Mecánica Cuántica - Problema 56 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 6
Subido por

Vista previa del texto

.
56 Si el fot´ o tingu´es massa (m“ ”= 0), l’energia potencial de Coulomb de l’`atom d’hidrogen es substituiria per la de Yukawa, e≠µr V (r) = ≠e2 , (0.31) r on µ = m“ c/~.
(a) Trobeu una fita a l’energia de l’estat fonamental amb una funci´o d’ona de prova exponencialment decreixent ≥ e≠ar .
(b) Suposeu que la mida de l’` atom ≥ 1/a ´es molt menor que l’abast ≥ 1/µ (ara finit) de la interacci´ o. Doneu la primera correcci´o a l’energia de l’`atom d’hidrogen.
Soluci´ o: (a) D’acord amb l’enunciat, en aquest cas prenem ˜0 (r) = Èr|˜0Í = Ae≠ar , amb A, a œ R.
B`asicament, la u ´nica difer`encia respecte els problemes anteriors, ´es que ara esteim en 3 dimensions i en coordenades esf`eriques. Se segueix que Ș 0|˜ 0Í = ⁄ 2 3 2 |˜0 (r)| d x = 4fiA R3 L’hamiltoni` a ´es: ⁄ Œ 0 r2 e≠2ar dr = . . . Schaum . . . = 3 ~2 2 ~2 1 d d Ò + V (r) = ≠ r2 2m 2m r2 dr dr H=≠ o sigui que Ș0|H|˜ 0Í = 5 ⁄ ˜0ú (r)H˜0 (r)d3 x = 4fiA2 ≠ R3 ≠ e2 e≠µr , r r 2 ≠e On ˆ =≠ ÈKÍ ⁄ Œ 0 ~2 2m ≠ 2a ≠(µ+2a)r 3 4 ⁄ Œ ≠ar e d 2 d ≠ar r e r2 dr 2 0 re ⁄ Œ 0 ⁄ Œ 0 e≠ar r dr dr ~2 = ... = , 8ma ÈVˆ Í = ≠e2 ⁄ Œ 0 1 dr 0 (0.34) 2 ˆ + ÈVˆ Í .
dr © 4fiA2 ÈKÍ 3 ⁄ Œ 2 d 1 ~2 ≠ar2 e≠ar dr = ≠ a2 r2 e≠2ar dr dr 2m 0 ≠2ar re 2m 6 (0.32) (0.33) 6 5 ⁄ Œ ≠(µ+2a)r ⁄ 2 e ~2 Œ ≠ar d 1 2 2 2 ≠e r dr = 4fiA ≠ e ≠ar2 e≠ar dr 0 Per tant, ~2 2m 4 fiA2 .
a3 4 ~2 dr = . . . Schaum · · · = ≠ 2m re≠(µ+2a)r dr = . . . Schaum . . . = ≠ 1 2 A a2 2a ≠ 4a3 (2a)2 B e2 .
(µ + 2a)2 ˆ + ÈVˆ Í 4fiA2 ÈKÍ ˜ ˜ ~2 a2 4a3 e2 ¯ = È0|H|0Í = H = .
.
.
= ≠ .
fiA2 /a3 2m (µ + 2a)2 Ș 0|˜ 0Í 7 (0.35) (0.36) .
En aquest cas, prendre a com un par`ametre i intentar minimitzar resulta molt llarg; es pot provar de fer num`ericament (jo no ho he fet). La fita superior ´es: ~2 a2 4a3 e2 ¯ H(a) = ≠ > E0 2m (µ + 2a)2 (0.37) (b) El f´ısic japon`es Hidaki Yukawa (Premi Nobel, 1949), va proposar un model que explicava, ´ clar que dos protons entre altres coses, perqu`e els protons d’un nucle´o estaven units. Es tenen la mateixa c` arrega i com a conseq¨ u`encia de la for¸ca de repulsi´o electromagn`etica (E&M), es repelen. Per` o el nucle´o est`a unit, i en aquell temps no se sabia per qu`e. Aix´ı com la for¸ca E&M deriva d’un potencial „(r) ≥ –/r, essent – la constant d’acoblament E&M, Yukawa va proposar que en el nucle´o existia una interacci´o molt m´es forta que l’electromagn`etica, i que derivava d’un potencial de la forma V (r) ≥ ≠gs e≠µr /r, on gs ´es la constant d’acoblament de la nova interacci´o. A dist`ancies de l’escala at`omica, r ´es molt petit (e≠µr ¥ 1) i 1/r ´es enorme, de manera que comparant ≠gs /r amb –/r, si es volia explicar perqu`e els protons estaven units, calia que |gs | ∫ |–|. En efecte, Yukawa va incloure l’exponencial e≠µr , ja que per r ≥ grans la nova interacci´o no es notava, podent aix´ı definir un tall: r ≥ 1/µ, que d´ona una idea de quin ´es l’abast.
En el marc de la Teoria Qu` antica de Camps (QFT), el model de Yukawa ´es compatible amb el fet de qu`e la interacci´ o es produeix com a conseq¨ u`encia de l’intercanvi virtual de mesons (en particular, pions). Si es considera aix´ı, i es fan c`alculs, en l’ordre m´es baix es veu que aquest intercanvi va associat a un potencial de tipus Yukawa.
D’acord amb l’enunciat, considerem que la mida de l’`atom ≥ 1/a ´es molt menor que l’abast ≥ 1/µ (en aquest sup` osit, la interacci´o deguda al potencial de Yukawa esdev´e important a fora del nucle´ o), ´es a dir, a ∫ µ. En aquest l´ımit, podem desenvolupar en s`erie de Taylor la fita que hem trobat: ~2 a2 4a3 e2 ~2 a2 ae2 ~2 a2 ¯ H(a) = ≠ = ≠ ¥ ≠ ae2 µ 2m (µ + 2a)2 2m (1 + 2a )2 2m C 3 µ µ ◊ 1≠2 +3 2a 2a 42 D ~2 a2 3 e2 µ2 + ... = ≠ ae2 + e2 µ ≠ + ....
2m 4 a (0.38) ´ clar que aix` Es o ´es un m`etode aproximat, i per veure quina ´es la primera correcci´o a l’energia, cal comparar amb el resultat que ens d´ona el mateix m`etode si considerem el potencial coulombi` a de tota la vida. Notem que fent µ æ 0, recuperem el potencial de Coulomb, de manera que per aquest potencial la fita a l’energia ´es: 2 2 ¯ Coulomb (a) = ~ a ≠ ae2 .
H 2m (0.39) En aquest l´ımit ´es f` acil minimitzar, si ho feim obtenim que a = e2 m/~2 . Substituint, es veu que la fita ´es: 4 ¯ Coulomb = ≠ me = E0 , H (0.40) 2~2 8 .
que de fet, no ´es una fita, sin´ o que coincideix amb l’energia de l’estat fonamental de l’hidrogen. Evident, ja que com a funci´o de prova hem agafat una exponencial decreixent, i la funci´ o d’ona de l’estat fonamental de l’hidrogen ho ´es. Comparant (0.39) amb (0.38), veiem que la correcci´ o a primer ordre ´es: e2 µ = e2 m“ c/~ 9 (0.41) ...