la entrada amb el de la sortida: 𝑚̇ 3 𝑐 ∫𝜌 ( 0 ) 𝐿𝑑 𝑚̇ 3 𝜌 𝑽𝒎 𝒙 𝜌𝐿 𝜌 𝐿 2 𝐿 2 𝒎̇ 𝟐 𝟑𝝆𝑳𝒄 b) Tornem a definir alguns paràmetres: 𝑑⃗ 𝐿𝑑 ⃗ Fem servir l’equació del moment cinètic: ∫ 𝜌 ⃗ ⃗ ⃗𝑑 ⃗ ∫𝜌 ∫𝜌 ⃗ ⃗ ⃗𝑑 ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗𝑑 ⃗ Substituïm les expressions inicials de l’equació i integrem en direcció ‘i’ i ‘j’, obtenim: Finalment, 𝒙 {𝝆 𝑳𝑽𝟐𝒎 𝒙 𝒄 𝟑 𝝆 𝑳𝑽𝒎 𝒙 [ 𝒄 𝟐 𝒄𝟐 ]} Finalment, 𝒚 𝒄 𝟑 𝝆𝑳𝑽𝟐 𝒎 𝒙 [ 𝒄𝟐 ] 𝟏𝟐 𝝆𝑳𝑽𝒎 𝒙 𝟐 [ 𝒄 𝟐 𝒄𝟐 𝟑 𝒄𝟑 ] 𝟏𝟐 c) Igualem les tres sortides en direcció ‘j’ amb el parell oposat: 𝑘 3 𝜌𝐿 2 2 [ ] 𝜌𝐿 2 [ 3 2 Aïllant obtenim la velocitat angular que buscàvem: 𝒄 𝟑 𝝆𝑳𝑽𝟐 𝒎 𝒙 [ 𝝆𝑳𝑽𝒎 𝒙 [ 𝟐 𝒄 𝟐 𝟑 2 2 3 𝒄𝟐 𝟏𝟐] 𝒄𝟐 𝒄𝟑 𝟏𝟐] 𝟑 3 2 ] 5- Sea un avión en vuelo ascendente con una inclinación respecto a la horizontal, α= 22º.
Sea V la velocidad de escape de los gases de combustión, velocidad relativa a la velocidad del avión, considérese V = constante.
Sea D la fuerza de arrastre debida a las fuerzas superficiales, que se opone al movimiento del avión, 𝑽 𝒗𝒊ó𝒏 𝟐 𝑫 𝑪𝑫 · 𝝆 · 𝑺 · 𝟐 ρ = densidad del aire. Considere como primera aproximación la densidad media entre las alturas de vuelo.
S = superficie del avión proyectada en un plano perpendicular a la dirección del movimiento. (Es un dato del problema.) CD = coeficiente de arrastre. (Se supone constante y conocido).
En un instante considerado, el avión vuela a una velocidad Vinicial y se halla a una altura Hinicial. Dicho avión está acelerando con el fin de obtener una velocidad V final y una altura H final en un tiempo t, en todo momento se mantiene la inclinación.
Determine: 1. El flujo másico que sale por los motores del avión en función del tiempo durante el periodo de aceleración considerado. Considere que la masa del avión se mantiene constante.
2. El flujo másico que sale por los motores del avión en función del tiempo durante el período de aceleración considerado. Considérese variable la masa del avión y téngase en cuenta que el caudal másico de combustible es el 5% del caudal entrante a los motores.
3. La altura final a la que se encontrará el avión después del período de aceleración t considerado. Determine la densidad media del aire atmosférico entre las alturas de vuelo consideradas, sabiendo que la temperatura en la atmósfera en función de la altura h varía según la relación: · T0 y B son constantes conocidas.
Datos: Vinicial; Vfinal; Hinicial; α; V; CD; S; t; T0; B; minicial avión; ρ.
Considérese la ρ conocida para los apartados 1 y 2.
1.
