Formulari Relativitat General (2016)

Resumen Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Relativitat General
Año del apunte 2016
Páginas 2
Fecha de subida 24/04/2016 (Actualizado: 25/06/2016)
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Formulari de l'assignatura de relativitat general (en construcció), hi és quasi tot, però hi aniré afegint coses que consideri útils a mida que vagi resolent problemes i examens

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FORMULARI RELATIVITAT GENERAL Derivada exterior: 𝑑̃𝑎̃ = 1. Geometria diferencial 1.1. Varietats diferenciables 𝑣⃗ = 𝑑 = 𝑣 𝑖 (𝑥)𝜕𝑖 𝑑𝜆 𝑣 𝑖 (𝑥) = Commutador: [𝑣⃗, 𝑤 ⃗⃗⃗] = {𝑣 𝑖 } (𝑣 𝑖 𝜕𝑖 𝑤 𝑗 − 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝜆 𝑤 𝑖 𝜕𝑖 𝑣 𝑗 )𝜕𝑗 = −[𝑤 ⃗⃗⃗, 𝑣⃗] és base coordenada si [𝑣⃗(𝑗) , 𝑣⃗(𝑘) ] = 0 𝑣⃗ = 𝑣 𝑖 𝑒⃗𝑖 = 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎) ∈ 𝑇𝑝 𝑝̃ = 𝑝𝑖 𝜔 ̃ 𝑖 = 𝑝𝑖 𝑑̃𝑥 𝑖 (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎) ∈ 𝑇𝑝∗ 𝑗 (𝑒 ) 𝜔 ̃ ⃗𝑖 = 𝛿𝑗𝑖 𝑑̃ 𝑓 = 1 𝜕 𝑎 𝑑̃ 𝑥 𝑙 𝑝! 𝑙 𝑖…𝑗 𝑖 𝑙 𝑘 𝑣 𝑘 𝜕𝑘 𝑢𝑖 + Γ𝑙𝑘 𝑣 𝑢 =0→ ∧ 𝑑̃ 𝑥 𝑖 ∧ … ∧ 𝑑̃ 𝑥 𝑗 𝑑̃ (𝛼̃ + 𝛽̃ ) = 𝑑̃ 𝛼̃ + 𝑑̃ 𝛽̃ 𝑑̃(𝑓) = 𝑑̃ 𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 𝑑̃ (𝛼̃ ∧ 𝛽̃ ) = (𝑑̃ 𝛼̃) ∧ 𝛽̃ + (−1)𝑝 𝛼̃ ∧ (𝑑̃ 𝛽̃) 𝑑̃(𝑑̃𝛼̃) = 0 1 𝑖 ∗𝑑̃ 𝑎 ⃗⃗ × 𝑎⃗) = ̃ = ⃗∇⃗ × 𝑎⃗ → (∇ 𝜖 𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑗 (𝑔𝑘𝑙 𝑎𝑙 ) √𝑔 1 𝑖𝑗𝑘 𝑖 ( ∗𝑑̃ 𝑎̃) = 𝜖 𝜕𝑗 