Funciones de variable real (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2014
Páginas 12
Fecha de subida 29/09/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Funcions de Variable Real Funcions Elementals 1) Demostreu que l’angle  entre dues rectes que es tallen el pla compleix que tan   m2 − m1 1  m1m2 on m 1 i m 2 són les pendents de les dues rectes. Calculeu l’ange entre les dues rectes x − 4y  7  0, i 2x − 5y  31  0 Si m 1 i m 2 són els pendents de les dues rectes es compleix que tan  1  m 1 tan  2  m 2 essent  1 i  2 els angles que les dues rectes formen respectivament amb la part positiva de l’eix de les x. Aleshores, si  és l’angle entre les dues rectes, mesurat en sentit contrari a les agulles del rellotje, es complirà que   2 − 1 on hem suposat per fixar idees que la recta amb pendent més gran i per tant angle també més gran és la que té pendent m 2 . Aleshores es compleix que tan   tan 2 −  1   tan  2 − tan  1 1  tan  1 tan  2 i per tant tan   m 2 − m 1 1  m1m2 Naturalment si la recta amb pendent més gran és m 1 tenim que tan   m 1 − m 2 1  m1m2 per tal que l’angle  sigui positiu. Podem concloure aleshores que, en qualsevol cas tan   m2 − m1 1  m1m2 En el exemple concret com x − 4y  7  0  y  1 x  7 4 4 i 2x − 5y  31  0  y  2 x  31 5 5 tenim que m 1  1/4 i m 2  2/5 de manera que tan   1 4 − 1 2 5 1 2 4 5  3 22 de manera que 3 22   tan −1 ≈ 0. 135 53 rad ≈ 7. 76 o 2) Trobeu el domini, Df i el rang Rf de les funcions següents a fx  1 5 2−x En el cos dels números reals només podem fer rels quadrades de números positus, aleshores s’ha de complir que 2 − x ≥ 0, el que ens dona la primera condició que x ≤ 2.
Ara bé, la divisió per zero no està definida i per tant s’ha d’excloure el valor x  2 que fa que el denominador sigui zero. Tenim aleshores que Df  −, 2 Per determinar el rang notem que quan x pren els valors del domini, la funció gx  2 − x pren tots els valors positius: gx  2−x y 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 -5 Per tant, la funció -4 -3 -2 -1 0 1 2 x 1 pren valors dins de l’interval 0, . El rang de la funció serà 2−x aleshores el conjunt Rf  x ∈ R : x ≥ 5 ja que com a mínim la funció valdrà 5.
b fx  x2 − 2 x  3x  2 2 Es tracta d’una funció racional. Aquest tipus de funció esta definida per tots aquells reals que no fan zero el denomindador. Per tant hem d’excloure de la recta real el punts on x 2  3x  2  0 Es a dir els punts x  −1, x  −2. El domini és aleshores Df  R − −2, −1 Les funcions racionals són quocient de polinomis. El polinomis poden tenir com a rang tots els números reals però aixó no vol dir que les funcions racionals tinguint també com Rf el 1 només pot pendre valors positius.
conjut R, per exemple la funció racional gx  1  x2 Cada funció racional s’haurà d’estudiar per separat. Si dibuixem la funció 2 obtenim: fx  2 x − 2 x  3x  2 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -4 De manera que en aquest cas la funció pren tots els valors reals i per tant Rf  R c fx  x2 − 4 x1 Les rels només estan definides per a números positius per tant s’ha de complir en primer lloc que x2 − 4 ≥ 0 x1 o bé que x 2 − 4x  1  0 La recta real queda dividida en els intervals −, −2, −2, −1, −1, 2, 2, . Notem que els valors x  2 són admisibles perque en aquest cas el quocient és zero. D’un altra banda el valor x  −1 no és admisible doncs implica una divisió per zero. D’aquest 4 intervals només en els −2, −1 i 2,  el quocient és positu o zero. Per tant Df  −2, −1  2,  Finalment, com les rels només donen valors positius hem de concloure que Rf  x ∈ R : x ≥ 0 y 1.5 1.0 0.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x 3) Trobeu el domini de les funcions següents i decidiu la seva paritat.
−x 2  1 x a fx  Per a que la funció estigui definida s’ha de complir que − x 2  1 ≥ 0  1 − x 2  1 − x1  x ≥ 0 Aquesta és una paràbola invertida que té com a rels els valors x  −1 i x  1. Els valors en els que serà positiva o zero seràn els que es trobin dins de l’interval −1, 1. Aquest conjunt no és encara el domini doncs no podem dividir per zero i el valor x  0, s’haurà d’excloure. Així: Df  −1, 1 − 0 Per a estudiar la seva paritat notem que f−x  −−x 2  1 −x 2  1 −  −fx x −x i com fx  −f−x tenim una funció senar.
y 4 2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 -2 -4 fx  −x 2  1 x 0.4 0.6 0.8 1.0 x 4 b gx  2x2  1 x 3 Aquesta és una funció racional i estarà definida sempre que el denominador no s’anuli.