Definim l’eix de coordenades: L’eix x’y’ es mourà amb l’avió. L’avió es mourà, per tant el sistema será no inercial Definim un volum de control: Equació fonamental de la quantitat de moviment per sistemes no inercials: ∫ 𝜌 ⃗⃗ 𝑐 𝑑 ∮ 𝜌 ⃗⃗ · ⃗⃗ 𝑑⃗ 𝑐 𝑑2 ⃗⃗ ∫ 𝜌[ 2 𝑑 𝑐 ∫ 𝑐 ̂𝑑 ( 𝑑⃗⃗⃗ 𝑑 ∫ ⃗𝑑 𝑐 ⃗) (2⃗⃗⃗ ∫ ⃗𝜌𝑑 𝑐 ⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ∑⃗ ⃗⃗⃗ ⃗)] 𝑑 En el nostre cas: [( Ja que 𝑑⃗⃗⃗ 𝑑 (2⃗⃗⃗ ⃗) ⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗)] es despreciable.
El terme ⃗⃗ és la pròpia acceleració de l’avió.
Reescrivim l’equació i obtenim que: ∫ 𝜌 ⃗⃗ 𝑑 ∮ 𝜌 ⃗⃗ 𝑐 · ⃗⃗ 𝑑⃗ ∫ 𝜌 ⃗𝑑 𝑐 ∫ 𝑐 ̂𝑑 𝑐 ∫ ⃗𝑑 𝑐 ∫ ⃗𝜌𝑑 𝑐 De l’enunciat coneixem que: 𝐷 𝐶𝐷 · 𝜌 · · 𝑎𝑣𝑖ó𝑛 2 La D fa referencia a l’impuls, és a dir: ∫ ̂𝑑 2 ∫ ⃗𝑑 𝑐 𝑐 La D tindrà signe negatiu (que indica la direcció negativa de l’eix x que s’oposa al moviment) En el nostre volum de control només hi ha un flux que entra i surt dels motors.
Estudiem l’equació (1):  ∫ 𝑐 𝜌 ⃗⃗ 𝑑 l’enunciat.
 La superfície de control fa referencia a la superfície d’entrada i de sortida.
, no hi ha variacions de densitat ni velocitat, segons indica ∮ 𝜌 ⃗⃗ · ⃗⃗ 𝑑⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∫ 𝜌 · 𝑑⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∫ 𝜌 𝑎 · 𝑎𝑑 ⃗ 𝑐 𝜌· 𝑎 2 · 𝜌· 2 · 𝑚̇ · 𝑎 𝑚̇ · Tenim que: 𝑚̇ 𝑚̇ Per tant 𝑚̇ ·  𝑎 ∫ ⃗𝜌𝑑 ⇒ 𝑐 𝑚̇ · 𝑐 𝑚̇ ·𝜌· 𝑎 𝑚𝑎 · · Cabal màssic de sortida en funció del temps: 𝑚̇ ( 𝑚𝑎 · ) 𝑎 𝐷 𝑚𝑎 · · Coneixent Vinicial y la acceleració. Expressem-la Va en funció de dades conegudes: 𝑎 · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 Substituïm així l’expressió de D: 𝑚̇ ( · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑎 · ) 𝐷 𝑚𝑎 · · Finalment: 𝑚𝑎 𝑚̇ 𝐶𝐷 · 𝜌 · · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 2 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 2 · 𝑎𝑣𝑖ó𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑣𝑖ó𝑛 · · 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 · 2.
De l’enunciat traiem: 𝑚𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 · 𝑚̇ · 𝑎𝑣𝑖ó𝑛 2 Per equació de continuïtat: 𝑚̇ Reescrivim (2) com: 𝑚̇ 𝑚̇𝑐 𝑖 𝑚̇ · 𝑚̇ · 𝑚̇ 𝑎𝑣𝑖ó𝑛 · 𝑚𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝑚̇ · 𝑎𝑣𝑖ó · 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝑚̇ · 2 𝑎𝑣𝑖ó Tenim la equació de la quantitat de moviment: ∫ 𝜌 ⃗⃗ ∮ 𝜌 ⃗⃗ 𝑑 𝑐 · ⃗⃗ 𝑑⃗ ∫ 𝜌 ⃗𝑑 𝑐 ∫ 𝑐 ̂𝑑 ∫ ⃗𝑑 𝑐 ∫ ⃗𝜌𝑑 𝑐 𝑐 Sabem que: ∫ 𝜌 ⃗⃗ 𝑑 𝑐  Abans hem vist que: ∮ 𝜌 ⃗⃗ · ⃗⃗ 𝑑⃗ 𝑚̇ · 𝑚̇ · 𝑎 𝑐 i 𝑎 · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 Per tant, ∮ 𝜌 ⃗⃗ · ⃗⃗ 𝑚̇ 𝑑⃗ · 𝑎 𝑐  𝑚̇ · 𝑚̇ · ( 𝑎 ) 𝑚̇ · ( · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 També sabem ∫ 𝜌 ⃗𝑑 𝜌· · 𝑐 𝑚̇𝑎 · (𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑣𝑖ó𝑛 𝑚̇ · )· 2 “a” te direcció en x.
