Tema 3. Sistemas de partícules (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 1º curso
Asignatura Fonaments de Mecànica
Año del apunte 2014
Páginas 20
Fecha de subida 15/10/2014
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Descripción

Tercer tema del curso de mecánica clásica, sistemas de partículas.

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3 Sistemas de partículas 3.1 Sistemas de partículas 3.1.1 Fuerzas externas e internas en un sistema de partículas 3.1.2 Centro de masas 3.1.3 Movimiento del centro de masas 73 73 73 75 3.2 Teoremas fundamentales 3.2.1 Teorema del impulso 3.2.2 Sistemas de referencia laboratorio y CM 3.2.3 Momento angular. Descomposición del movimiento en el del CM y relativo al CM 3.2.4 Teorema del momento angular 3.2.5 Teorema del trabajo-energía para un sistema de partículas 3.2.6 Descomposición de la energía cinética en contribuciones del CM y relativa al CM 76 76 77 3.3 El problema de dos cuerpos 83 3.4 Choques entre dos partículas 85 3.5 Sistemas de masa variable 88 78 79 80 82 71 72 3.1 Sistemas de partículas 3.1.1 Fuerzas externas e internas en un sistema de partículas Llamaremos sistema de partículas a un conjunto de N partículas de masa mi y que están situadas según los vectores de posición ri respecto a un cierto origen de coordenadas, tal como se indica en la Figura 3.1. Sobre las partículas que integran el sistema pueden actuar dos tipos de fuerzas: aquellas que son debidas a causas externas mj Z al sistema (se deben al medio ambiente que rodea el sistema) y cuya resultante sobre la f ij mN partícula i-ésima llamaremos Fi , y fuerzas internas de interacción con el resto de rj f Fi ji partículas que integran el sistema, y que llamaremos f ij (fuerza de acción sobre la mi ri rN partícula i-ésima debido a la partícula jr2 ésima). Por la tercera ley de Newton, a la m2 fuerza f ij , que hace la partícula i sobre la Y r1 X j , le corresponde una fuerza de reacción f ji = − f ij que actúa sobre la partícula j y m1 que es debida a la partícula i . En consecuencia, las acciones y reacciones están todas aplicadas en el interior del sistema de partículas, aunque no sobre el Figura 3.1. Fuerzas externas e internas en un sistema de partículas.
mismo cuerpo.
Las fuerzas producidas por causas externas sobre el sistema de partículas se llaman fuerzas externas y las reacciones correspondientes se encuentran todas aplicadas sobre los agentes externos.
3.1.2 Centro de masas (CM) Si cada una de las partículas del sistema se encuentra en una posición ri ( i = 1,..., N ) respecto a un determinado sistema de coordenadas, definiremos el centro de masas como el punto que tiene como vector de posición: N R = ∑m r i =1 N i i ∑m i =1 N = ∑m r i =1 M i i , i donde M es la masa total del sistema de partículas. En realidad, R es una especie de posición media de las partículas, pesada con las masas de éstas. Esta ecuación vectorial se puede descomponer en tres ecuaciones escalares, ∑ xi mi ; Y = ∑ yi mi ; Z = ∑ zi mi .
X = M M M 73 El concepto de centro de masas se puede extender también al caso de cuerpos continuos (sólidos rígidos). Un cuerpo continuo se puede imaginar descompuesto en masas elementales ∆mi , de tal manera que se puede definir: ri ∆mi lim ∑ ∫ r dm , i R = = V ∆mi → 0 M M donde la integral se extiende a todo el volumen V del cuerpo. A efectos de cálculo, conviene tener en cuenta que si un cuerpo continuo o un sistema de partículas tienen un elemento de simetría (plano, eje o punto), el centro de masas se encuentra sobre éste.
Para calcular la masa total M de un cuerpo continuo, conviene utilizar la densidad que se define como: ρ ( r ) = dm dV ; de tal manera que la masa total del cuerpo se puede calcular a partir de la siguiente integral: M = ∫ dm = ∫ ρ ( r ) dV .
V V Ejemplos: 1. Centro de masas de una varilla homogénea de longitud l .
dm = M dx l xCM l 1 = M l M 1 l ∫0 x l dx = l ∫0 xdx = 2 El centro de masas coincide con el centro de simetría de la barra.
X 2. Centro de masas de una lámina cuadrada homogénea de lado l . En este caso, M dm = 2 dx dy , Y l por lo tanto, xCM = dy yCM 1 M 1 = M ∫ xdm = l l 1 1 l2 l xdx dy = l= 2 ∫ 2 ∫ l 0 l 2 2 0 l l 1 1 l2 l ydm = dx ydy = l= 2 ∫ 2 ∫ ∫ l 0 0 l 2 2 Como en el caso de la varilla homogénea, el centro de masas coincide con el centro de X dx simetría de la lámina cuadrada.
3. Centro de masas de una pirámide regular de base cuadrada de lado l y altura h .
Por razones de simetría el centro de masas se encuentra sobre la perpendicular Z al centro de la base, en algún punto del eje de simetría cuaternario que va desde h el vértice superior de la base hasta el dm centro del plano de la base. Además, este r eje de simetría de rotación se encuentra l Y en la intersección de los dos planos de simetría de la pirámide.
