CMN 2ndo trimestre Examen 2013 julio + solucion (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Ingeniería de Sistemas Audiovisuales - 1º curso
Asignatura Calculo y metodos numericos
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 29/09/2014
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Toda la teoria del primer trimestre de calculo y métodos numéricos

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Examen de recuperaci´ on de la 2a parte de C´ alculo y M´ etodos Num´ ericos Respuestas 1. (2.5 puntos) a) (0.5 puntos) Determinar anal´ıticamente el dominio de la funci´on p f (x, y) = log (3x2 + 5y 2 2).
Para que la ra´ız cuadrada tenga sentido es necesario que log (3x2 + 5y 2 2) 0.
(1) Si queremos que se cumpla (1), entonces tenemos que imponer la siguiente condici´on: 3x2 + 5y 2 2 1.
(2) El dominio de f viene dado por todos los puntos (x, y) del plano que verifican (2).
b) (1.25 puntos) Dibujar el dominio de f determinando expl´ıcitamente las coordenadas de las intersecciones de su frontera con el eje horizontal y con el vertical.
La frontera del dominio se corresponde con los puntos del plano tales que 3x2 +5y 2 2 = 1. Esta ecuaci´on se puede escribir de la siguiente forma: y2 x + = 1.
3/5 2 A partir de aqu´ı es f´acil averiguar que la fronterap del dominio est´a constituida por una elipse de semiejes 1 (en la direcci´on de x) y 3/5 (en pla direcci´on de y). Por tanto los puntos de corte con los ejes son (±1, 0) y (0, ± 3/5). El dominio de f consta de la elipse y de todos los puntos del plano exteriores a ella.
y p 3/5 1 D(f ) 1 p x 3/5 p c) (0.75 puntos) Dadas las funciones g(x, y) = 2 sin (y ex ) y h(x) = ( 2x, log (x), x4 ), indicar si es posible realizar las composiciones g f y h f justificando las respuestas.
Escribir la composici´on cuando sea posible.
1 Para que las composiciones tengan sentido, el codominio de la primera funci´on a componer tiene que coincidir con el dominio de la segunda funci´on a componer.
Tenemos que f : R2 ! R g : R2 ! R h : R ! R3 Entonces no es posible efectuar g f , mientras que h f : R2 ! R3 . M´as precisamente, (h f )(x, y) = ✓q p 2 log (3x2 + 5y 2 2), log ⇣p log (3x2 + 5y 2 ⌘ ⇣p 2) , log (3x2 + 5y 2 2) ⌘4 ◆ .
2. (2.5 puntos) Sea la curva C con parametrizaci´on ~c (t) = (cos (4t), sin (4t), t), t 2 [0, 4⇡].
a) (0.75 puntos) Dibujar C cualitativamente en el intervalo de parametrizaci´on t 2 [0, ⇡].
Se trata de una h´elice que da dos vueltas: b) (0.75 puntos) Calcular la longitud de C.
La longitud de la curva se calcula mediante la integral siguiente: Z Z 4⇡ ` = d` = ||c0 (t)|| dt.
C 0 Tenemos que c0 (t) = ( 4 sin(4t), 4 cos(4t), 1), de forma que: q p ||c0 (t)|| = 16 sin2 (4t) + 16 cos2 (4t) + 1 = 17.
Sustituyendo en la integral tenemos: Z 4⇡p p `= 17 dt = 4⇡ 17.
0 c) (1 punto) Suponiendo que la curva C representa el perfil de un alambre y que la densidad lineal de masa de ese hilo es f (x, y, z) = z xy, calcular la masa total del alambre.
Se trata de calcular la siguiente integral curvil´ınea: Z Z 4⇡ M = f (x, y, z) d` = f (c(t)) ||c0 (t)|| dt.
C 0 Tenemos que f (c(t)) = t cos(4t) sin(4t), de forma que:  2 Z 4⇡ p p t cos2 (4t) M= (t cos(4t) sin(4t)) 17 dt = 17 + 2 4·2 0 2 4⇡ 0 p = 8⇡ 2 17.
3. (2.5 puntos) Dado el dominio D = (x, y) 2 R2 : x  0, 1  x2 + y 2  4 a) (0.5 puntos) Dibujar D.
