Tema 1: Formes quadràtiques (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 2
Año del apunte 2014
Páginas 9
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 5
Subido por

Descripción

Formes quadràtiques i matriu associada, Classificació de les formes quadràtiques

Vista previa del texto

Tema 1: Formes quadràtiques 1.1 Formes quadràtiques i matriu associada Recordem què era una matriu simètrica: Una matriu simètrica és aquella matriu quadrada, en què els elements que hi ha per sobre la diagonal principal són iguals als que hi ha per sota; és a dir, els elements aij=aji per i  1,..., n i j  1,..., n .
Exemples: Les matrius A i B són simètriques.
Nota: A és simètrica ‹ A  At Què és una forma quadràtica? Sigui A una matriu simètrica d’ordre n. Definim la forma quadràtica associada a la matriu A i la denotarem per q a l’aplicació següent: :  11 Llúcia Mauri Masdeu Exemples: 1) Considerem la matriu : ; llavors:  Per tant, l’expressió polinòmica de la forma quadràtica serà q1 ( x, y )  x 2 y 2 .
2) Considerem la matriu : ; llavors:           Per tant, l’expressió polinòmica de la forma quadràtica serà: Propietats Sigui q la forma quadràtica associada a la matriu A, pleix: i  . Llavors, es com- 1) q(0,...,0)  0 2) Exemple: 1) Sigui R , i . Comprovem la segona propietat: R Per tant, la forma quadràtica serà q( x, y )  x 2 y 2 . Llavors: 12 Matemàtiques II Fins aquí sabem trobar la forma quadràtica (o expressió polinòmica) associada a una matriu A. Però podem trobar a partir de la matriu associada A la forma quadràtica q (o expressió polinòmica)? Vegem-ho amb uns exemples: Nota: Recordeu que la matriu A que hem d’obtenir ha de ser simètrica.
Exemples: 1) Considerem la forma quadràtica i busquem la matriu , que és simètrica.
Sabem la relació següent: Per tant: Igualem component a component i obtenim que: 2) Considerem la forma quadràtica i busquem la matriu associada i , que és simètrica.
Sabem la relació següent: Per tant: ax 2 + dy 2 + fz 2 + 2byx + 2czx + 2ezy = 3x 2 + 5y 2 + 4z 2  4 xy + 6xz + 2yz 13 Llúcia Mauri Masdeu Igualem component a component i obtenim que: De manera anàloga, obtenim el cas d’una forma quadràtica de dimensió 4: Polinomi característic: Sigui A una matriu simètrica d’ordre n. Anomenarem el polinomi característic , el polinomi de grau n resultant del càlcul del de la matriu A i el denotarem per .
determinant És a dir, sigui una matriu d’ordre n, llavors el polinomi característic serà: 14 Matemàtiques II Exemple: Sigui . Busquem el polinomi característic: Per tant, el polinomi característic de la matriu A és Valor propi: el polinomi característic associat a aquesta Sigui A una matriu d’ordre n i matriu. Anomenarem valors propis de la matriu A i els denotarem per , per j=1,...,n, els valors reals, tal que ; és a dir, quan ; per tant, les arrels del polinomi característic.
Exemple: 1) Prenem la matriu A de l’exemple anterior: Busquem el polinomi característic: Per tant, el polinomi característic de la matriu A és Ara busquem les arrels d’aquest polinomi i obtindrem els valors propis de la matriu A: Per tant, els valors propis seran: , 15 i .
Llúcia Mauri Masdeu Menor principal: Sigui A una matriu d’ordre n. Anomenarem menor principal d’ordre j de la matriu A i el denotarem per A j , el determinant de la submatriu que s’obté de les primeres j files i les j primeres columnes de la matriu A.
Exemple: 1) Busquem tots els menors principals de la matriu : , , 1.2 Classificació de les formes quadràtiques Donada una forma quadràtica q:  I q (v ) I q (v ) I q (v ) I q (v ) I q (v )  un vector. Diem que: i és definida positiva si és definida negativa si és semidefinida positiva si és semidefinida negativa si  , tal que és indefinida si   .
  .
 i  i i , tal que , tal que .
.
.
Exemples: 1) és definida positiva, ja que prenent qualsevol vector si fem la suma de les seves components al quadrat sempre serà positiu, excepte el vector nul.
per a qualsevol és semidefinida positiva, ja que 2) no nul, tal que .
vector i existeix, per exemple, el vectorr és indefinida, ja que si prenem, per exemple, els vectors 3) i .
i tenim que Però, normalment, no serà tan senzill classificar-la. Per això necessitarem fer ús d’alguns mètodes per poder-ho dur a terme.
Veurem dos mètodes: — Mètode utilitzant els valors propis de A.
— Mètode utilitzant els menors principals.
16 Matemàtiques II Mètode utilitzant els valors propis de A Aquest mètode classifica una forma quadràtica en funció del signe dels valors propis de la matriu associada.
 una forma quadràtica i , ..., els valors propis de la Llavors, sigui  matriu associada.