En X 74 consecuencia, xCM = l 2 y yCM = l 2 Vamos a calcular zCM . Para ello descompondremos la pirámide en elementos de masa dm con z constante (ortoedros paralelos al plano de la base y de altura dz ). Si r es el lado del cuadrado que forma la base del ortoedro, a una cierta altura z , se tiene que: h−z h h−z = → r=l .
r l h Vamos a calcular, ahora, el volumen de la pirámide, 0 l2 2 l 2  t3  l 2h h − z dz = − t dt = − = ∫0 ( ) h 2 ∫h h 2  3  h 3 donde, para calcular la integral, hemos hecho el cambio h − z = t y dz = − dt . De acuerdo con todo esto, 2 M 3M 3M 2 3M 2  h − z  2 ρ= = 2 → dm = ρ dV = ρ r dz = 2 r dz = 2 l   dz V l h l h l h  h  3M 2 = 3 ( h − z ) dz h Por lo tanto, h h h 1 1 3M 3 2 zCM = zdm = z h − z dz = z 3 + zh 2 − 2 z 2h ) dz ( ) 3 ∫ 3 ∫( ∫ M 0 M h 0 h 0 h h l2 V = ∫ dV = ∫ r dz = 2 h 0 0 h 0 2 2 h 3  z4 h2 z2 2 3  3 h4 h = 3 + − hz  = 3 = h 4 2 3  0 h 12 4 3.1.3 Movimiento del centro de masas De la definición del centro de masas se deduce que para un sistema de N partículas, N MR = ∑ mi ri i =1 Derivando respecto al tiempo esta expresión, N dR N dr M = ∑ mi i → MV = ∑ mi vi , dt i =1 dt i =1 donde vi es la velocidad de la partícula i-ésima y V la velocidad del centro de masas.
Si derivamos de nuevo, N d 2R N d 2r M 2 = ∑ mi 2i → MA = ∑ mi ai , dt dt i =1 i =1 donde ai es la aceleración de la partícula i-ésima y A = d 2 R dt 2 la aceleración del centro de masas. Si aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas, mi ai = Fi + ∑ f ji j ≠i   MA = ∑  Fi + ∑ f ji  = ∑ Fi + ∑∑ f ji = ∑ Fi , i  j ≠i i j ≠i i  i ya que, ∑∑ f i j ≠i ji = ∑ pares i , j f ji + f ij = 0 ; (f ji ) = − f ij , 75 por lo tanto, MA = Fext , donde Fext es la resultante de todas las fuerzas exteriores. El centro de masas se mueve como una partícula de masa M sometida solamente a la acción de las fuerzas externas.
Las fuerzas internas no afectan al movimiento del centro de masas.
3.2 Teoremas fundamentales 3.2.1 Teorema del impulso Vamos a definir la cantidad de movimiento total del sistema de partículas a partir de la suma sobre las cantidades de movimiento de las partículas que integran el sistema.
N N i =1 i =1 P = ∑ pi = ∑ mi vi = MV Es decir, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad de su centro de masas. Derivando la ecuación anterior respecto del tiempo y teniendo en cuenta que M ≡ cte , se tiene que, dP dV =M = MA = Fext dt dt Esta ecuación es la generalización de la segunda ley de Newton para un sistema de partículas. Al igual que en el caso de una partícula, se tiene que: P t P0 0 ∫ dP = ∫ Fext dt → P − P0 = I ext Esta última igualdad es el teorema del impulso para sistemas de partículas.
La variación de la cantidad de movimiento del sistema es igual al impulso mecánico de la resultante de las fuerzas externas.
Nótese que las fuerzas internas no producen cambios en la cantidad de movimiento total: por la tercera ley de Newton son iguales y opuestas dos a dos, y producen cambios en la cantidad de movimiento de las partículas que son iguales dos a dos y que, por lo tanto, se anulan.
Un corolario importante de este teorema se refiere al caso en que la resultante de las fuerzas externas sea cero.
dP = 0 → P ≡ cte dt Si la resultante de las fuerzas externas es cero, el movimiento del centro de masas es rectilíneo y uniforme de acuerdo con la primera ley de Newton.
Fext = 0 → Ejemplos: 1. Cuando un proyectil explota en el aire, el CM describe la misma trayectoria que si no se hubiera producido la explosión. Evidentemente, el CM es un punto matemático que no tiene porque coincidir con la posición de ninguna de las partículas materiales que integran el sistema.
76 2. Una bala de masa m con velocidad v atraviesa un bloque de madera de masa M , saliendo por el otro lado a velocidad v′ < v . Calcular la velocidad final del bloque si inicialmente estaba en reposo. Si consideramos el sistema integrado por la bala y el bloque no actúan fuerzas exteriores, de manera que la cantidad de movimiento del sistema se conserva, m ( v − v ′) mv = mv′ + mbvb → vb = mb 3. Cuando un átomo emite un fotón, retrocede con exactamente la misma cantidad de movimiento del fotón, pero en sentido opuesto.