𝑎𝑘 √𝑔 𝑑̃ ∗ 𝑎⃗ = (𝑑𝑖𝑣𝑎⃗)𝜔 ̃ = (𝑑𝑖𝑣𝑎⃗)𝑑̃𝑥1 ∧ 𝑑̃ 𝑥 2 ∧ 𝑑̃𝑥 3 Integració: ∫Ω 𝛼⃗ = ∫𝑈⊂ℝ𝑛 𝛼̃(𝑒⃗𝑖 , … , 𝑒⃗𝑗 ) 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑎 … 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑏 𝑑̃ 𝑥 𝑎 … 𝑑̃ 𝑥 𝑏 ∫ ∗𝑓 = ∫ 𝑓√| det 𝑔 | 𝑑̃ 𝑥1 ∧ … ∧ 𝑑̃ 𝑥 𝑛 𝜕𝑓 𝑑̃ 𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 Ω 𝑑 𝑑𝑓 𝑑𝜆 𝑑𝜆 Gradient: 𝑑̃ 𝑓 ( ) = = 𝑑𝑓 | 𝑑𝜆 𝑝 Derivada de Lie: ℒ𝑣⃗⃗ 𝑓|𝑡0 = 𝜕𝑓 𝑣𝑖 𝑖 𝜕𝑥 ℒ𝑢⃗⃗ 𝑣⃗ = [𝑢 ⃗⃗, 𝑣⃗] = 𝑣⃗(𝑓) ℒ𝑣⃗⃗ 𝜔 ̃ = (𝑣 𝑖 𝜕𝜔𝑗 + 𝜔𝑖 𝜕𝑗 𝑣 𝑖 )𝑑̃ 𝑥 𝑗 Transport d’un vector per Lie: ℒ 𝑢⃗⃗ 𝑣⃗ = 0 → 𝑢𝑖 𝜕𝑖 𝑣𝑗 − 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 𝑢 𝑗 = 0 ℒ𝑣⃗⃗ (𝑑̃ 𝑓) = 𝑑̃ℒ𝑣⃗⃗ (𝑓) ℒ𝑎𝑣⃗⃗ = 𝑎ℒ𝑣⃗⃗ ℒ𝑣⃗⃗ [𝑝̃(𝑢 ⃗⃗)] = (ℒ𝑣⃗⃗ 𝑝̃)(𝑢 ⃗⃗) + 𝑝̃(ℒ𝑣⃗⃗ 𝑢 ⃗⃗) ℒ[𝑣⃗⃗,𝑢⃗⃗] = [ℒ𝑣⃗⃗ , ℒ𝑢⃗⃗ ] Equació de Killing: ℒ𝑣⃗⃗ 𝒈 = 0 𝑣 𝑘 𝜕𝑘 𝑔𝑖𝑗 + 𝜕𝑖 𝑣 𝑘 𝑔𝑘𝑗 + 𝜕𝑗 𝑣 𝑘 𝑔𝑖𝑘 = 0 → 𝜕𝑗 𝑣𝑖 + 𝜕𝑖 𝑣𝑗 = 2𝑣𝑘 Γ𝑗𝑖𝑘 nº maxim de Killings: 𝑛(𝑛+1) 2 ∧𝜔 ̃𝑗 Determinant: det(𝐴) = 1 𝜖 𝜖 𝐴𝑎𝑖 𝐴𝑏𝑗 𝑛! 𝑎𝑏…𝑐 𝑖𝑗…𝑙 … 𝐴𝑐𝑘 #= 𝑛2 12 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 𝑑𝜆 𝑑𝜆 =0 (𝑛2 − 1) 𝑚 𝑅𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝑔𝑖𝑚 𝑅𝑗𝑘𝑙 𝑅𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝑅𝑘𝑙𝑖𝑗 𝑚 Tensor de Ricci: 𝑅𝑖𝑘 = 𝑅𝑖𝑚𝑘 = 𝑔𝑖𝑗 𝑅𝑗𝑖𝑘𝑙 Escalar de Ricci: 𝑅 = 𝑔𝑖𝑘 𝑅𝑖𝑘 1 ∇𝜇 𝑅𝜌𝜇 = − ∇𝜌 𝑅 2 = ∫Ω 𝑑𝑠 2 𝑖 𝑘 Γ𝑘𝑗 𝑦 ) 𝜎̃)𝑖 (∇𝑥⃗ (∇𝑥⃗ = + (∇𝑥⃗ 𝑓)𝑖 = 𝑥⃗(𝑓) = 𝑑̃ 𝑓(𝑥) → 𝜕𝑖 𝑓 = ∇𝑖 𝑓 𝜕𝐴𝛼 𝜇 ∇𝛽 𝐴𝛼 = 𝛽 − Γ𝛼𝛽 𝐴𝜇 𝜕𝑥 𝜕𝛽 (𝜃𝛼 𝑣 𝛼 ) = ∇𝛽 (𝜃𝛼 𝑣 𝛼 ) ∇𝑖 𝑣 