 Les forces externes superficials son: ∫ ̂𝑑 ∫ ⃗𝑑 𝑐 𝑐 Equivalen a D, tindrà signe negatiu (s’oposa al moviment)  Forces màssiques projectades en x: ∫ ⃗𝜌𝑑 𝜌· 𝑐  · 𝑚𝑎 · (𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 La acceleració val: 𝑖 Substituïm els valors a (1): 𝑎𝑣𝑖ó𝑛 𝑚̇ · )· 2 · ) 𝑚̇ · ( · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 ) (𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑣𝑖ó · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝐶𝐷 · 𝜌 · · 𝑚̇ · )· 2 2 (𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 2 𝑚̇ · )· 2 𝑎𝑣𝑖ó Aïllem 𝑚̇ i obtenim: 𝑚̇ · ( · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 ) (𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝑚̇ ( 2 · 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 2 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝐶𝐷 · 𝜌 · · 2 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 · 2 · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝐶𝐷 · 𝜌 · · 𝑚̇ · )· 2 2 𝑚̇ · ( )· 2 ) · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝐶𝐷 · 𝜌 · · 𝑚̇ · ( 𝑎𝑣𝑖ó 2 · · 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑣𝑖ó · 2 ) 𝑎𝑣𝑖ó · · · · · 3.
La 𝑖𝑛𝑎 es desconeguda. Si Amb l’equació MRUA obtenim: 𝐿 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 · 2 · 2 · També sabem que: 𝑖𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝐿· 𝑖𝑛𝑎 𝐿 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 Substituïm L pel valor calculat: 𝑖𝑛𝑎 ( 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 · 2 · · 2 · ) Fem servir la següent equació diferencial per treure la pressió: 𝑑 𝜌· ·𝑑 · ·𝑑 Hipòtesis gas ideal: · Per tant · · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 · 𝑑 · · ·𝑑 Fem servir la expressió coneguda: 0 · 0 · Substituïm, 𝑑 · · ·𝑑 Si integrem amb aquestes condicions: ∫ 𝑑 ·𝑑 ∫ · 0 | 𝑎 𝑑 ·∫ | · 0 · 0 0 Fem la següent integral: 𝑑 ·∫ · 0 0 0 𝑑 ·∫ · 0 0 | 0 Per tant 0 | | 𝑎 · | 𝑎 | ( 0 0 | 𝑎 | 0 ) 0 Considerant la pressió atmosfèrica com 1: ( | 0 0 0 ) | | Representa la variació de pressió en funció de l’alçada. La pressió que volem, per tant: ( 𝑖 ( · (( 0 0 0 0 𝑖 0 ) · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 2· ) 2 · · ) 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 0 ( ) Pel que fa les temperatures de hf y hi: · 0 0 ) · ·( 0 𝑖 · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 · 0 · 2 · 2 · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 𝑖 Ara coneixem les pressions i anem a calcular les densitats: 𝜌 𝜌̅𝑎𝑖 𝜌 𝑖 2 Seguint amb la hipòtesis del gas ideal: 𝜌̅𝑎𝑖 𝜌 𝜌𝑖 · · 2 𝑖 2 2· Substituïm pel valors coneguts: 𝜌̅𝑎𝑖 2 ·( 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 ) ) Amb ( 𝑖 ( 0 0 0 · (( 0 𝑖 0 ) · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 2· ) · 2 · ) 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 ) 0 ( ) 𝑖 0 ·( 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 · 0 · 2 · 𝑖 · 2 · 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎 ) 6-El esquema de la figura muestra un conducto, el cual esta anclado a la pared mediante la viga detallada en el dibujo. La presión, densidad, sección y caudal másico, se conocen tanto a la entrada como a la salida del conducto. Las dimensiones de los diferentes tramos del conducto, así como la posición espacial de la sección de entrada y salida del fluido, se han detallado en la figura adjunta.