3.2.2 Sistemas de referencia laboratorio y CM Llamaremos sistema laboratorio al sistema inercial desde el que se observa la evolución del sistema de partículas (LAB). Además, también tendremos el sistema de referencia del CM que se mueve solidariamente con éste. Vamos a definir los vectores de posición de las partículas que forman el sistema respecto a los dos sistemas de Z Z' mi ri ri′ Y LAB R X CM Y' X' Figura 3.2. Sistemas de referencia laboratorio y centro de masas.
referencia (ver Figura 3.2), dri dR dri′ = + → vi = V + vi′ dt dt dt Si multiplicamos esta ecuación por mi y sumamos para todas las partículas del sistema, ri = R + ri′ → N N i =1 i =1 ( ) N ∑ mi vi = ∑ mi V + vi′ = MV + ∑ mi vi′ → i =1 N N i =1 i =1 ∑ pi = MV + ∑ pi′ Si ahora tenemos en cuenta que: N P = ∑ pi = MV , i =1 concluimos que: N ∑ p′ = 0 i =1 i Es decir, la cantidad de movimiento total medida respecto al sistema CM es nula. Esta propiedad caracteriza al sistema CM que, por otro lado, es el único para el que se 77 cumple. Esto quiere decir que también podemos definir el sistema CM como aquel para el cual P′ = 0 . El sistema CM es útil para estudiar colisiones entre partículas, dado que respecto a él la cantidad de movimiento total es cero, tanto antes como después de la colisión.
3.2.3 Momento angular. Descomposición del movimiento en el del CM y el relativo al CM El momento angular de la partícula i respecto al origen del sistema LAB es li = ri × pi = ri × ( mi vi ) = R + ri′ × mi V + vi′ ( ) ( ) = R × mV + R × mi vi′ + ri′× mV + ri′× mi vi′ i i Z vi Z' mi ri ri′ Y LAB R X CM Y' X' Figura 3.3. Sistemas de referencia LAB y CM.
Sumando para todas las partículas que constituyen el sistema podemos calcular el momento angular total L , N N  N   N   N  L = ∑ li =R ×  ∑ mi V + R ×  ∑ mi vi′  +  ∑ ri′mi  × V + ∑ ri′× mi vi′ i =1  i =1   i =1   i =1  i =1 N Pero N ∑ m r′ = 0 y ∑ m v′ = 0 , ya que estos sumatorios corresponden al cálculo de las i =1 i i i =1 i i coordenadas del CM respecto al sistema CM, y a la velocidad del CM respecto al sistema CM, respectivamente. En consecuencia, N N i =1 i =1 L = R × MV + ∑ ri′× pi′ = R × P + ∑ li′ El momento angular total es la suma del momento angular del CM respecto del origen del sistema LAB más el momento angular respecto del CM. Por lo tanto, el movimiento del sistema de partículas se puede descomponer en la rotación del CM alrededor del origen del sistema LAB más la rotación del sistema relativa al CM.
78 3.2.4 Teorema del momento angular Vamos a calcular la derivada del momento angular total respecto del tiempo, dL d  N  N d = ∑ li = ∑ ( ri × mi vi ) dt dt  i =1  i =1 dt N dv  N  = ∑  vi × mi vi + ri × mi i  = ∑ ri × mi ai dt  i =1 i =1  Por la segunda ley de Newton, mai = Fi + ∑ f ji ; luego j ≠i N   N dL = ∑ ri ×  Fi + ∑ f ji  = ∑ ri ×Fi + ∑∑ ri × f ji dt i =1 j ≠i i =1 j ≠i   i =1 El último sumando de la ecuación anterior se puede escribir como: N N ∑∑ r × f i =1 j ≠i i N ji ( ) ( ) = ∑∑ ri × f ji + rj × f ij i =1 j <i = ∑∑ ri × f ji − rj × f ji = ∑∑ ( ri − rj ) × f ji N i =1 j <i N i =1 j <i Si f ji es una fuerza central que está dirigida según la recta que une las dos partículas, el producto vectorial ( ri − rj ) × f ji es nulo, ya que ri − rj es el vector que tiene origen en la partícula j y extremo en la partícula i , y por lo tanto, los dos vectores son paralelos.
En consecuencia, N dL N = ∑ ri × Fi = ∑ M i = M ext , dt i =1 i =1 donde M i es el momento de la fuerza Fi respecto al origen del sistema LAB y M ext es la resultante de los momentos de las fuerzas exteriores respecto al origen del sistema de referencia LAB. El resultado anterior constituye el teorema del momento angular para un sistema de partículas. Si N = 1 , la ecuación anterior se reduce a la de una partícula, ya que todas las fuerzas son exteriores.
Si M ext = 0 → dL dt = 0 → L ≡ cte . Este resultado constituye el teorema de conservación del momento angular para un sistema de partículas.
Si el momento de la resultante de las fuerzas exteriores es nulo, el momento angular del sistema de partículas se conserva.