𝑖 = 𝜕𝑖 𝑣 𝑖 + Γ𝑖𝑗𝑖 𝑣 𝑗 = ∇𝛽 1 √|𝑔| 𝐴𝛼 = 𝑥 𝑗 (𝜕𝑗 𝜎𝑖 ∇𝑖 = 𝑔11 (𝑑𝑥1 )2 + 𝑔22 𝐺 𝑖𝑗 =0 (𝑑𝑥 2 )2 + 𝑔33 (𝑑𝑥 3 )2 2 𝑑𝑠𝑒𝑠𝑓è𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒𝑠 = 𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑑𝜃 2 + 𝑟 2 sin2 𝜃 𝑑𝜙 2 2 𝑑𝑠𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒𝑠 = 𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑑𝜃 2 + 𝑑𝑧 2 + Γ𝑖𝑗𝑘 𝜎𝑘 ) 𝜕𝐴𝛼 𝛼 𝜇 = 𝛽 + Γ𝜇𝛽 𝐴 𝜕𝑥 𝐿 = 𝑔11 (𝑥̇ 1 )2 + 𝑔22 (𝑥̇ 2 )2 + 𝑔33 (𝑥̇ 3 )2 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝑖 𝑗 𝑘 ( )− 𝑖 = 0 𝑥̈ 𝑖 + Γ𝑗𝑘 𝑥̇ 𝑥̇ = 0 𝑑𝜆 𝜕𝑥̇ 𝑖 𝜕𝑥 +1 𝑠𝑖 (𝑖, 𝑗, 𝑘) = (1,2,3), (2,3,1)𝑜(3,1,2) Símbol de Levi-Cività: 𝜖 𝑖𝑗𝑘 = {−1 𝑠𝑖 (𝑖, 𝑗, 𝑘) = (3,2,1), (1,3,2)𝑜(2,1,3) 0 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡 2. Equacions d’Einstein 𝜕𝑖 (√|𝑔|𝑣 𝑖 ) 𝜕𝜇 𝑇𝜇𝜈 = 0 𝜇 Regla de Leibnitz derivació: 𝜕𝛼 (𝐴𝜇 𝐵𝜇 ) = (∇𝛼 𝐴𝜇 )𝐵𝜇 + 𝐴𝜇 (∇𝛼 𝐵𝜇 ) Sist. n partícules: 𝑢(𝐴) = 𝛾(𝐴) (𝑐, 𝑣⃗(𝐴) ), 𝑖 Símbols de Christoffel: ∇𝑒⃗𝑗 𝑒⃗𝑘 = Γ𝑘𝑗 𝑒⃗𝑖 ∇𝑒⃗𝑗 𝜔 ̃ 𝑘 = −Γ𝑖𝑗𝑘 𝜔 ̃𝑖 𝑛(𝐴) = Γ𝑖𝑗𝑘 = Γ𝑗𝑖𝑘 1 Γ𝑗𝑖𝑙 = 𝑔𝑙𝑚 (𝜕𝑗 𝑔𝑚𝑖 + 𝜕𝑖 𝑔𝑚𝑗 − 𝜕𝑚 𝑔𝑖𝑗 ) = 𝑔𝑙𝑚 Γ𝑚𝑖𝑗 2 1 Γ𝑘𝑖𝑗 = (𝜕𝑗 𝑔𝑘𝑖 + 𝜕𝑖 𝑔𝑘𝑗 − 𝜕𝑘 𝑔𝑖𝑗 ) 2 Producte exterior: 𝑝̃ ∧ 𝑞̃ = 𝑝̃ ⊗ 𝑞̃ − 𝑞̃ ⊗ 𝑝̃ + Γ𝑖𝑗𝑘 𝑙 𝑙 𝑙 𝑚 𝑙 𝑚 𝑙 Tensor de Riemann: 𝑅𝑘𝑖𝑗 = 𝜕𝑖 Γ𝑘𝑗 − 𝜕𝑗 Γ𝑘𝑖 + Γ𝑘𝑗 Γ𝑚𝑖 − Γ𝑘𝑖 Γ𝑚𝑗 → 𝐺 = −𝑅 𝑑 ∗ 𝑣⃗ Connexió mètrica: ∇𝑔 = 0 1.2. Formes diferencials 1 𝑝 𝜔 ̃𝑖 𝑝! 