Se pide determinar los diferentes pares que el fluido crea sobre el anclaje, punto (0;0;0) del eje de coordenadas.
Considerar que el centro de gravedad del conjunto, (fluido en el interior del conducto, peso del conducto y peso de la viga que une el conducto con la pared), está situado en el punto (0,3;-0,75;0,3). Considerar asimismo que el peso de dicho conjunto es P. La sección de cada uno de los tramos del conducto es conocida.
Sobre la figura hem indicat amb la línia discontinua el que serà el nostre volum de control (serà perpendicular a la velocitat d’entrada i sortida).
Fem servir l’equació de conservació del moment cinètic: El terme eliminat el considerem zero perquè la densitat es mante constant i que estem en regim permanent. Per tant: Sabem que: Si busquem el que ens queda: Evauem el següent terme tenint en compte que el producte escalar entre velocitat i diferencial de superfície serà positiu a la sortida i negatiu a la entrada. Per tant: Igualant els resultats trobats: Ara, resolem Mx, My i Mz: Mx My Mz 7- Se desea realizar los cálculos preliminares para el estudio de un helicóptero. A priori, se estima que la masa del helicóptero será m, el rotor principal tendrá tres palas y el de la cola, cuatro. Las dimensiones principales del rotor principal y el de la cola se establecen en el dibujo adjunto. (Fig 34.1).
Si el ángulo de ataque de los álabes de ambos rotores se quiere a priori mantener constante igual a 4 grados, y para el perfil aerodinámico elegido se conoce que los coeficientes de sustentación y arrastre, tanto para el rotor principal como el de la cola, son: CL=0,8; CD=0,0135, se pide: 1. Hallar la velocidad de giro del rotor principal ω para que el helicóptero de masa m se mantenga en suspensión.
2. Determinar la ecuación de la velocidad de giro del rotor principal en función de la altura a la que se encuentre el helicóptero. Téngase en cuenta que la variación de la temperatura del aire con la altura de la atmósfera terrestre es T=T0 – Kh.
T y T0 están dados en grados kelvin. K es una constante conocida. h es la altura en metros.
3. Hallar la potencia del motor del rotor principal cuando el helicóptero se encuentra al nivel del mar.
4. Determinar el radio r4 para que el rotor de cola compense el par creado por el rotor principal. Considerar que el rotor de cola gira a una velocidad angular constante Ω.
Comencem fent el balanç de forces. La força de sustentació ha de ser igual al pes de l’helicòpter. Per tant: On S és la superfície projectada de l’àlep V∞ és la velocitat del fluid.
Seguidament substituïm L pel seu diferencial i S per bcosα dr i integrarem: Aquesta és la que crea un sol àlep. Com que n’hi ha tres queda el següent: Això ho hem d’igualar al pes de l’helicòpter i aïllar ω: b) Per començar determinarem la densitat de l’aire un funció de l’altura de l’helicòpter respecte el nivell del mar. Considerant l’aire com un fluid ideal: T=To+kh On To és la temperatura a nivell del mar.
K és una constant coneguda.
Per tant: A continuació trobarem quan val la densitat de l’aire: En aquesta equació hi substituïm els valor de P i de T que hem trobat anteriorment i ens queda: Substituïm aquesta densitat a l’equació que hem trobat a l’apartat anterior i queda: c) La potència del rotor principal serà la requerida per vèncer el par generat pel rotor. A continuació calcularem el par generat per una de les pales: El que generen les 3 pales és: La potència generada pel motor serà Mmotor·ω Per començar determinarem la força en sentit horitzontal que creen les 4 pales. Calcularem la d’una i ho multiplicarem per 4.
Diem β a l’angle d’atac de les pales. La velocitat del gir del rotor de la cua és Ω. Per tant: La força creada per les 4 pales és: El parell que crearà serà aquesta força multiplicada per la distància, per tant: Aquesta R és la distància perpendicular entre l’eix de gir del rotor principal i l’eix de gir de la cua.
Aquest moment que hem calculat és el que ha de contrarestar el generat pel rotor principal, per tant tenim el següent: D’aquí aïllem r4: 8- El esquema que se encuentra a continuación, muestra un sistema de aspersión. El líquido entra axialmente en dirección “-X” y sale en dirección “Z”. El par principal que crea el fluido sobre el eje “X” hace que dicho aspersor gire a una velocidad angular constante “ω”, a dicho par principal se opone un par antagonista de valor “k ω”, donde la constante “k” es conocida.