Ara be com sempre es compleix que x 2  3  0, el domini de la funció seran tots els nombres reals.
Dg  R Ara notem que f−x  4 2−x 4  1  2x2  1  fx 2 x 3 −x  3 i aleshores es tracta d’una funció parella.
4) Siguin les funcions de variable real fx  x 3  x − 1 gx  3x 2  4 Escriviu les funcions f  g, f − g, 1/g, f/g, 6f, 6f − 5g.
Com es tracta de dos polinomis, els seus dominis són tota la recta real.
Df  Dg  R, es per tant possible definir les funcions que resulten de les operacions algebraiques elementals. Així tenim que f  gx  x 3  x − 1  3x 2  4  x 3  3x 2  x  3 f − gx  x 3  x − 1 − 3x 2  4  x 3 − 3x 2  x − 5 Abans de definir la funció reciproca i la funció quocient notem que l’equació 3x 2  4  0 no té solució dins dels números reals i que per tant la funció g no s’anula mai. Aleshores tenim que 1 x  1 g 3x 2  4 f x3  x − 1 x  g 3x 2  4 Finalment tenim que 6fx  6x 3  x − 1  6x 3  6x − 6 6f − 5gx  6x 3  x − 1 − 53x 2  4  6x 3 − 15x 2  6x − 26 5) Siguin les dues funcions definides a trossos següents: fx  1 − x2 x ≤ 0 x x0 , gx  −2x x1 1−x x ≥ 1 Escriviu les funcions f  g, f − g, fg.
En aquest cas, tot i que les funcions tenen el mateix domini, que és tota la recta real, hem d’ajustar els diferents trossos per poder fer les operacions algebraiques. Així, en primer lloc escrivim les funcions com 1 − x2 fx  x x x≤0 0  x  1 , gx  1≤x −2x x≤0 −2x 0x1 1−x 1≤x Ara és fàcil dur a terme les operacions algebraiques 1 − 2x − x 2 x≤0 −x 0x1 1 1≤x 1  2x − x 2 x≤0 3x 0x1 −1  2x 1≤x f  gx  f − gx  fgx  −2x − 2x 3 x≤0 −2x 2 0x1 x − x2 1≤x Composició de funcions 6) Si fx  x  1, gx  x 2 trobeu la funció f ∘ g i la funció g ∘ f Tenim que f ∘ gx  fgx  gx  1  x 2  1 D’un altra banda g ∘ fx  gfx  fx 2  x  1 2 7) Si fx  x 2 − 5, gx  1x  1 trobeu la funció f ∘ g i la funció g ∘ f En aquest cas f ∘ gx  fgx  gx 2 − 5  1 1 x 2 −5 mentre que g ∘ fx  gfx  8) Si 1 1  1 1 fx x2 − 5 2 fx  1x  x 2 , gx  x 4  1 x 1 trobeu la funció f ∘ g i la funció g ∘ f En primer lloc tenim que f ∘ gx  fgx  1  gx 2  x 4  1  gx x2  1 x2  1 x4  1 2 i d’un altra banda 2  1x  x 2   1 x 2 x 2  2x 3  x 6  1 fx 2  1   g ∘ fx  gfx  4 4x 3  x 4  6x 6  4x 9  x 12  1 fx 4  1  1x  x 2   1 9) Donada la funció fx  1 1x Trobeu la funció f ∘ f i decidiu quin és el seu domini.
Es compleix que f ∘ fx  ffx  f 1 1x  1 1 1 1x  1  1x 2x 2x 1x de manera que f ∘ fx  1  x 2x Ara notem que es tracta d’una funció racional i que per tant estarà definida sempre que el denominador no s’anuli. Es a dir sempre que x  2 ≠ 0. Per tant queda exclòs del domini el valor x  −2, i aleshores Df ∘ f  R − −2.
Funcions Inverses 10) Demostreu que la funció lineal fx  3x − 5 és injectiva. Trobeu la funció inversa.
Per a provar que una funció és injectiva, suposem que es compleix que per a dos punts del domini Df, x 1 i x 2 es compleix que fx 1   fx 2 . Aleshores hem de provar que també x 1  x 2 . En el nostre cas fx 1   fx 2   3x 1 − 5  3x 2 − 5  3x 1  3x 2  x 1  x 2 Per tant la funció és injectiva i té inversa. Per trobar la funció inversa, fixem el valor y i hem de trobar el valor de x tal que y  3x − 5. En aquest cas només cal fer y  3x − 5  x  y5 3 De manera que la funció inversa és f −1 x  1 x  5 3 3 Notem també que essent el rang de f, Rf  R i com Rf  Df −1   R 11) Demostreu que la funció fx  x 3 té inversa. Trobeu aquesta funció inversa.