𝑖…𝑗 ∗𝑣 ⃗ Derivada covariant: 𝑥 𝑗 (𝜕𝑗 𝑦 𝑖 𝑑𝜆2 1 1.3. Connexió i derivada covariant 𝑦⃗)𝑖 𝑑2𝑥𝑘 2 Teorema de Gauss: ∫𝜕Ω 𝒈 = 𝑔𝑖𝑗 𝜔 ̃𝑖 ⊗ 𝜔 ̃ 𝑗 = 𝒈(𝑒⃗𝑖 , 𝑒⃗𝑗 )(𝜔 ̃𝑖 ⊗ 𝜔 ̃ 𝑗 ) ≡ 𝑒⃗𝑖 · 𝑒⃗𝑗 (𝜔 ̃𝑖 ⊗ 𝜔 ̃𝑗) 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔(𝑒⃗𝑖 , 𝑒⃗𝑗 ) = 𝑒⃗𝑖 · 𝑒⃗𝑗 𝑔𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑘 = 𝛿𝑗𝑘 𝑣⃗ · 𝑤 ⃗⃗⃗ = 𝑔𝑖𝑗 𝑣 𝑖 𝑤 𝑗 = 𝑣𝑗 𝑤 𝑗 𝑗 𝑣̃ → 𝑣𝑖 = 𝑔𝑖𝑗 𝑣 𝑣⃗ → 𝑣 𝑖 = 𝑔𝑖𝑗 𝑣𝑗 Geodèsiques: ∇𝑣⃗⃗ 𝑣⃗ = 0 → 𝑑𝑢𝑖 𝑑𝑥 𝑙 𝑘 𝑖 + Γ𝑘𝑙 𝑢 =0 𝑑𝜆 𝑑𝜆 Tensor d’Einstein: 𝐺𝑖𝑗 = 𝑅𝑖𝑗 − 𝑔𝑖𝑗 𝑅 Ω Teorema de Stokes: ∫Ω 𝑑̃ 𝛼̃ = ∫𝜕Ω 𝛼̃ Mètrica: p-forma: 𝑝̃ = Forma volum metric: 𝒈 = √|det(𝑔)|𝑑̃𝑥1 ∧ … ∧ 𝑑̃ 𝑥 𝑛 Transport paral·lel: ∇𝑣⃗⃗ 𝑢 ⃗⃗ = 0 𝜇𝜈 𝑁(𝐴) , Δ𝑉 ′ 𝑛(𝐴) = 𝛾(𝐴) 𝑛(𝐴) 𝜇 𝜈 𝑇(𝐴) = 𝑝(𝐴) 𝑁(𝐴) , 𝜇𝜈 𝜇 𝜇 𝑝(𝐴) = 𝑚(𝐴) 𝑢(𝐴) 𝜇 𝜇 𝑁(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑢(𝐴) 𝜇𝜈 𝑇𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ 𝑇(𝐴) 𝐴 𝜇 𝜇 Puntuals: 𝑁(𝐴) (𝑥) = ∫ 𝑑𝜏 𝑑𝑥(𝐴) 𝑑𝜏 𝛿 4 (𝑥 − 𝑥(𝐴) (𝜏)) 𝜇 𝜇𝜈 𝑇𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑥) = ∑ 𝑚(𝐴) ∫ 𝑑𝜏 𝐴 𝜈 𝑑𝑥(𝐴) 𝑑𝑥(𝐴) 𝑑𝜏 2.1. Equacions d’Einstein: 𝑑𝜏 𝛿 4 (𝑥 − 𝑥(𝐴) (𝜏)) 1 8πG 𝐺𝜇𝜈 = R μν − Rg μν = 4 Tμν 2 c 8𝜋𝐺 𝐺 = 𝑔𝜇𝜈 𝐺𝜇𝜈 = −𝑅 = 4 𝑇 𝑐 Fluid perfecte: 𝑇 𝜇𝜈 𝑅𝜇𝜈 = 8𝜋𝐺 1 (𝑇𝜇𝜈 − 𝑔𝜇𝜈 𝑇) 𝑐4 2 𝑑𝑠 2 = − (1 − ∇𝜇 𝐺𝜇𝜈 = 0 𝑝 𝜇 𝜈 = (𝜌 + 2) 𝑢 𝑢 + 𝑝𝜂 𝜇𝜈 𝜙 𝑐 1 4𝜋𝐺 = 4𝜋𝐺𝜌 𝑅00 = − ∇2 ℎ00 = 2 𝜌 2 𝑐 𝑑2 𝑥 𝑖 𝑐2 𝑖 𝑖 2 ⃗⃗𝜙𝑁 𝑎⃗ = −∇ = −Γ00 𝑐 = 𝜕 ℎ00 𝑑𝑡 2 2 2𝜙𝑁 2𝜙𝑁 𝐺𝑀 ℎ00 = − 2 → 𝑔00 = − (1 + 2 ), 𝜙𝑁 = − 𝑐 𝑐 𝑟 Γ𝑖𝑗 = ∇2 𝜙𝑁 3. Teoria linealitzada i ones gravitatòries 