Al igual que pasa para la cantidad de movimiento, el momento angular de cada partícula puede variar; es sólo el momento angular total del sistema el que se mantiene constante cuando el momento resultante de las fuerzas exteriores es cero.
Ejemplo: En un átomo, las fuerzas de interacción son de origen electrostático (fuerzas centrales) y, por lo tanto, el momento angular del átomo se co nserva si no actúan fuerzas exteriores.
79 3.2.5 Teorema del trabajo-energía para un sistema de partículas La fuerza total sobre cada partícula es la suma Fi + ∑ f ji . Vamos a calcular el j ≠i trabajo realizado por estas fuerzas cuando el sistema pasa de un estado inicial, en el que las posiciones de las partículas son r10 … rN0 , a un estado final en el que las partículas están situadas en r11 … rN1 . El trabajo realizado por las fuerzas cuando el sistema se desplaza entre estas dos configuraciones siguiendo un cierto camino vale: 1 N ri 1 1 ri N ri N   W = ∑ ∫  Fi + ∑ f ji  ⋅ dri = ∑ ∫ Fi ⋅ dri + ∑∑ ∫ f ji ⋅ dri i =1 r 0  j ≠i i =1 r 0 i =1 j ≠i r 0  i i i ri1 ( ) ri1 = ∑Wi + ∑∑ ∫ f ji ⋅ dri + f ij ⋅ drj = ∑Wi + ∑∑ ∫ f ji ⋅ ( dri − drj ) N N i =1 i =1 j <i r 0 i ri 1 N N i =1 i =1 j <i r 0 i N N i =1 i =1 j <i r 0 i N N i =1 i =1 j <i = ∑Wi + ∑∑ ∫ f ji ⋅ drji = ∑Wi + ∑∑ w ji donde Wi es el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre la partícula i , mientras que w ji es el trabajo realizado por la fuerza interna f ji .
Por otro lado, si utilizamos la segunda ley de Newton aplicada a cada partícula, podremos calcular el trabajo que realizan las fuerzas cuando el sistema se desplaza entre las dos configuraciones a partir de la siguiente ecuación: mi ai = Fi + ∑ f ji j ≠i → 1 N ri 1 N ri r1 N i dv dr W = ∑ ∫ mi ai ⋅ dri = ∑ ∫ mi i ⋅ dri = ∑ ∫ mi i ⋅ dvi dt dt i =1 r 0 i =1 r 0 i =1 r 0 i i i 1 N N  v2  = ∑ mi ∫ vi ⋅ dvi = ∑ mi  i  = T1 − T0 = ∆T i =1 i =1  2 0 0 donde se ha definido la energía cinética total del sistema como: N 1 T = ∑ mi vi2 i =1 2 Igualando las dos expresiones que hemos obtenido para el trabajo total de las fuerzas que actúan sobre el sistema se obtiene: 1 N N i =1 i =1 j <i W = ∑Wi + ∑∑ w ji = ∆T , que no es más que el teorema trabajo-energía para un sistema de partículas.
La variación de la energía cinética total de un sistema de partículas es igual al trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema.
Si las fuerzas internas f ji sólo dependen de rji = ri − rj y son fuerzas conservativas que derivan de potenciales u ji ( rji ) , se puede escribir que f ji ( rji ) = −∇u ji ( rji ) , de forma que se cumple, 80 1 w ji = ∫ f ji ⋅ drji = u ji ( rji0 ) − u ji ( rji1 ) 0 Si definimos u ( r1 … rN ) = ∑∑ u ji ( rji ) , N i =1 j <i el teorema trabajo-energía se puede escribir en la forma N ∑W + u ( 0) − u (1) = T − T ; i i =1 1 0 es decir, N ∑W i i =1 = T1 + u (1)  − T0 + u ( 0 )  A la magnitud N N 1 T + u = ∑ mi vi2 + ∑∑ u ji ( rji ) ≡ Eint i =1 2 i =1 j <i le llamaremos energía interna del sistema y, por lo tanto, en función de esta nueva magnitud tenemos N ∑W i =1 i = ∆Eint ; es decir, el incremento de energía interna del sistema es igual al trabajo de las fuerzas exteriores.
Si las fuerzas exteriores son también conservativas, entonces Fi = −∇U i ( ri ) 1 Wi = ∫ Fi ⋅ dri = U i ( ri 0 ) − U i ( ri 1 ) 0 y podemos definir la energía potencial asociada a las fuerzas exteriores como N U ( r1 … rN ) = ∑U i ( ri ) i =1 ∑W = ∑ U ( r ) − U ( r ) = U ( 0) − U (1) = ∆E N N 0 i =1 i i =1 i i 1 i i int = T1 + u (1)  − T0 + u ( 0 )  En consecuencia, T1 + U (1) + u (1) = T0 + U ( 0) + u ( 0 ) = E y la energía mecánica total del sistema E = T +U + u se conserva, ya que todas las fuerzas que actúan sobre el sistema son conservativas.