En aquest cas podem procedir d’un altra manera. Com que les funcions estrictament creixents són invertibles, notem que si x 1  x 2 , aleshores x 31  x 32  x 31 − x 32  0  x 31 − x 32  x 1 − x 2 x 21  x 1 x 2  x 22   x 1 − x 2  1 x1  x2 2 2  3 x 21 4  0  x1  x2 Així tenim que fx 1   fx 2  implica que x 1  x 2 i per tant f és injectiva. És per tant invertibe. La funció inversa és simplement f −1 x  3 x i en aquest cas també tenim que Rf  Df −1   R 12) Donada la funció fx  1  1x Trobeu el seu domini i la seva funció inversa si aquesta existeix. Trobeu també el domini de f −1 .
La funció que estem estudiant és la suma de una funció constant i una funció racional.
Per a que estigui definida, ha de estar definida la part racional. El que s’ha de complir es que el denominador sigui diferent de zero, es a dir que x ≠ 0. Aleshores tenim que Df  R − 0.
Estudiem ara si la funció és invertible. S’haurà de complir que la funció sigui injectiva.
Tenim que fx 1   fx 2   1  x11  1  x12  x11  x12  x 1  x 2 La funció es per tant injectiva i serà invertible. Ara si y  1  1x  y − 1  1x  x  1 y−1 De manera que la funció inversa serà f −1 x  1 x−1 i com és una funció racional per a que estigui definida s’ha de complir que x ≠ 1.
Finalment: Df −1   R − 1.
13) Trobeu la funció inversa, si existeix, de fx  1  x 2 en el domini Df  −1,  Hem de provar en primer lloc que la funció és invertible. Per això, s’ha de complir que si x 1 i x 2 són dos valors qualsevol del seu domini −1,  i es compleix que x 1 ≠ x 2 , aleshores també fx 1  ≠ fx 2 . En efecte si no fos així es compliria que fx 1   1  x 1  2  1  x 2  2  fx 2  Com x 1 i x 2 són elements de −1, , 1  x és sempre un valor positiu o zero, aleshores 1  x 1  2  1  x 2  2  1  x 1  1  x 2  x 1  x 2 La funció és per tant invertible doncs és injectiva. Per trobar la inversa, donat un valor y hem de trobar el valor x (únic) del domini −1,  que compleix que y  1  x 2 . En desfer la igualtat tenim dues possibilitats x y −1 o x  − y −1 Només el primer és un element del conjunt −1,  i per tant la funció inversa serà f −1 x  x −1 Notem que si x  −1, fx  0 de manera que Rf  0,   Df −1  14) Donada la funció f : 0,  → 1/e, e definida per fx  e cosx Demostreu que és invertible dins del domini i trobeu la seva inversa.
Siguin x 1 , x 2 ∈ 0, . Tenim que fx 1   fx 2   e −cosx 1   e −cosx 2  i com la funció exponecial és monòtona creixent tenim que e −cosx 1   e −cosx 2   − cosx 1   − cosx 2   x 1  x 2 ja que dins de l’interval 0,  la funció gx  − cosx és també una funció monòtona y 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x -0.5 -1.0 fx  − cosx Com que la funció és injectiva serà invertible. Suposem que y 0 ∈ 1/e, e tenim aleshoes y 0  e −cosx 0   lny 0   lne −cosx 0    − cosx 0   − lny 0   cosx 0   x 0  cos −1 − lny 0  doncs, dins de l’interval la funció gx  − cosx és estrictament creixent.
15) Donades les funcions fx  1 x − 1, 2 gx  x  3 2 Demostreu que en aquest cas f ∘ g −1  g −1 ∘ f −1 Comencem per calcular f ∘ g. Es compleix que f ∘ gx  fgx  f x  3 2  1 x 3 2 2 −1  1 x− 1 2 2 Aquesta és una funció lineal, una recta que sempre és monòtona i serà invertible. Tenim que si y  1 x− 1 2 2  2y  x − 1  x  2y  1 2 2 De manera que tenim que f ∘ g −1 x  2x  1 2 Calculem ara cada una de les funcions inverses. Notem que tan f com g són funcions lineals i per tant monòtnones. Si y  1 x − 1  2y  x − 2  x  2y  2 2 i tenim que f −1 x  2x  2 D’un altra banda teni que si y  x 3  x  y− 3 2 2 i aleshores g −1 x  x − 3 2 Calculem ara la composició g −1 ∘ f −1 x  g −1 f −1 x  g −1 2x  2  2x  2 − 3 2 1 −1  2x   f ∘ g x 2 ...