Resumen Limites y Continuidad varias varibles (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ciencias y Tecnologías de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Calculo Avanzado - ACAL
Año del apunte 2015
Páginas 2
Fecha de subida 24/01/2015
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Carlos Angulo Resúmenes ACAL T2 Limites y Continuidad T2 Limites y continuidad 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 Funciones vectoriales A cada punto de 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 un punto de ℝ𝑚 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ 2 Función vectorial o campo vectorial Con 𝑚 funciones escalares que son funciones componentes 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 Con una función escalar 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ 1 Función escalar Gráfica de 𝑓 al conjunto de puntos ℝ𝑛+1 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = Conjunto de nivel de 𝑓 al conjunto de puntos ℝ𝑛 𝑥, 𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐴 Curva de nivel 𝑓: ℝ2 → ℝ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∶ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘 𝑓 𝑥 = 𝑘: 𝑥 ∈ 𝐴 Superficie de nivel 𝑓: ℝ3 → ℝ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∶ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 Limite de una función 1 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 𝑎 ∈ ℝ𝑛 punto de acumulación 𝑝 ∈ ℝ𝑚 ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 0< 𝑥−𝑎 <𝛿 𝑓 𝑥 −𝑝 < 𝜀 • • Propiedades de los limites Condiciones 1 lim Limites direccionales 𝑥,𝑦 →(𝑎,𝑏) Iterados 1 lim 𝑓(𝑥) = 𝑝 𝑥→𝑎 Si existe límite lim 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥→𝑎 ÉS ÚNICO • • 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 lim lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿1 𝑦→𝑏 𝑥→𝑎 lim lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿2 No puede ser diferente Ni depender de ningún parámetro • • Si 𝐿1 = 𝐿2 quizas ese se el valor del limite Si 𝐿1 ≠ 𝐿2 ⇒ ∄𝐿 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 • • • Idem Iterados No puede depender de un 𝑚 o 𝑐 Si para algún parámetro no existe ∄𝐿 𝑥→𝑎 𝑦→𝑏 𝑚𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑥 2 𝑐 𝑥 Curvas Polares • • Disco centrado en (𝑎, 𝑏) Si 𝑟 → 0 nos estamos acercando al punto Si da 𝑐𝑡𝑒 → 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒 Si depende de 𝜃  ∄𝐿 ∄𝐿𝑖 para algun 𝜃 Acotaciones • • • • 0 · 𝐴𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 Separar 𝑓 en partes acotables Acotar Ver los cuadrados que obligan a que ≥ 0 ℎ 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑔 𝑥, 𝑦 ≤ ↓ ≤ ↓ ↓ 0 𝐿=0 0 Tenemos que conseguir una 𝑔(𝑥, 𝑦) que sea mayor que 𝑓 𝑥, 𝑦 Cambios de variable • Siempre que veamos funciones en que podamos aprovechar Infinitesimos de una variable o el polinomio de Taylor podemos hacer cambios de variable • Limites en funciones a trozos Carlos Angulo • Acercarnos por diferentes lados a los puntos que separan la función Dibujar graficas para ver los posible s resultados y caminos de los limites Resumen T2 ACAL (0,0) (𝑎, 0) 𝑥, 𝑦 → (0, 𝑏) (0,0) 1 Carlos Angulo Resúmenes ACAL T2 Limites y Continuidad Continuidad 1 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 𝑎 ∈ 𝐴 punto de acumulación Tº de Weierstrass 𝑓: 𝐾 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 𝑓: 𝐾 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ Carlos Angulo T2 Limites y continuidad lim 𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 𝑓 es continua en 𝐴 𝑥→𝑎 𝑓 es continua • • 𝑓 −1 𝑉 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑗𝑡𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ⊆ ℝ𝑛 ∀ 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑉 ∈ ℝ𝑚 𝑓 es continua en A • • • 𝑓 −1 𝑉 = 𝐴 ∩ 𝑈 𝑈 𝑐𝑗𝑡𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ⊆ ℝ𝑛 ∀ 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑉 ∈ ℝ𝑚 𝑓 es continua • • 𝑓 −1 𝑊 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑗𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 ⊆ ℝ𝑛 ∀ 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑊 ∈ ℝ𝑚 𝑓 es continua en A • • • 𝑓 −1 𝑊 = 𝐴 ∩ 𝑈 𝑈 𝑐𝑗𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 ⊆ ℝ𝑛 ∀ 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑊 ∈ ℝ𝑚 Condiciones Conclusiones • • 𝑓(𝐾) compacto 𝑓 continua en 𝐾 𝐾 compacto (cerrado y acotado) Condiciones Conclusiones • • 𝑓 toma valores extremos en K 𝑓 continua en 𝐾 𝐾 compacto (cerrado y acotado) Resumen T2 ACAL 2 ...