Observación: Dado que las fuerzas internas realizan trabajo, la energía cinética de las partículas puede variar durante la evolución del sistema, incluso cuando no actúan fuerzas externas (Ej.: explosión de un proyectil que se rompe en fragmentos).
81 Ejemplo: Las masas de los dos cuerpos de la figura son de 1 kg y 2 kg. Se acercan a una cierta distancia mínima, comprimiendo un muelle que se encuentra entre ellos. Después, el sistema se libera sobre una superficie horizontal pulida (sin rozamiento). El muelle, que no tiene masa, cae sobre la superficie horizontal después de haber cedido su energía elástica a las masas. Como consecuencia, el bloque B adquiere una velocidad de 0.5 m/s. ¿Cuál era la energía potencial almacenada en el muelle? vA A A B E = E pot = vB 1 2 kx 2 E= (situación inicial) B 1 1 m Av A2 + mB vB2 2 2 (situación final) Dado que no actúan fuerzas externas en la dirección del movimiento (la fuerza del muelle es una fuerza interna), la cantidad de movimiento total del sistema se conserva. Por lo tanto, inicial: P = 0  mB vB = 1 m/s  vA = final: P = − mAv A + mB vB  mA y, en consecuencia, 1 1 E = m Av A2 + mB vB2 = 0.5 + 0.25 = 0.75 J 2 2 Teniendo en cuenta que las fuerzas internas (muelle) son conservativas, E pot = E = 0.75 J 3.2.6 Descomposición de la energía cinética en contribuciones del CM y relativa al CM Recordemos que las transformaciones entre los sistemas de referencia LAB y CM son: ri = R + ri′ ; vi = V + vi′ Vamos a calcular la energía cinética total del sistema en función de las velocidades V y vi′ , ( )( ) ( N N N 1 1 1 T = ∑ mi vi2 = ∑ mi V + vi′ ⋅ V + vi′ = ∑ mi V 2 + 2V ⋅ vi′ + vi′2 i =1 2 i =1 2 i =1 2 = = ya que N N i =1 i =1 ) N N 1 N 1 1 1  2  N  2 2 ′ ′ m V + m v ⋅ V + m v = MV + mi vi′2 ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i i   2  i =1  2 i =1 2 i =1 2  i =1  1 MV 2 + T ′ 2 ∑ mi vi′ = ∑ pi′ = 0 es la cantidad de movimiento total respecto al CM, que es siempre cero.
82 El término 1 2 MV 2 es la energía cinética del CM (la de una partícula de masa M N 1 que se mueve solidariamente con el CM), mientras que T ′ = ∑ mi vi′2 es la energía i =1 2 cinética relativa al CM (la energía cinética que mediría un observador situado en el CM). Este tipo de descomposición es bastante general. Ya hemos visto que se verifica también para la cantidad de movimiento y el momento angular.
3.3 El problema de dos cuerpos Consideremos un sistema constituido por dos partículas de masas m1 y m2 , que interactúan entre sí a través de las fuerzas internas f12 = − f 21 . Supongamos, además, que la resultante de las fuerzas externas es igual a cero. Si aplicamos la segunda ley m1 del Newton al estudio del movimiento de las partículas, v1 f 21 m1a1 = f 21 f12 m2 v2 Figura 3.4. Dos partículas moviéndose en interacción mutua m2 a2 = f12 = − f 21 Este sistema de seis ecuaciones diferenciales acopladas se puede resolver fácilmente teniendo en cuenta que: m m1a1 = − m2a2 → a1 = − 2 a2 m1 A partir de este resultado vamos a calcular la aceleración relativa, a12 = a2 − a1 , entre las dos partículas, m2 m + m2 m1 a2 = 1 a2 → a2 = ( a2 − a1 ) m1 m1 m1 + m2 Multiplicando los dos miembros de la última ecuación por m2 , mm mm m2 a2 = f12 = 1 2 ( a2 − a1 ) = 1 2 a12 = µ a12 m1 + m2 m1 + m2 Por lo tanto, el estudio del movimiento relativo de las dos partículas es equivalente al a2 − a1 = a2 + correspondiente a una partícula de masa µ = ( m1m2 ) ( m1 + m2 ) ( µ ≡ masa reducida del sistema ) que se mueve bajo la acción de la fuerza f12 .
Por otro lado, y teniendo en cuenta que no actúan fuerzas exteriores, el CM del sistema seguirá un movimiento rectilíneo uniforme, R = R0 + Vt , donde R y R0 son los vectores que indican la posición del CM en los instantes t e inicial, respectivamente.
