Mecánica Cuántica - Problema 33 (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 8
Subido por

Vista previa del texto

.
33 La funci´ o d’ona de l’estat fonamental de l’`atom d’hidrogen ´es amb a0 = ~2 me2 Â(˛r ) = Ò 1 fia30 e≠r/a0 , ´es el radi de Bohr.
(a) Trobeu-ne la funci´ o d’ona en la representaci´o de moments.
(b) Quant val el valor esperat del m`odul del moment |P˛ | en aquest estat? Soluci´ o: (a) Ens donen la funci´ o d’ona en la representaci´o de posicions: Â(˛r ) = È˛r |ÂÍ, i volem ˜ p ) = È˛ trobar la funci´ o d’ona en la representaci´o de moments: Â(˛ p |ÂÍ. Introduint la resoluci´ o de la identitat en aquesta u ´ltima igualtat, tenim ˜ p ) = È˛ Â(˛ p | |ÂÍ = ⁄⁄⁄ È˛ p |˛r ÍÈ˛r |ÂÍd3˛r , (0.15) essent d3˛r l’element de volum en esf`eriques. Podem identificar Â(˛r ) = È˛r |ÂÍ, i utilitzant el resultat que varem obtenir a teoria, e≠ipx/~ e≠i˛p ·˛r /~ 1D : Èp|xÍ = Ô ≠æ 3D : È˛ p |˛r Í = , (2fi~)3/2 2fi~ (0.16) resulta que ⁄⁄⁄ e≠i˛p ·˛r /~ Â(˛r )r2 sin ◊drd◊dÏ (2fi~)3/2 ⁄ 2fi ⁄ Œ ⁄ fi 1 2 ≠r/a0 Ò = dÏ r e dr sin ◊e≠ipr cos ◊/~ d◊.
0 0 (2fi~)3/2 fia30 0 ˜ p) = Â(˛ (0.17) Anteriorment, hem escollit p˛ = pˆ ez , de manera que p˛ · ˛r = pz = pr cos ◊. Llavors la integral sobre ◊ es pot calcular f`acilment mitjan¸cant el canvi u = cos ◊ (d´ona (2~/(pr)) sin(pr/~)); la integral sobre Ï ´es directa. Un cop aix`o, ˜ p) = Â(˛ 2fi 2~ Ò (2fi~)3/2 fia3 p 0 ⁄ Œ 0 ≠r/a0 re 3 4 pr sin dr.
~ (0.18) Anant al “Schaum” (a la taula d’integrals indefinides), despr´es d’avaluar els l´ımits d’integraci´ o, trobam que ⁄ Œ 0 re≠r/a0 sin 3 4 pr 2pa30 dr = , ~ ~ (1 + (p/p0 )2 )2 (0.19) amb p0 = ~/a0 . Considerant aquest u ´ltim resultat, finalment, despr´es d’ordenar totes les constants, es t´e Û 2 2 1 ˜ Â(˛ p) = .
(0.20) 3 fi p0 (1 + (p/p0 )2 )2 3 .
(b) El valor esperat del m` odul del moment, en l’espai de moments el calculam a trav´es de la seg¨ uent integral ⁄⁄⁄ ˜ p )d3 p˛ .
˛ È|P |Í = ˜ú (˛ p )|P˛ |Â(˛ (0.21) ˜ p) Per`o en l’espai de moments, |P˛ | = p i d3 p˛ = p2 dp sin ◊d◊dÏ © p2 dpd (donat que Â(˛ dep`en u ´nicament del m` odul de p˛ , podem integrar directament sobre tot l’angle s`olid, donant lloc a un factor 4fi). Dit aix`o, se segueix que È|P˛ |Í = 4fi = ⁄ Œ 0 ⁄ 5 32p0 Œ fi 0 ⁄ Œ p3 dp 0 (1 + (p/p0 )2 )4 p3 32p50 1 8 dp = .
.
.
Schaum .
.
.
= = p0 .
2 fi 12p40 3fi (p2 + p0 )4 ˜ p )|2 p3 dp = 4fi |Â(˛ 4 2 fi 2 p30 4 (0.22) ...