Problemas de Matrices y Determinantes (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Álgebra lineal
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 17/05/2014
Descargas 0

Vista previa del texto

Matrius i determinants P 1 Busqueu el rang de les seg¨ uents matrius   1    0   A= 2    −2  1 0 2 1 2 −1 1 2 1 3 1 1 6 3 7 −1 2 0 0 2 4 3 8 4 11 2 1 1  0 2 1 −1 2     1 0 1 2 1   2      −1 1 1 0 −4 3   B=     0 −1 4 1 −4 3       4 1 4 3 0 5   −2 3 −2 −1 6 1   0    2    −2   3 P 2 Busqueu el rang de la matriu A segons els valors del par` ametre m  m 2 3 m    1 1 2 A=   2 m 1  3 3 m    2    3   1 P 3 Calculeu els seg¨ uents determinants: 3 7 5 −1 1 −4 1 1 0 1 4 7 −2 2 −3 4 2 1 0 −1 2 −1 0 6 −3 2 −1 4 1 0 2 ∆1 =  ∆2 = −1 2 1 2 1 0 3 3 0 4 2 6 8 0 4 −5 7 3 1 0 1 2 3 7 7 3 2 −4 9 2 5 5 1 1 −2 6   1 1 0   P 4 Siguin A =  0 1 1  0 0 1       0 1 0   T = 0 0 1  0 0 0  1 5 9 −4 4 −4 5        I= 0 1 0  0 0 1 Demostreu que A = I + T i que T 3 = 0 Calculeu A2 , 1 1 0 0 A3 , A4 ,     A 5 , · · · , An .
 i 1−i 2+i   P 5 Sigui M =  0  0   3 − i , demostreu que t´e inversa i busqueu-la.
 −i −1 0 a−b−c 2a 2a 2b b−c−a 2b 2c 2c c−a−b P 6 Demostreu que P 7 Demostreu que  0 a b c a 0 c b b b 0 a c c a 0 = (a + b + c)3 .
= −a2 (a + b + c) (b + c − a).
P 8 Demostreu que 0 1 1 1 1 0 c2 b2 1 c2 0 a2 1 b2 a2 x P 9 Demostreu que = − (a + b + c) (b + c − a) (c + a − b) (a + b − c) 0 y z t −y x −t z −z t −t −z 2 = x2 + y 2 + z 2 + t 2 .
x −y y x P 10 Determinant de VANDERMONDE Definim el determinant de Vandermonde d’ordre 6 per D6 = 1 1 1 1 1 1 m e d c b a m2 e2 d2 c2 b2 a2 m3 e3 d3 c3 b3 a3 m4 e4 d4 c4 b4 a4 m5 e5 d5 c5 b5 a5 Calculeu D6 i generalitzeu el resultat.
2 .
P 11 Sigui Dn = a0 a1 a2 . . an−1 an −1 x 0 . .
0 0 0 −1 x . .
0 0 .
.
.
. .
.
.
.
.
.
. .
.
.
0 0 0 . .
x 0 0 0 0 . .
−1 x Demostreu que Dn = x .
Dn−1 + an . Calculeu Dn .
P 12 Busqueu tots els valors del par` ametre m verificant que 2 6 m+7 7 m − 1 2m − 5 m − 6 3m − 5 2 m+1 2m m+3 1 5 m+6 5 =0 P 13 Busqueu tots els valors del par` ametre m verificant que 1 2 + 2m 3 + 4m m + 1 2−m 2−m 3 − 3m 1 − m =0 4 + 5m 3 + 6m 5 + 4m m + 2 4 − 3m 6+m  P 14 Donada la matriu de M3 (R)   A=  9 + 2m 3  −3 2 −1   1 , demostreu que ´es invertible i calculeu-ne  1 2 0 −1 2 la inversa.
 1 2 4   A= 3 0 1  1 2 1 P 15 Discutiu si ´es invertible la matriu de M3 Z/(n) ,      Calculeu la inversa (si existeix) per n = 5 i n = 9.
P 16 Calculeu el valor del determinant Dn = 1−n 1 .
. .
1 1 1−n .
. .
1 1 1 1−n . .
1 .
.
.
. .
.
.
.
.
. .
.
1 1 .
. . 1−n 3 .
P 17 Comproveu, sense desenvolupar, la seg¨ uent igualtat: a+b b+c c+a e+f f +g g+e i+j j+k k+i a = 2 b c e f g i  j k m   P 18 Determineu els valors reals de m pels quals la matriu A =  1  1 1 a P 19 Comproveu que 1 b c+a 1 c a+b = 0.
a 1 1 . . 1 1 a 1 . . 1 P 20 Comproveu que 1 1 a . . 1 .
.
.
. .
.
.
.
.
. .
.
= (a − 1)n−1 (a + n − 1).
1 1 1 . . a 4    m 1  ´es invertible.
 1 m b+c 1 1 ...