Optimización de funciones (0)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas
Año del apunte 0
Páginas 12
Fecha de subida 27/05/2014
Descargas 5
Subido por

Descripción

Apuntes detallados y esquemáticos

Vista previa del texto

3- Optimització de funcions A continuació veurem un mètode analític per optimitzar una funció real, en el cas que no existeixin restriccions sobre el domini de la funció, i quan la funció admeti segones derivades contínues.
Aquest mètode generalitza la tècnica d'optimització de funcions en una variable utilitzant càlcul diferencial. Els passos seran els següents: 1. Es determina quins són els candidats a òptims, definint els punts crítics, ja que són els únics punts candidats a extrems locals.
2. Seguidament aplicarem un criteri basat en la segona derivada, per determinar si el punt crític correspon a un màxim o mínim relatiu.
1. Inequacions i sistemes d’inequacions Una inequació és una desigualtat entre dues expressions on hi apareix alguna incògnita.
La seva solució serà el conjunt de valors numèrics que verifiquen la desigualtat.
Exemple 1. Resol la següent inequació: 2⋅ x < 8 Podem veure que el punt crític on es resoldria la equació seria x = 4 , per tant els valors que resolen la inequació seran els que compleixin: x<4 1.1. Interval obert, tancat o semiobert Interval tancat en els dos extrems: [a, b] = {x ∈ ℜ / a ≤ x ≤ b} a Matemàtiques I – G. Lladó Fortit b 3-1 Interval obert en els dos extrems: (a, b ) = {x ∈ ℜ / a < x < b} a b Interval semiobert per l’esquerra: [a, b ) = {x ∈ ℜ / a ≤ x < b} a b Interval semiobert per la dreta que s’estén cap a l’esquerra: (− ∞, a ) = {x ∈ ℜ / x < a} a 1.1. Operacions amb inequacions: Propietats Operació suma: si es suma el mateix element a les dues bandes de la inequació, la desigualtat es manté: a<b→a+c<b+c Operació multiplicació: si es multipliquen les dues bandes pel mateix nombre positiu, la desigualtat es manté; si el nombre es negatiu el símbol de la inequació canvia de sentit: c > 0 → a ⋅ c < b ⋅ c a < b Si  c < 0 → a ⋅ c > b ⋅ c Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-2 Operació quebrat: Si els valors comparteixen el signe, al invertir-los canvia el signe de la inequació: a > b > 0  1 1 a < b Si  → > a b a < b < 0  Operació quadrats: Si elevem al quadrat els dos membres de la desigualtat mantindran el signe de la inequació si son positius, i el canviaran si son negatius: a > 0  2 2 →a <b  b > 0  a < b Si  a < 0  → a 2 > b 2 b < 0    1.2. Inequacions polinòmiques Considerarem una inequació polinòmica a la que tindrà com a primer terme un polinomi, mentre que el segon serà un zero: a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x 2 + a3 ⋅ x 3 + ... + a n ⋅ x n < 0 Identificarem les inequacions pel grau més elevat que observem en una variable acompanyat per una constant diferent de zero; així per exemple podem distingir: De primer grau → 2 + 3 ⋅ x < 0 De primer grau → 2 + 3 ⋅ x + 5 ⋅ x 2 < 0 De tercer grau → 2 + 3 ⋅ x + 5 ⋅ x 2 − x 3 < 0 Una de les maneres en que es poden resoldre les equacions de grau superior a u, es descompondre el polinomi en el seu producte de factors.
Exemple 2. Resol la següent inequació: 5 ⋅ x + 3 ⋅ x2 > x2 + 3 Primer hem d’agrupar els termes per clarificar els càlculs, deixant un terme de la inequació com ha zero: 5 ⋅ x + 3 ⋅ x2 − x2 − 3 > 0 → 2 ⋅ x2 + 5 ⋅ x − 3 > 0 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-3 Les solucions o arrels d’aquesta equació serien:  x = 0'5 2 ⋅ x2 + 5 ⋅ x − 3 = 0 →   x = −3 Podem doncs factoritzar l’equació: 2 ⋅ x 2 + 5 ⋅ x − 3 < 0 → 2 ⋅ ( x − 0'5) ⋅ ( x + 3) > 0 Podem prescindir del dos que multiplica al inici doncs no afectarà al signe de l’equació.
El signe de l’equació dependrà de la combinació de signes dels dos termes de l’equació: (−∞,−3) (−3,0'5) (0'5,+∞) ( x − 0'5) - - + ( x + 3) - + + + - + 2 ⋅ ( x − 0'5) ⋅ ( x + 3) A partir de l’anàlisi del signe podem veure en quins intervals, la combinació dels signes concorda amb la que ens demana la inequació; com aquesta és soluciona amb valor superiors a zero, els positius, els intervals que ho compleixen són: (−∞,−3) ∪ (0'5,+∞) Inequacions polinòmiques de grau “n” El seu esquema seguirà la següent estructura: a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x 2 + a3 ⋅ x 3 + ... + a n ⋅ x n < 0 La seva resolució seguirà la mateixa estructura que les de segon grau, factoritzant el polinomi i estudiant el seu signe.