En consecuencia, hemos reducido el problema del estudio del movimiento de dos cuerpos interactuantes a dos problemas independientes de un cuerpo: 1. el movimiento relativo entre las dos partículas, que equivale al de una partícula de masa µ sometida a la fuerza de interacción f12 , 83 d 2 r12 = µ a12 dt 2 donde r12 = r2 − r1 es la coordenada relativa entre las dos partículas; 2. el movimiento del centro de masas, que sigue una trayectoria rectilínea y uniforme, f12 = µ R ( t ) = R0 + Vt Una vez hemos determinado r12 ( t ) y R ( t ) podemos calcular r1 ( t ) y r2 ( t ) a partir de las relaciones: m r + m2 r2 r12 = r2 − r1 ; R = 1 1 ; m1 + m2 y así se obtiene que: m2 r1 = R − r12 m1 + m2 m1 r12 m1 + m2 Vamos a calcular, ahora, la energía cinética total del sistema como la suma de la contribución correspondiente al movimiento relativo respecto al CM más la contribución asociada al movimiento del CM. La velocidad, V , del CM se puede obtener simplemente derivando respecto del tiempo la expresión de R , dr dr m1 1 + m2 2 dR dt dt = m1v1 + m2v2 V= = dt m1 + m2 m1 + m2 Por lo tanto, las velocidades de las dos partículas respecto al CM son: ( m + m2 ) v1 − m1v1 − m2v2 = m2 v − v v1′ = v1 − V = 1 ( 1 2) m1 + m2 m1 + m2 r2 = R + ( m1 + m2 ) v2 − m1v1 − m2v2 m1 ( v2 − v1 ) m1 + m2 m1 + m2 De acuerdo con estas expresiones, la energía cinética de cada partícula en el sistema CM viene dada por: 1 m1m22 2 T1′ = v − v2 ) 2 ( 1 2 ( m1 + m2 ) , 1 m2 m12 2 T2′ = ( v2 − v1 ) 2 ( m1 + m2 ) 2 y la energía cinética total respecto al sistema CM es: 1 ( m1 + m2 ) m1m2 1 m1m2 1 1 2 2 2 T′ = ( v1 − v2 ) = ( v1 − v2 ) = µ ( v2 − v1 ) = µv122 , 2 2 ( m1 + m2 ) 2 ( m1 + m2 ) 2 2 v2′ = v2 − V = = lo cual equivale a la energía cinética de una partícula de masa µ que se mueve con velocidad igual a la relativa entre las dos partículas, v12 . Es decir, la energía cinética total del sistema formado por las dos partículas es: 84 1 1 MV 2 + µ v122 2 2 Por otro lado, el momento angular de las dos partículas es     m2 m1 L = r1 × m1v1 + r2 × m2v2 = r1 × m1 V − v12  + r2 × m2 V + v12  m1 + m2  m1 + m2    T= = ( m1r1 + m2 r2 ) × V + ( r2 − r1 ) × m1m2 v12 m1 + m2 = R × MV + r12 × µ v12 Es decir, el momento angular total es la suma del momento angular del CM respecto al origen del sistema LAB más el momento angular asociado al movimiento relativo de las dos partículas. Si comparamos este resultado con la relación general L = R × MV + L′ , vemos que el momento angular medido desde el CM coincide con el correspondiente al movimiento relativo, L′ = r12 × µ v12 .
En resumen, la energía cinética y el momento angular del movimiento relativo no son más que las magnitudes correspondientes medidas desde el sistema CM. Esto nos asegura que podemos considerar el movimiento relativo como si fuera el de una partícula efectiva de masa µ , para el que son aplicables los teoremas de conservación de la energía mecánica y el momento angular.
3.4 Choques entre dos partículas Buena parte de nuestro conocimiento actual de la estructura interna de la materia se ha obtenido a partir de experimentos de colisión de partículas con núcleos, átomos, moléculas, etc. Por ejemplo, a partir de experimentos de colisión de partículas alfa con láminas delgadas de oro, Rutherford descubrió que la carga positiva del átomo estaba concentrada en una región relativamente pequeña del átomo, que tenía un radio 10,000 veces más pequeño que la de éste.
Consideremos dos partículas de masas m1 y m2 que están sometidas sólo a fuerzas internas de interacción mutua, f12 = − f 21 . En este caso, la cantidad de movimiento total del sistema constituido por las dos partículas se conserva y, además, el sistema de referencia del CM es inercial. Normalmente, las fuerzas de interacción f12 y f 21 tienen un cierto alcance limitado, lo que implica que antes y después de la interacción mutua entre ellas, las dos partículas se mueven libremente. Si las fuerzas de interacción no se conocen, podemos obtener información útil sobre ellas analizando los resultados de experimentos de colisión entre partículas.
El problema del choque entre dos v22ii partículas se puede enunciar de forma v2 f general en la siguiente forma: supuestas las dos partículas suficientemente alejadas entre sí como para que entre f12 ≠ 0 ellas no actúe ninguna fuerza de v11ii interacción y conocidas las velocidades v1 f v1i y v2i , hallar las velocidades de las partículas, v1 f y v2 f , después del Figura 3.5. Esquema general del choque entre choque. En muchas ocasiones, no se dos partículas.