Direm que: q és definida positiva (Tots els valors propis són positius) q és definida negativa (Tots els valors propis són negatius) q és semidefinida positiva (Tots els valors propis són positius o zero) q és semidefinida negativa (Tots els valors propis són negatius o zero) i q és indefinida (Hi ha valors propis estrictament positius i valors propis estrictament negatius) Mètode utilitzant els menors principals Aquest mètode classifica una forma quadràtica en funció del signe dels menors principals de la matriu associada A d’odre n.
Diem que: (La forma quadràtica q no és semidefinida).
1) Si t Si ,...., q és definida positiva.
t Si q és definida negativa.
t q és indefinida per a la resta de casos.
2) Si t Si t Si (La forma quadràtica q no és definida).
,...., q és semidefinida positiva.
essent j < n essent j < n q és semidefinida negativa.
t q és indefinida per a la resta de casos, tal que essent j < n.
En la resta de casos, el mètode no decideix i utilitzarem el criteri dels valors propis.
Exemples: 1) 17 MATEMÀTIQ Llúcia Mauri Masdeu MATEMÀTIQUES IIMATEMÀTIQ MATEMÀTIQUES II MATEMÀTIQUES II Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: MA Busquem la matriulaassociada a aquesta forma quadràtica: Busquem la matriu associada aquesta forma quadràtica: Busquem matriu associada a aquesta formaa quadràtica: Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: Per tant: Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: Per tant: Per tant:Per tant: Per tant: Per tant: Per tant: Així ens queda la matriu: Així ens queda la matriu: Així ens queda la matriu: ens la queda la matriu: Així ensAixí queda matriu: Així ens queda la matriu: Així ens queda la matriu: Apliquem el mètode utilitzant els valors propis de A: Apliquem el mètode utilitzant els el valors de A: elsdevalors Apliquem mètode utilitzant Apliquem el mètode utilitzant elspropis valors propis A: propis de A: Apliquem el mètode utilitzant els valors propis de A: Apliquem el mètode utilitzant elsApliquem valors propis de A: utilitzant els valors propis de A: el mètode   , , ,     , Com que tots els valors propis són, positius, tindrem que la forma quadràtica és , positiva.
Com que totsque els valors propis tindrem que forma és definida Com quesón totspositius, elssón valors propis sónlapositius, tindremquadràtica que la forma quadràtica és d Com tots els valors propis positius, tindrem que laquadràtica forma és definida positiva.
positiva.
Com que tots valors propis sónel positius, tindrem que forma quadràtica és A: definida Apliquem mètode utilitzant elslamenors principals de Com que totselsels valors propis són positius, tindrem que lasón forma quadràtica positiva.
Com que tots els valors propis positius, tindrem és que la forma qua positiva.
definida positiva.
positiva.
Apliquem el mètode utilitzant els el menors principals de Apliquem mètode utilitzant elsA:menors Apliquem el mètode utilitzant els menors principals de A:principals de A: Apliquem el mètode utilitzant els menors principals de A: Apliquem el mètode utilitzant els ,menors principals de A: Apliquem el mètode utilitzant els menors principals de A: , , , , Si ,i els menors principals de la matriu associada són positius, t que la forma quadràtica ésmatriu definida positiva.
Si que i els principals associada són tindrem Simenors ide elslamenors de lapositius, matriu associada són positius, ti Com i els menors menors principals la matriu associada són posi-tindrem Si principals dede laprincipals matriu associada són positius, Si i elsque menors principals de laésmatriu associada són positius, tindrem que la forma quadràtica és definida positiva.
la forma quadràtica definida positiva.
i els menors principals de la matriu associada són tius, tindrem quelala formaquadràtica quadràtica és definida positiva.
que forma ésSidefinida positiva.
que la forma quadràtica 2) és definida positiva.
que la forma quadràtica és definida positiva.
    2) 2) 2) 2) Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: 2) 2) Busquem lalamatriu a aquesta forma quadràtica: Busquem matriu associada a quadràtica: aquesta forma quadràtica: Busquem matriu associada alaaquesta forma quadràtica: Busquem laassociada matriu associada a aquesta forma Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: ax 2 + dy 2 + Per fz 2 +tant: 2byx + 2czx + 2ezy = −3x 2 + 2xy − y 2 + z 2 Per tant:Per tant: Per tant: € Per tant: Per tant: 13 13 13 13 13 13 18 Matemàtiques II Per tant: Així ens queda la matriu: Apliquem el mètode utilitzant els valors propis de A: , , En el cas que hi hagi valors propis positius i negatius, tindrem que la forma quadràtica és indefinida.
Apliquem el mètode utilitzant els menors principals de A: , , Com que i els menors principals de la matriu associada són positius i negatius, però el A3  0 i té subíndex senar; per tant, la forma quadràtica és indefinida.
19 ...