La presión, y el caudal másico a la entrada del aspersor son conocidos, siendo la presión en cada una de las dos salidas la atmosférica. Las dimensiones de cada uno de los tramos del conducto y sus secciones son conocidas.
Para el cálculo, se considerará el fluido como incompresible y se podrán despreciar las fuerzas másicas.
Se pide: 1.- Determinar los pares de reacción que se crean sobre los diversos ejes coordenados, utilizar un sistema inercial de coordenadas.
2.- Determinar los pares de reacción que se crean sobre los diversos ejes coordenados, utilizar un sistema no inercial de coordenadas. (Deberán considerarse todas las aceleraciones existentes en cada uno de los tramos rectos, depreciar el efecto de los diversos codos).
3.- Hallar la expresión que determina la velocidad angular a la que gira el aspersor.
(-1; Primer de tot el que farem és definir una sèries d’hipòtesis la majoria de les quals venen definides per l’enunciat: - Considerem la secció dels tubs constants - El fluid és incompressible - No considerem els forces màssiques - Treballem amb pressions relatives - Suposem que estem en règim permanent.
a) El sistema de referència que escollirem en aquest cas és el de la figura però és mou amb la mateixa velocitat angular que l’aspersor.
Per començar hem d’escollir el volum de control Aquesta és l’equació amb la que treballarem. Abans, però, hem de prendre algunes consideracions: El primer terme s’anul·la ja que no considerem les forces màssiques i el segon s’anul·la ja que treballem en règim permanent.
Pel que fa al terme de la pressió la podem descompondre en 4. Les dues sortides, l’entrada i les laterals. Les dues sortides s’anul·len ja que treballem amb pressions relatives i a la sortida hi tenim la pressió atmosfèrica. La pressió a l’entrada tampoc la considerem ja que no crea moment. Per tant, només ens queda la lateral, que juntament amb els esforços laterals componen el moment. En resum: Ara que ja tenim totes les simplificacions i consideracions, podem tornar a reescriure l’equació: Desenvolupant el terme de la dreta: Abans de continuar, aplicarem l’equació de la continuïtat: Si seguim operant: Ara ja estem en condicions de començar a calcular els productes vectorials de l’equació principal: Que queda: Segons la tercera Llei de Newton, sabem que la força de reacció que fa el fluid és la que mourà l’aspersor. Per tant, és la mateixa però canviada de signe.
Continuem amb el segon terme de l’equació: Canviarem el signe pel mateix motiu que abans: Solucionem l’últim producte vectorial: El producte vectorial és 0, cosa que significa que la velocitat d’entrada no crea moment.
Ara que ja tenim tots els termes de l’equació, els substituïm i n’obtenim el resultat: b) El sistema de referència que fixem és el de l’enunciat però aquesta vegada no té velocitat angular.
Per desenvolupar-ho, hem descompost la peça en 8 parts.
L’equació del moment en aquest cas és la següent (hi hem simplificat els dos termes no inercials que s’anul·laven): La part inercial és la mateixa que en l’apartat anterior, per tant, no en cal tornar-la a calcular.
Seguidament calcularem la part inercial de totes les parts: Part 1 Per resoldre l’anterior equació aplicarem el canvi d =Sdy on S és la superfície del tub i és constant i el que varia és la distància del tub a l’eix Y.
Per tant, ens queda el següent: El primer terme és l’acceleració normal i el segon l’acceleració de Coriolis.
Seguidament anirem realitzant els productes vectorials: Un cop tenim els productes vectorials els posem dins l’integral: A continuació hem de fer el mateix en les altres 7 parts. Com que tots els càlculs són tots iguals, posarem només el resultat del moment que crea cada part. L’únic que hem de tenir en compte és que el dS varia en cada cas depenent de la direcció de la barra.
Part 2 Part 3 Part 4 Part 5 Part 6 Part 7 Part 8 Substituïm tots els valors trobats anteriorment a l’equació principal i ens queda el següent: Simplificant l’expressió ens queda que el moment és el següent: c) Per trobar la velocitat angular amb la que gira hem de fer servir el moment antagonista. Per tant: Com que sabem que la velocitat angular és constant: Seguidament operem i n’obtindrem el resultat ...