Examen Álgebra Lineal Resuelto 2 (2014)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 18/05/2014
Descargas 5
Subido por

Descripción

GRAU ENGINYERIA INDUSTRIAL | 2n Parcial

Vista previa del texto

MATEMÀTIQUES I 2n Parcial GRAU ENGINYERIA INDUSTRIAL 11 gener 2010 Durada de l’examen: 2 hores Revisió d’examen: dimecres 10 febrer a les 11h No es considerarà vàlida cap resposta que no estigui raonada de forma breu i clara 1.
(3.5 punts) Una matriu A∈ M 4 (ℝ) i simètrica verifica les relacions: A ⋅ v1 = 2v1 , A ⋅ v2 = 2v2 , A ⋅ v3 = −v3 i A ⋅ v1 = 0 , essent v1 = (1, 0,1, 0) , v2 = (1, 0, 0, 0) , v3 = (0,1, 0,1) i v4 = (0,1, 0, −1) . Es demana: a) Justifica que B = {v1 , v2 , v3 , v4 } és una base d’ ℝ 4 en la que A diagonalitza.
Els 4 vectors són propis; v1 , v2 de valor propi 2, v3 de valor propi -1 i v4 de valor propi 0. Només falta comprovar que són linealment independents.
v1 , v2 són independents ja que cap d’ells no és múltiple de l’altre i v3 , v4 són linealment independents d’ells i entre sí ja que són vectors propis de valors propis diferents de 2 i diferents entre sí.
b) Sense fer cap càlcul, justifica que 2 és un dels valors propis de A La dada A ⋅ v1 = 2v1 ens indica que v1 és vector propi de valor propi 2. Per tant 2 és valor propi.
c) Determina una base ortogonal del subespai de vectors propis associats al valor propi 2 Per les dades sabem que E (2) = v1 , v2 i {v1 , v2 } n’és una base però no és ortogonal. Per fer una base ortogonal podem prendre el vector v1 i un altre vector w ortogonal a v1 i que sigui de E (2) = v1 , v2 w ∈ E (2) ⇒ w = a ⋅ v1 + b ⋅ v2 = (a + b, 0, a, 0) w ⊥ v1 ⇒ wiv1 = 0 ⇒ (a + b, 0, a, 0)i(1, 0,1, 0) = 0 ⇒ a + b + a = 0 ⇒ b = −2a Prenent a =1   ⇒ w = (−1, 0,1, 0) i la base demanada pot ser {(1, 0,1,0), (−1, 0,1, 0)} b = −2  d) Calcula una base de diagonalització d’A que sigui ortonormal   (1, 0,1, 0), (−1, 0,1, 0) , (0,1, 0,1) , (0,1, 0, −1)  és base de diagonalització i és ortogonal ja que vectors  base ortogonal de E (2)  v3 v4 propis de valors propis diferents són ortogonals si la matriu és simètrica. Només falta normalitzar-la.
 1 1 1 1   1 1    1   1 , 0, ,0, − , 0, , 0  ,  0, , 0, , 0, −  ,  0,  2   2 2   2 2  2 2   2 La base demanada és:  e) Determina una matriu diagonal D i una matriu inversible P que verifiquin la relació A = P ⋅ D ⋅ PT Si P és matriu de pas, de base de diagonalització a base canònica, i D és matriu diagonal, amb els valors propis dels vectors que formen la base a la diagonal, es verifica la relació A = P ⋅ D ⋅ P −1 . Si la base de diagonalització és a més a més ortonormal, com que aleshores P −1 = PT , es verifica A = P ⋅ D ⋅ PT . Per tant en aquest cas      P=       2.
