Tema 1. Nombres reals. Teoria de conjunts. Mètode inductiu. (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 1º curso
Asignatura Càlcul d'una variable
Año del apunte 2014
Páginas 12
Fecha de subida 09/10/2014
Descargas 19
Subido por

Descripción

Teoria de nombres reals, amb mencions a la teoria de conjunts, al mètode inductiu i a l'axiomàtica real.

Vista previa del texto

1. INTRODUCCIÓ AXIOMÀTICA DE R.
1 1 INTRODUCCIÓ AXIOMÀTICA DE R.
Suposarem que existeix un conjunt no buit R d’elements, anomenats nombres reals, que satisfan els 10 axiomes que enumerarem a continuació. Aquests axiomes es poden classificar en tres grups: (i) Axiomes de cos (1, 2, 3, 4, 5) (ii) Axiomes d’ordre (6, 7, 8, 9) (iii) Axioma de completesa (10) 1.1 Axiomes de cos (R, +, ·).
Axioma 1: Propietat commutativa, x + y = y + x, xy = yx.
Axioma 2: Propietat associativa, x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z.
Axioma 3: Propietat distributiva, x(y + z) = xy + xz.
Axioma 4: ∀x, y ∈ R sempre ∃ z ∈ R | x + z = y, i es denota per: z = y − x.
• Element neutre: en particular, si x = y → ∃ z = 0 ∈ R | x − x = 0 → x + 0 = x.
• Element oposat: ∀x ∈ R e y = 0 ∃ z = −x ∈ R | − x = 0 − x → x + (−x) = 0.
Axioma 5: Si x, y ∈ R i x = 0 , ∃ z ∈ R | x · z = y, i s’escriu z = y/x.
• Element neutre del producte: en particular, si x = y → ∃ z = 1 | 1 = x/x → x · 1 = x ∀x.
• Element invers: en particular, si y = 1, ∀x = 0 → ∃ z = 1/x = x−1 → x · (x−1 ) = 1.
A partir d’aquests axiomes podem deduir totes les lleis habituals de l’aritmètica, per exemple: −(−x) = x , 1.2 −(x − y) = y − x , (x−1 )−1 = x , x − y = x + (−y) .
(.1) Axiomes d’ordre Suposem ara l’existència d’una relació (<) que estableix un ordre en R i satisfà els següents axiomes: Axioma 6: Es verifica només una de les relacions 1 : x < y, x = y, x > y.
(.2) Aquest axioma ens garanteix l’ordre complet de R: tot element està relacionat amb la resta.
Axioma 7: Si x < y , ∀z ∈ R ⇒ x + z < y + z.
Axioma 8: Si x, y > 0 ⇒ x · y > 0.
Axioma 9: Si x > y i y > z ⇒ x > z.
D’aquests axiomes es poden deduir les regles habituals que regeixen les operacions amb desigualtats.
1 Formalment només cal una relació, <, i la definició x > y ⇔ y < x.
2 1.3 Conseqüències dels axiomes d’ordre 1.) Segons l’axioma 6, el zero, 0 ∈ R, es relaciona amb tot x ∈ R, i això que permet classificar R: x ∈ R+ si x > 0 real positiu x ∈ R− si x < 0 real negatiu x ∈ {0} si x = 0 .
z > 0 ⇒ xz < yz z < 0 ⇒ xz > yz 2.) Si x < y, i (.3) (a) (b) Demostració. (Explicitant cadascun dels axiomes utilitzats) (a) Ax.7 x < y ==⇒ x − x < y − x =⇒ 0 < y − x A partir de: y−x > 0 z>0 Ax.8 Ax.3 ==⇒ z(y − x) > 0 ==⇒ zy − zx > 0 Ax.7 ==⇒ zy − zx + zx > zx ⇒ zy > zx .
(.4) (b) Ax.7 x < y ==⇒ 0 < y − x Ax.7 z < 0 ==⇒ 0 < −z 3.) x>y z>w Ax.8 Ax.3 Ax.7 ==⇒ (y − x)(−z) > 0 ==⇒ −yz + xz > 0 ==⇒ xz > yz . (.5) si y, w > 0 ⇒ xz > yw Demostració.
x>y>0⇒x>0 z>w>0⇒z>0 z>0 x > y ==⇒ xz > yz y>0 z > w ==⇒ yz > yw ⇒ xz > yz > yw ⇒ xz > yw .
(.6) 4.) x > y ⇒ −x < −y Demostració.
sumem (-x) x > y =======⇒ x−x >y−x ⇒ 0>y−x ⇒ 0 − y > −y + y − x ⇒ −y > −x ⇒ −x < −y .
(.7) 1. INTRODUCCIÓ AXIOMÀTICA DE R.
5.) x > y > 0 ⇒ 3 1 1 > >0 y x Demostració.
 x>y>0  1 1 usem 2.
====⇒ x · > y · > 0 1 1  x x x > 0, y > 0 ⇒ ∃ , > 0 x y y ⇒ 1> >0 x 1 1 y ⇒ ·1> · >0 y y x 1 1 ⇒ > > 0.
y x (.8) Abans de presentar el desè axioma, encara necessitem alguns teoremes i definicions.
Teorema .1. (Sobre ordre) Siguin a, b, ε ∈ R | a < b + ε, ∀ε > 0 aleshores ⇒ a ≤ b.
(.9) Demostració. (Reducció a l’absurd) Suposem que a > b i considerem ε = b+ε=b+ a−b > 0. Llavors, 2 a + b (a>b) a + a a−b < = =a 2 2 2 (.10) d’on obtenim b + ε < a, fet que contradiu una de les hipòtesis ⇒ a ≤ b.
1.4 Axioma de completesa Axioma 10: Tot conjunt S no buit de nombres reals que estigui fitat superiorment té un extrem superior (suprem), és a dir, ∃ b ∈ R | b = sup(S). Formalment: Sigui S ⊂ R, S = ∅. Si S està fitat superiorment ⇒ ∃ sup(S) = b, b ∈ R.
Teorema .2. (Propietats del suprem) Tot conjunt no buit de nombres reals amb suprem conté elements tan propers al suprem com es vulgui. Formalment: Sigui S ⊂ R, S = ∅. Si suposem que ∃ b = sup(S) ⇒ ∀c ∈ R | c < b ∃ x ∈ S | c < x ≤ b.
(.11) Demostració.
Suposem S ⊂ R : b = sup(S) ⇒ x ≤ b ∀x ∈ S .
Sigui ε > 0 ⇒ b − ε < b ⇒ b − ε no és fita superior ⇒∃y ∈S | b−ε<y ⇒ b − y < ε; i y és més a prop de b que qualsevol ε.
(.12) ...