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 (0 𝑟 cot 𝜃 𝐺𝑀 2𝐺𝑀 (1 − ) 𝑟2 𝑟 ( Γ𝑖𝑗𝑡 = 1 𝑅𝛼𝛽𝜇𝜈 = (𝜕𝛽 𝜕𝜇 ℎ𝛼𝜈 + 𝜕𝛼 𝜕𝜈 ℎ𝛽𝜇 − 𝜕𝛽 𝜕𝜈 ℎ𝛼𝜇 − 𝜕𝛼 𝜕𝜇 ℎ𝛼𝜈 ) 2 1 𝑅𝛼𝛽 = (𝜕𝛼 𝜕𝜈 ℎ𝛽𝜈 + 𝜕𝜈 𝜕𝛽 ℎ𝛼𝜈 − 𝜕𝛼 𝜕𝛽 ℎ𝜈𝜈 − 𝜕𝜈 𝜕 𝜈 ℎ𝛼𝛽 ) 2 𝑅 = 𝜕𝛼 𝜕𝛽 ℎ𝛼𝛽 − 𝜕𝛽 𝜕 𝛽 ℎ𝛼𝛼 0 0 0 0 0 0 2𝐺𝑀 −𝑟 (1 − ) 𝑟 0 0 0 0 2 𝛼̅ 𝛼 Gauge de Lorentz: 𝜕 ℎ𝛼𝛽 = 0, 𝜕 ℎ𝛼𝛽 = ☐𝜉𝛽 En el gauge TT: 𝑘𝛼 𝑘 𝛼 = 𝐴𝛼𝛽 𝑘𝛽 = 𝐴𝛼𝛼 = 0 𝑑𝑡 𝐺 5𝑐 〈𝐼⃛𝑖𝑗 𝐼⃛𝑖𝑗 〉 5 1 1 𝐼𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 − 𝛿𝑖𝑗 𝐷𝑘𝑘 = ∫ 𝜌 (𝑥 𝑖′ 𝑥 𝑗′ − 𝛿 𝑖𝑗 𝑟 ′2 ) 𝑑3 𝑥′ 3 3 ′ 𝑗 𝐷𝑖𝑗 = ∫ 𝑇 00 (𝑥)𝑥 𝑖 𝑥 𝑗′ 𝑑3 𝑥 ′ = ∑ 𝑚𝛼 𝑥𝛼𝑖 𝑥𝛼 𝛼 4. Forats negres Mètrica de Schwarzschild: 0 0 0 0 0 0 0 0 0) Cons de llum: 𝑑𝑠 2 = 0 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑘 𝛼 𝑘𝛽 𝑘0 ≡ −𝐸, 𝑢𝜙 ≡ 𝐿̂, 𝑘𝜙 ≡ 𝐿 2𝑀 𝑟 𝑑𝑡 ≡ 𝜔 ̃ 𝑡̂ 1 √1 − 2𝑀 𝑟 𝑑𝑟 ≡ 𝜔 ̃ 𝑟̂ Observador comòbil: 𝜔 ̃ 𝑡̅ , 𝜔 ̃ 𝑟̅ , 𝜔 ̃ 𝑟̂ = 0 𝑑𝑟̂ = 𝑣̂ 𝑑𝜏̂ 𝛾 = 1/√1 − 𝑣̂ 𝜔 ̃ 𝑡̅ = 𝛾(𝑑𝑡̂ − 𝑣̂𝑑𝑟̂ ) 𝜔 ̃ 𝑟̅ = 𝛾(𝑑𝑟̂ − 𝑣̂𝑑𝑡̂ ) 𝑑𝑥 𝛼 𝑑𝜏 = (𝑢0 , 0,0,0) Mínim estable: 𝐿̂2 = 𝑀𝑟 3𝑀 1− 𝑟 𝐸̂ 2 = 2𝑀 2 ) 𝑟 3𝑀 1− 𝑟 (1 − 𝑟= 𝐿̂2 12𝑀2 (1 ± √1 − 2 ) 2𝑀 𝐿̂ Coordenades Kruskal-Szekeres: 1 𝑟 𝑟 𝑡 2 − 1) 𝑒 4𝑀 cosh ( ) 2𝑀 4𝑀 1 𝑇=( 𝑟 𝑟 𝑡 2 − 1) 𝑒 4𝑀 sinh ( ) 2𝑀 4𝑀 𝑟 𝑑𝑥 𝛼 𝑑𝑥 𝛽 = −1, 𝑔𝛼𝛽 = 0, − 𝑔𝛼𝛽 𝑘 𝛼 𝑢𝛽 = 𝜔 𝑖 𝑑𝑥 𝑢𝑖 = 𝐸𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎 = −𝑔𝛼𝛽 𝑘 𝛼 𝑢𝛽 𝑑𝜏 𝑑𝑠 2 32𝑀3 𝑒 −2𝑀 (𝑑𝑇 2 + 𝑑𝑋 2 ) + 𝑟 2 𝑑Ω2 = 𝑟 Aproximació Newtoniana 𝑑𝑠 2 = −(1 − 2𝜙𝑁 )𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 