1 2 1 2 − 0 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2  0   1  2    0   1  −  2 i  cos α  sin α (1.5 punts) Comprova si la matriu  2  0 D= 0  0 0  2 0 0 0 −1 0   0 0 0  0 0 − sin α   , 0 < α < π , és diagonalitzable al camp real o al cos α  camp complex. En cas afirmatiu, escriviu la matriu diagonal Indicació: sin 2 α + cos 2 α = 1 Calculem l’equació característica cos α − λ − sin α sin α cos α − λ = 0; ( cos α − λ ) + sin 2 α = 0;cos 2 α − 2λ cos α + λ 2 + sin 2 α = 0; λ 2 − 2 cos αλ + 1 = 0; λ = = cos α ± sin α i 2 2 cos α ± 4 cos 2 α − 4 2 cos α ± 2 cos 2 α − 1 2 cos α ± 2 − sin 2 α = = = 2 2 2 Com que 0 < α < π ⇒ sin α ≠ 0 ⇒ La matriu té valors propis complexos; no diagonalitza al camp real però sí 0  cos α + sin α i 0 cos α − sin α  al complex. La matriu diagonal és  3.
  i (2.5 punts) Considera la funció definida per 1/ x si x ≤ −1  f ( x) =  x si − 1 < x < 1 2   1 − ( x − 1) si x ≥ −1 a) Escriu el domini d’ f ( x) i fes un estudi de la seva continuïtat x i 1 − ( x − 1)2 estan definides arreu, 1 només deixa d’estar-ho a x = 0 on no la utilitzem x ⇒ Dom( f ) = ℝ 1 2 La funció és contínua ∀x ≤ −1 , la funció x ho és ∀x ∈ ]−1,1[ i la funció 1 − ( x − 1) ho és x ∀x ≥ 1 ⇒ f ( x) és continua a trossos. Falta mirar si ho és a x = −1 i x = 1 1  lim− f ( x) = lim− = −1 x →−1 x →−1 x  ⇒ f ( x) té discontinuïtat de salt en x = −1 lim f ( x) = lim+ x = 1  x →−1+ x →−1  lim f ( x) = lim− x = 1   f ( x) = 1 = f (1) ⇒ f ( x) és continua en x = 1  ⇒ lim 2 x →1 lim+ f ( x) = lim+ = 1 − ( x − 1) = 1 x →1 x →1  x →1− x →1 f ( x) és continua en ℝ − {−1} = ]−∞, −1[ ∪ ]−1, +∞[ b) Fes un estudi gràfic de la derivabilitat de la funció La forma de la funció és aproximadament: La funció és derivable arreu excepte en x = −1 , per ser discontinua, i en x = 0 i x = 1 , per ser punts angulosos.
c) Indica quins són els extrems relatius d’ f ( x) . Troba els extrems absoluts a l’interval [ −2, 2] S’observa al gràfic que la funció té un mínim relatiu en x = 0 , que val 0, i un màxim relatiu en x = 1 que val 1.
A l’interval 4.
[ −2, 2] hi ha mínim absolut en x = 1 que val −1 i màxim absolut a x = 1 amb valor 1 (2.5 punts) Considera la informació continguda a la següent pantalla de Maple referida a una funció f definida prèviament. Justifica si les afirmacions que apareixen a continuació són certes o no: > [f ( − 1) , f (0 ) , f (1) ] ; 1 [ ,1, 3] 2 > [D(f)(−1) , D(f)(0) , D(f)(1)]; [0, −2,1] > (D@@2)(f)(1); −2 La pantalla ens informa del valor de la funció en els punts {−1, 0,1} , del de la seva derivada en els mateixos punts i del de la segona derivada en el 1 a) La funció f en el punt x = 0 és creixent Falsa ja que f ′(0) = −2 < 0 ⇒ f ( x) és decreixent per comptes de creixent.
b) La funció f en el punt x = 1 té tangent horitzontal Falsa ja que f ′(1) = 1 ≠ 0 ⇒ la tangent té pendent 1 per comptes de 0 i no és horitzontal.
c) La funció f en el punt x = −1 té un màxim local Certa ja que f ′( −1) = 0 i f ′′( −1) = −2 < 0 d) y = 1 − 2 x és una bona aproximació lineal a l’entorn del punt x = 0 L’aproximació lineal ve donada per la tangent en x = 0 d’equació y = f (0) + f ′(0)( x − 0) .
Substituint i simplificant s’obté y = 1 − 2( x − 0); y = 1 − 2 x ⇒ És certa e) f (0.4) ≈ 0.2 és la millor aproximació lineal que es pot obtenir amb aquestes dades Tenim dades dels punts {−1, 0,1} i el més proper a x = 0.4 és x = 0 ⇒ La millor aproximació, segons l’apartat anterior, l’obtindrem amb y = 1 − 2 x ⇒ f (0.4) ≈ 1 − 2 ⋅ 0.4 = 0.2 ⇒ És certa ...