La primera condici´on se corresponde con los cuadrantes segundo y tercero; la segunda condici´on representa una corona circular de radios 1 y 2 y centro el origen del plano.
Por tanto el dominio se corresponde con la porci´on de corona circular contenida en los cuadrantes segundo y tercero (puntos de la frontera inclusive).
y D 1 x 2 b) (0.75 puntos) Calcular el ´area de D.
Una forma de calcular el a´rea es integrar la funci´on 1 sobre el dominio. De esta forma, utilizando cooredenadas polares, a´rea = ZZ dxdy = D Z 3⇡/2Z 2 ⇡/2 1  ⇢2 ⇢ d⇢d✓ = 2 c) (1.25 puntos) Calcular la integral ZZ D 2 1 · 3⇡/2 [✓]⇡/2 = ✓ 2 1 2 ◆ ⇡= 3⇡ .
2 xy 2 dxdy x2 + y 2 usando coordenadas polares.
De forma parecida al anterior apartado, ZZ D xy 2 dxdy = x2 + y 2 = = Z 3⇡/2Z 2 ⇡/2 ✓Z ✓ 2 1 ⇢ cos ✓ (⇢ sin ✓)2 ⇢ d⇢d✓ = (⇢ cos ✓)2 + (⇢ sin ✓)2 ◆ Z ⇢ d⇢ 3⇡/2 2 1 8 3 1 3 2 cos ✓ sin ✓ d✓ ⇡/2 ◆ ✓ ( 1)3 · 3 3 13 3 ◆ = ! 14 .
9 Z  3⇡/2Z 2 ⇡/2 ⇢3 = 3 1 2 1 ·  ⇢3 cos ✓ sin2 ✓ ⇢ d⇢d✓ = ⇢2 sin3 ✓ 3 3⇡/2 = ⇡/2 4. (2.5 puntos) Dada la funci´on f (x, y) = x4 + y 3 4x2 3y 2 a) (0.5 puntos) Escribir el polinomio de Taylor de orden 2 centrado en (0, 0) de la funci´on f .
Como f ya es un polinomio en (x, y), es suficiente coger todos sus t´erminos hasta orden 2, con lo que (2) T(0,0) (x, y) = 4x2 3y 2 .
Alternativamente, el mismo resultado se obtiene al calcular sus derivadas parciales hasta orden 2, evaluarlas en (0, 0) y sustituirlas en la expresi´on (2) T(0,0) (x, y) = f (0, 0) + fx (0, 0)·x + fy (0, 0)·y + 1 fxx (0, 0)·x2 + 2fxy (0, 0)·xy + fyy (0, 0)·y 2 .
2 b) (2 puntos) Calcular los puntos extremos de la funci´on f y determinar si son m´aximos, m´ınimos o puntos de silla.
En primer lugar calculamos los puntos estacionarios de f , que son los que anulan su gradiente: ⇢ 3 4x 8x = 0 rf (x, y) = (0, 0) , (fx (x, y), fy (x, y)) = (0, 0) , 2 3y 6y = 0 Las soluciones de este sistema son los puntos p p p p (0, 0) (0, 2) ( 2, 0) ( 2, 2) ( 2, 0) ( 2, 2) Para saber si son m´aximos, m´ınimos o puntos de silla evaluaremos det (Hf (x, y)) en cada uno de ellos.
! ! fxx (x, y) fxy (x, y) 12x 8 0 Hf (x, y) = = fxy (x, y) fyy (x, y) 0 6y 6 Por lo tanto, det (Hf (0, 0)) = 48 > 0 ) (0, 0) es un m´aximo o un m´ınimo fxx (0, 0) = 8 < 0 ) (0, 0) es un m´aximo det (Hf (0, 2)) = p det (Hf (± 2, 0)) = 48 < 0 ) (0, 2) es un punto de silla p 96 < 0 ) (± 2, 0) son puntos de silla p p det (Hf (± 2, 2)) = 96 > 0 ) (± 2, 2) son m´aximos o m´ınimos p p fxx (± 2, 2) = 16 > 0 ) (± 2, 2) son m´ınimos 4 ...