Mecánica Cuántica - Problema 32 (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 12
Subido por

Vista previa del texto

.
32 Considereu la funci´ o d’ona gaussiana C ip0 x 1 Â(x) = N exp ≠ ~ 4 3 x ≠ x0 ‡x 42 D .
(a) Trobeu la constant de normalitzaci´o N .
(b) Calculeu els valors esperats de X i P .
(c) Calculeu les incerteses X, amb el signe d’igualtat.
P i comproveu que satisfan la relaci´o de Heisenberg Soluci´ o: (a) Cal imposar que ÈÂ|ÂÍ = 1. Utilitzant la resoluci´o de la identitat en la representaci´o de posicions, es t´e ÈÂ|ÂÍ = ÈÂ| |ÂÍ = 2 = |N | per tant, ⁄ +Œ ≠Œ ⁄ +Œ ≠Œ C ÈÂ|xÍÈx|ÂÍdx = 1 exp ≠ 2 3 42 D x ≠ x0 ‡x 2 ÈÂ|ÂÍ = 1 =∆ |N | ⁄ +Œ ≠Œ ⁄ +Œ  (x)Â(x)dx = ú ≠Œ 2 dx = . . . Schaum . . . = |N | Ò 2fi‡x2 = 1 =∆ |N | = |Â(x)|2 dx Ò 2fi‡x2 , 1 .
(2fi‡x2 )1/4 (0.1) (0.2) (b) El valor esperat de la posici´ o ´es ÈXÍ = ÈÂ|X|ÂÍ. Introduint dues identitats, tenim ÈXÍ = ÈÂ| X |ÂÍ = ⁄ +Œ ⁄ +Œ ≠Œ ≠Œ (0.3) ÈÂ|xÍÈx|X|xÕ ÍÈxÕ |ÂÍdxdxÕ .
Notem que els estats |xÍ s´ on propis d’X amb valor propi x, a m´es, se satisf`a Èx|xÕ Í = ”(x ≠ xÕ ). Llavors, Èx|X|xÕ Í = Èx|xÕ |xÕ Í = xÕ Èx|xÕ Í = xÕ ”(x ≠ xÕ ) = x”(x ≠ xÕ ). De (0.3), ÈXÍ = En el nostre cas, ⁄ +Œ ⁄ +Œ ≠Œ ≠Œ  ú (x)x”(x ≠ xÕ )Â(xÕ )dxdxÕ = 2 ÈXÍ = |N | ⁄ +Œ ≠Œ C 1 x exp ≠ 2 3 x ≠ x0 ‡x ⁄ +Œ ≠Œ 42 D x|Â(x)|2 dx.
(0.4) (0.5) dx.
Per fer la integral anterior, efectuam el canvi u = x ≠ x0 , du = dx, resulta que 2 ÈXÍ = |N | = x0 .
⁄ +Œ ≠Œ C 1 (u + x0 ) exp ≠ 2 3 u ‡x 42 D 2 dx = |N | x0 ⁄ +Œ ≠Œ C 1 exp ≠ 2 3 u ‡x 42 D du (0.6) Aquest resultat ja era d’esperar, ja que la funci´o d’ona ´es una gaussiana centrada en el punt x0 . Per calcular el valor esperat de P , procedim de la mateixa manera. En aquest cas tenim ÈP Í = ÈÂ| P |ÂÍ = ⁄ +Œ ⁄ +Œ ≠Œ ≠Œ 1 ÈÂ|xÍÈx|P |xÕ ÍÈxÕ |ÂÍdxdxÕ .
(0.7) .
Per`o ara, Èx|P |xÕ Í = ≠i~ Llavors ⁄ +Œ d d Èx|xÕ Í = ≠i~ ”(x ≠ xÕ ).
dx dx 3 (0.8) 4⁄ +Œ d ÈP Í =  (x)dx ≠i~ ”(x ≠ xÕ )Â(xÕ )dxÕ dx ≠Œ ≠Œ 3 4 ⁄ +Œ d =  ú (x) ≠i~ Â(x)dx dx ≠Œ 3 4 ⁄ +Œ ip0 x ≠ x0 ú = ≠i~  (x) ≠ Â(x)dx ~ 2‡x2 ≠Œ ú C ⁄ +Œ = ≠i~|N |2 exp ≠ ≠Œ ⁄ +Œ ip0 2 = ≠i~|N | 1 2 3 C x ≠ x0 ‡x 1 exp ≠ ~ 2 ≠Œ 3 42 D 3 x ≠ x0 ‡x (0.9) 4 ip0 x ≠ x0 ≠ dx ~ 2‡x2 42 D dx = ≠i~ ip0 = p0 .
~ Altrament, tenim (considerant que P ´es autoadjunt: P = P † ) 3 4ú d Èx|P |x Í = Èx |P |xÍ = ≠i~ Õ ”(xÕ ≠ x) dx Õ Õ ú Llavors, de (0.7) ÈP Í = ⁄ +Œ ≠Œ  (x)dx ú ⁄ +Œ ≠Œ = i~ d ”(xÕ ≠ x).
dxÕ i~” Õ (xÕ ≠ x)Â(xÕ )dx; (0.10) (0.11) de manera que, o b´e integrant per parts, o b´e tractant la delta de Dirac com el que ´es: una distribuci´ o singular (È” Õ (xÕ ≠ x), Â(xÕ )Í = ≠È”(xÕ ≠ x), Â Õ (xÕ )Í = ≠Â Õ (x)), es t´e ÈP Í = ⁄ +Œ ≠Œ 3 4 d  (x) ≠i~ Â(x)dx.
dx ú D’una manera o altra, s’arriba al mateix resultat.
(0.12)  (c) La incertesa X, ´es: X = ÈX 2 Í ≠ ÈXÍ2 . Llavors podem calcular ÈX 2 Í de manera an`aloga a com hem calculat ÈXÍ, tot tenint en compte que Èx|X 2 |xÕ Í = x2 ”(x ≠ xÕ ).
O b´e podem utilitzar la seg¨ uent f´ormula: ( X)2 = ÈÂ|(X ≠ ÈXÍ)2 |ÂÍ. Procedint com abans, arribam a ⁄ ( X)2 = +Œ ≠Œ (x ≠ x0 )2 |Â(x)|2 dx.
(0.13) On he tingut en compte que Èx|(X ≠ x0 )2 |xÕ Í = (x ≠ x0 )2 ”(x ≠ xÕ ). Posant-hi la funci´o d’ona de l’enunciat, trobam que X 2 = ‡x2 , com tamb´e era d’esperar. La incertesa en  el moment, ´es P = ÈP 2 Í ≠ ÈP Í2 . Calculem ÈP 2 Í. D’acord amb tot el que hem dit, se segueix: A B ⁄ +Œ 2 2 ú 2 d ÈP Í =  (x) ≠~ Â(x)dx.
(0.14) dx2 ≠Œ Despr´es de calcular la derivada segona i les corresponents integrals, s’obt´e que ÈP 2 Í = ~2 /(4‡x2 )+p20 . Per tant, P = ~/(2‡x ). Amb aquests resultats a m`a, podem comprovar si se satisf` a la igualtat en el principi d’incertesa de Heisenberg: P X = 2‡~x ‡x = ~2 .
2 ...