85 conoce en detalle la fuerza de interacción entre las dos partículas. Sin embargo, incluso en esos casos, se puede deducir cómo será el movimiento después de la colisión con la ayuda de los teoremas de conservación. Por ejemplo, podemos utilizar el hecho de que la cantidad de movimiento total respecto al sistema CM es nula: las dos partículas tienen momentos iguales y opuestos, tanto antes como después del choque, p1′i = − p2′ i , p1′ f = − p2′ f ; y por lo tanto, el estudio del choque es más sencillo en el sistema CM que en el sistema LAB. Dado que el CM mantiene su velocidad en el transcurso del choque, todas las variaciones de la energía cinética se deben solamente a la contribución del movimiento relativo. De esta forma, las energías cinéticas antes y después del choque son: 1 1 2 Ti = MV 2 + µ ( v2 i − v1i ) 2 2 2 1 1 T f = MV 2 + µ ( v2 f − v1 f ) 2 2 y la variación de la energía cinética, entre los instantes posterior y anterior al choque, se puede calcular simplemente a partir de la diferencia de las energías cinéticas correspondientes al movimiento relativo, 2 1 2 ∆T = µ ( v2 f − v1 f ) − ( v2i − v1i )  .
 2  Se define el coeficiente de restitución, e , como el cociente, e= T f′ v2 f − v1 f = Ti′ v2 i − v1i Los choques se clasifican en elásticos, cuando la fuerza de interacción es conservativa, e inelásticos en caso contrario. En un choque elástico, e = 1 , ya que la energía cinética se conserva. En un choque inelástico, la energía cinética después de la colisión es menor ya que parte de la energía se emplea en deformaciones y/o rozamientos, por lo tanto, e < 1 . Cuando el choque es totalmente inelástico, las dos partículas permanecen unidas después del choque y su velocidad relativa es cero, por lo que el coeficiente de restitución es cero. Para choques en una dimensión se puede definir una versión simplificada del coeficiente de restitución a partir del cociente, v − v1 f e = − 2f v2i − v1i La relación entre las energías cinéticas totales después y antes del choque se define como: 2 1 1 1 1 m1v12f + m2 v22 f MV 2 + µ ( v2 f − v1 f ) 2 2 K=2 =2 1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1i + m2 v2i MV + µ ( v2i − v1i ) 2 2 2 2 En los choques elásticos, K = 1 , ya que la energía total se conserva y la energía potencial de interacción es nula si las partículas están suficientemente alejadas entre sí, antes y después del choque. Para choques inelásticos, K ≠ 1 , y, en general, K < 1 , debido a pérdidas por rozamiento o deformación que tienen lugar durante la colisión.
Los teoremas de conservación permiten escribir el siguiente sistema de ecuaciones cuando estudiamos el problema desde el sistema LAB: 86 m1v1 f + m2 v2 f = m1v1i + m2 v2i (cantidad de movimiento) 1 1 1 1  m1v12f + m2 v22 f = K  m1v12i + m2 v22i  (energía cinética) 2 2 2 2  Este sistema está formado por 4 ecuaciones escalares y 6 incógnitas, si suponemos conocido el coeficiente de restitución. En general, por lo tanto, este sistema es indeterminado y para poderlo resolver deberemos conocer por lo menos dos de las componentes finales de las velocidades. Para choques en dos dimensiones sucede algo parecido (3 ecuaciones y 4 incógnitas), por lo tanto, deberemos conocer una de las componentes de las velocidades. En cambio, en los problemas unidimensionales, el problema queda totalmente determinado a partir de los teoremas de conservación.
Vamos a considerar dos casos extremos.
1. Choque totalmente inelástico: los dos cuerpos quedan unidos después del choque. Como en todos los choques, se conserva la cantidad de movimiento, ya que no actúan fuerzas externas, pero existe una cierta energía perdida en la deformación. El problema es directamente resoluble en tres dimensiones a partir sólo de los teoremas de conservación.
mv +m v ( m1 + m2 ) v f = m1v1i + m2v2i → v f = 1 1i 2 2i = V m1 + m2 Por lo tanto, la velocidad final del sistema después de la colisión coincide con la del CM (constante del movimiento ya que no actúan fuerzas externas). Eso implica que la energía cinética después de la colisión coincide con la energía cinética del CM.
1 T f = MV 2 2 Para calcular la energía perdida en el choque, es conveniente, por lo tanto, evaluar la energía cinética inicial como la suma de la energía cinética del centro de masas más la relativa al CM, 1 1 2 Ti = MV 2 + µ ( v1i − v2i ) 2 2 A partir de estas ecuaciones es fácil calcular la energía perdida en la colisión, 1 1 1 1 2 2 Ti − T f = MV 2 + µ ( v1i − v2i ) − MV 2 = µ ( v1i − v2i ) , 2 2 2 2 y, por lo tanto, el coeficiente K valdrá: 1 MV 2 2 K= 1 1 2 MV 2 + µ ( v1i − v2i ) 2 2 2. Choque elástico ( K = 1 , consideraremos sólo el caso unidimensional). A partir de la conservación de la cantidad de movimiento y la energía tenemos, m1 ( v1 f − v1i ) = m2 ( v2i − v2 f ) m1v1i + m2v2 i = m1v1 f + m2v2 f → m1v12i + m2v22i = m1v12f + m2v22 f m1 ( v12f − v12i ) = m2 ( v22i − v22 f ) Dividiendo las dos ecuaciones entre sí, v1 f + v1i = v2 i + v2 f → v1 f − v2 f = v2 i − v1i , 87 es decir, la velocidad relativa de las dos partículas después del choque es igual a la velocidad relativa inicial antes del choque cambiada de signo. Resolviendo el sistema de ecuaciones, m1 ( v1 f − v1i ) = m2 ( v2 i − v2 f ) v1 f − v2 f = v2i − v1i se obtienen las siguientes expresiones para las velocidades después del choque: m − m2 2m2 v1 f = 1 v1i + v2 i m1 + m2 m1 + m2 v2 f = m2 − m1 2m1 v2 i + v1i m1 + m2 m1 + m2 Casos particulares: I. m1 = m2 → v1 f = v2 i ; v2 f = v1i y las dos partículas intercambian sus velocidades.