𝐺𝑀 Potencial Newtonià: 𝜙𝑁 = ≃ 𝜙0 − 𝑔𝑥 𝑟 Temps propi rellotge mòbil: 𝑑𝑥 = 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 Temps propi rellotge fix: 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 = 0 Trajectòries: 2 𝑑𝑟 2𝑀 𝐿̂2 ( ) = 𝐸̂ 2 − 𝑉̂(𝑟)2 = 𝐸̂ 2 − (1 − ) (1 + 2 ) 𝑑𝜏 𝑟 𝑟 2 𝑑𝑟 2 2𝑀 𝐿 ( ) = 𝐸 2 − (1 − ) 𝑑𝜆 𝑟 𝑟2 Punt de retorn: 𝑑𝑟̂ = 𝑋=( 𝑢𝛼 𝑢𝛽 𝑢0 ≡ −𝐸̂ , 𝜇 ℎ̅𝛼𝛽 = 𝑅𝑒(𝐴𝛼𝛽 𝑒 𝑖𝑘𝜇𝑥 ), 𝑘 𝛼 = (𝜔, 𝑘⃗⃗ ) = 2𝐺𝑀 ) 𝑟 ) Si 𝜉 𝛼 és Killing i 𝑣 𝜇 geodèsica: 𝜉 𝛼 𝑣𝛼 = 𝑔𝛼𝛽 𝜉 𝛼 𝑣 𝛽 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 3.2. Ones gravitatòries 𝑑𝐸 𝐺𝑀 2𝐺𝑀 (1 − ) 𝑟 𝑟2 0 ( 0 Dinàmica: 𝑔𝛼𝛽 temps propi: 𝑑𝜏̂ = √1 − Partícula comòbil: 𝑢𝛼 = −1 ☐ℎ̅𝛼𝛽 = −2𝜅𝑇𝛼𝛽 Gauge TT: ℎ𝛼𝛼 = 0, 𝜕 𝑖 ℎ𝑖𝑗 = 0, ℎ𝛼0 = 0 −𝑟𝑠𝑖𝑛2 𝜃 (1 − 𝐺𝑀 2𝐺𝑀 (1 − ) 0 0 𝑟 𝑟2 Longitud corba: 𝐿 = ∫ √𝑔𝛼𝛽 1 Potencials gravitatoris: ℎ̅𝛼𝛽 = ℎ𝛼𝛽 − 𝜂𝛼𝛽 ℎ𝜈𝜈 Potència: 𝑃 = 0 ) 0 Observador estàtic: 𝜔 ̃ 𝑡̂ , 𝜔 ̃ 𝑟̂ 0 0 0 0 1 0 0 0 𝑟 Γ𝑖𝑗𝜃 = 1 0 0 0 𝑟 (0 0 0 − sin 𝜃 cos 𝜃 ) 0 0 Γ𝑖𝑗𝑟 = 0 1 𝑟 cot 𝜃 𝐺𝑀 2𝐺𝑀 −1 − 2 (1 − ) 𝑟 𝑟 3.1. Teoria linealitzada de la gravitació 𝑔𝜇𝜈 = 𝜂𝜇𝜈 + ℎ𝜇𝜈 2𝑀 𝑑𝑟 2 ) 𝑑𝑡 2 + + 𝑟 2 (𝑑𝜃 2 + sin2 𝜃 𝑑𝜙 2 ) 2𝑀 𝑟 1− 𝑟 ̂ 2 (𝑟) 𝑑𝑉 𝑑𝑟 =0 Observador estacionari: 𝑤 𝛼 = (𝑤 0 , 0,0,0), 𝑟 → ∞: 𝑤 0 = 1 Trajectoria radial: 𝑢𝜃 = 𝑢𝜙 = 0; 𝑢0 = −𝐸̂ 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑢0 = ; 𝑢𝑟 = = 𝑢0 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝑑𝑡 ...