Fórmula Matricial (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura Estadística 2
Año del apunte 2014
Páginas 7
Fecha de subida 11/09/2014
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Estadística II Formulación matricial 1 Formulación matricial Reformulamos (reescribimos) el modelo matricialmente El modelo lineal simple teórico: Yi = β0 + β1·Xi + ui = E(Yi|Xi) + ui para i = 1, 2, ... , n se puede reescribir como: Y = X ⋅ β + ε on:  Y1  Y  2 Y = X =      Yn  1 1    1 X1  X2   β0   β = ε =     β1   Xn   ε1  ε   2    ε n  2 El modelo lineal simple ajustado: Yi = βˆ0+ βˆ1·Xi + ei para i = 1, 2, ... , n equivale a: Y = X ⋅ b + e = Yˆ + e on:  e1  e  bβˆ0 0  2 bb= = e =   ˆ  b β  11    en   Yˆ 1    ˆ  Y  2 ˆ Y=      Yˆ   ¨n  Yˆ = Xb 3 Observad que: 1 1  1 Yˆ = X b=   1 X1   X1  1 X  1 X2  ˆ β0  ˆ   ˆ  2  ˆ b βb0 1 βbˆ11X1 X3    == βb00 1 + βb11  X3  =+ ˆ1   b     β    1        Xn  1 Xn  ˆ es una combinación lineal de los dos vectores Por lo tanto Y columna deX, 1 i X1, y tenemos que Yˆ = X b 4 Ecuaciones normales 1 1 e⊥      1 ⇒  X1  X  e ⊥  2 ⇒       Xn   e1  1 e  1  2 ,             en  1  e1   X1  e   X   2 ,  2          e n   Xn  =0 ⇒ ∑e i 0= = ∑ e i Xi =0 ⇒ X1 ' e = 0 5 Cálculo de b por mínimos cuadrados Com que Yˆ ha de ser ortogonal a e, X' e = 0 X ' ( Y − Xb ) = 0 X'Y = X'X b Y si X′ X es invertible, entonces: b = (X ' X) X ' Y −1 6 En el caso general del modelo lineal múltiple que empezaremos a continuación, todo será igual, pero con una matriz X de p columnas en lugar de las 2 de la RLS.
Tendremos, por lo tanto, p ecuaciones normales, pero la fórmula para calcular los coeficientes del modelo ajustado, b, será la misma y la tabla ANOVA también 7 ...