II. Si la segunda partícula está inicialmente en reposo ( v2i = 0) , entonces tenemos que: m − m2 2m1 v1 f = 1 v1i ; v2 f = v1i m1 + m2 m1 + m2 m1 ≫ m2 v1 f ≃ v1i ; v2 f ≃ 2v1i m1 = m2 v1 f = 0 ; v2 f = v1i m1 ≪ m2 v1 f ≃ − v1i ; v2 f ≃ 0 3.5 Sistemas de masa variable Hasta ahora sólo hemos estudiado sistemas de partículas cuya masa M es constante con el tiempo. Vamos a estudiar, en este apartado, el caso de un sistema de partículas para el cual la masa varía a un ritmo dM dt . Evidentemente, dM dt es positivo si el sistema incrementa su masa y negativo si pierde masa. Tal como ya vimos, la ecuación F = dP dt es también válida para sistemas de partículas. Vamos a ver, cómo se puede aplicar esta ecuación a sistemas de masa variable. Consideraremos los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo: Sobre una cinta transportadora de masa M cae arena a un ritmo dm dt . La cinta se desplaza a una velocidad constante v y se aplica una fuerza F para desplazarla. La cantidad de movimiento en el instante t es P = ( m + M ) v , por lo tanto, F= m v F dP dm =v , ya que v y M son constantes.
dt dt 88 Ejemplo: Un cohete, que se aleja de la superficie de la Tierra en dirección vertical, expulsa gases, resultado de la combustión, con una velocidad constante − ve , relativa al cohete. En el v intervalo de tiempo dt , la cantidad de movimiento, P , del sistema formado por el cohete y el chorro de gas eyectado varía en −mg dP = d ( mv ) − ( v − ve )dm , = mdv + vdm − vdm + ve dm = mdv + ve dm donde − dm es la masa que se añade al chorro de gas durante el intervalo de tiempo dt . Si F = − mg es la fuerza externa que actúa sobre el cohete, dP dv dm dv dm − mg = = m + ve → m = −mg − ve dt dt dt dt dt − ve El último término de esta ecuación es la impulsión del cohete (este término es positivo ya que la masa del cohete disminuye con t , dm / dt < 0 ). Integrando la ecuación anterior entre el instante inicial ( t0 = 0, v = v0 , m = m0 ) y un instante arbitrario t , v t m m  v = v0 + ve ln  0  − gt m 0 v0 Si t es el tiempo necesario para quemar todo el combustible, entonces m es la masa del cohete vacío y v es la velocidad máxima que adquiere el cohete.
Evidentemente, para maximizar la velocidad, nos interesa que ve sea grande y que dm m m0 ∫ dv = − g ∫ dt − ve ∫ → m0 sea mucho mayor que m .
El cohete Saturno V fue utilizado por la NASA entre los años 1967 y 1973 para los programas Apollo y Skylab. Aún hoy en día, sigue siendo el sistema más potente de despegue que se ha utilizado en programas espaciales. A lo largo de esos años, la NASA utilizó en sus misiones 13 de estos cohetes, que constaban de tres etapas de propulsión. Utilizando las expresiones que hemos obtenido en este apartado, vamos a calcular, en detalle, los parámetros de propulsión de la primera de estas etapas, que utilizaba como combustible queroseno y oxígeno líquido. Los valores de los parámetros característicos del cohete y la primera etapa de propulsión eran: m0 = 3 × 106 kg mc = 2.04 × 106 kg Fimp = ve dm = 3.42 × 107 N dt dm dt = −13.27 × 103 kg/s 89 A partir de los valores de Fimp y dm dt se obtiene ve = Fimp ( dm dt ) −1 = 2577 m/s .
El tiempo total de combustión, tc , se puede calcular fácilmente a partir de la masa total de combustible y la velocidad de combustión, mc = 153.8 s tc = dm dt Las aceleraciones del cohete inicial y final (cuando casi se ha consumido todo el combustible) serán: dv v dm ai = = −g − e = 0.16 g dt m0 dt ve dm = 2.64 g m0 − mc dt Por último, la velocidad que alcanza el cohete cuando ya se ha consumido todo el combustible de la primera etapa de propulsión es:  m0  v f = ve ln   − gtc = 1.43 km/s  m0 − mc  a f = −g − 90 ...