a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x 2 + a3 ⋅ x 3 + ... + a n ⋅ x n < 0 Identificarem les inequacions pel grau més elevat que observem en una variable acompanyat per una constant diferent de zero; així per exemple podem distingir: Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-4 Exemple 3. Resol la següent inequació: 2 ⋅ x3 − 4 ⋅ x2 − 7 ⋅ x ≤ −x 2 + 3 Primer hem d’agrupar els termes per clarificar els càlculs, deixant un terme de la inequació com ha zero: 2 ⋅ x3 − 4 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x + x2 − 3 ≤ 0 → 2 ⋅ x3 − 3 ⋅ x 2 − 8 ⋅ x − 3 ≤ 0 Les solucions o arrels d’aquesta equació serien: x = 3  2 ⋅ x 3 − 3 ⋅ x 2 − 8 ⋅ x − 3 = 0 →  x = −0'5  x = −1  Podem doncs factoritzar l’equació: 2 ⋅ x 3 − 3 ⋅ x 2 − 8 ⋅ x − 3 ≤ 0 → ( x + 0'5) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 3) ≤ 0 El signe de l’equació dependrà de la combinació de signes dels tres termes de l’equació: (−∞,−1) (−1,−0'5) (−0'5,3) (3,+∞) ( x + 0'5) - - + + ( x + 1) - + + + ( x − 3) - - - + - + - + ( x + 0'5) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 3) Els valors que resolen la inequació seran els que la combinació de signes dona com a resultat un valor inferior a zero, que corresponen als següents intervals: (− ∞,−1] ∪ [− 0'5,3] Hem introduït en aquest exemple la possibilitat que l’interval sigui obert i tancat, en aquest últim el valor que delimita seria també solució de la inequació.
Inequacions racionals El seu esquema seguirà la següent estructura: f ( x) <0 g ( x) On f ( x) i g ( x) seran polinomis.
Per a la seva resolució passarem tots els membres a un costat, evitant fer la operació de la multiplicació en creu, doncs això podria modificar el sentit dels signes. Després estudiarem el signe de la factorització del numerador i denominador, tenint molt present que s’ha de evitar que el denominador s’anul·li.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-5 Exemple 4. Resol la següent inequació: 2 ⋅ x3 − 3 ⋅ x 2 − 3 ≥x x2 − 1 Primer hem d’agrupar els termes, per agrupar-ho després sobre un sol denominador: 2 ⋅ x3 − 3 ⋅ x2 − 3 x3 − 3 ⋅ x 2 + x − 3 − x ≥ 0 → ≥0 x2 − 1 x2 − 1 Factoritzant el numerador i denominador, podríem deixar-ho com: ( x − 3) ⋅ ( x 2 + 1) ≥0 ( x + 1) ⋅ ( x − 1) Abans de passar a veure el signe podem prescindir d’un dels termes, el ( x 2 + 1) , doncs al aparèixer la incògnita elevada al quadrat només podrà ser positiu.
(−∞,−1) (−1,1) (1,3) (3,+∞) ( x − 3) - - - + ( x + 1) - + + + ( x − 1) - - + + - + - + ( x − 3) ⋅ ( x 2 + 1) ( x + 1) ⋅ ( x − 1) Agafarem doncs els valors que aconsegueixen que la combinació de signes sigui positiva; tenint molt presents que els valors “-1” i “1” no quedaran inclosos al anul·lar el denominador. La solució, per tant, quedaria de la següent manera: (− 1,1) ∪ [3,+∞ ) Inequacions amb valor absolut Al treballar amb una inequació amb valors absoluts, s’ha de tenir en compte que la solució és torna més complexa al duplicar-se el sentit de la equació.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-6 Exemple 5. Resol la següent inequació: x <5 Els valors que la resolen seran els que tenen una distancia amb l’origen inferior a “5”; per tant, la equació, sense valor absolut, equivalent seria: −5< x <5 Doncs serien solució els valors negatius més grans que el “-5”, i els valors positius més petits que el “5”: (− 5,5) Exemple 6. Resol la següent inequació: x >5 En aquest cas, els valors que la resolen son els que la distancia amb l’origen serà superior a “5”; llavors hi ha dos núvols de punts que ho resolen: x < −5 5< x Per tant, quedaria com a solució: (− ∞,−5) ∪ (5,+∞ ) Es pot resumir com: Si x < a i a > 0 → (− a < x < a ) Si x > a i a > 0 → (x < −a ) ∪ (a < x ) Si a ⋅ x + b < c i a > 0 → −c < a ⋅ x + b < c Si a ⋅ x + b > c i a > 0 → (a ⋅ x + b < −c ) ∪ (c < a ⋅ x + b ) Exemple 7. Resol la següent inequació: 5 ⋅ x + 10 ≤ 15 Podem considerar la equació equivalent com: − 15 ≤ 5 ⋅ x + 10 ≤ 15 → − 15 − 10 15 − 10 ≤ 5⋅ x ≤ → (− 5 ≤ x ≤ 1) 5 5 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-7 Exemple 8. Resol la següent inequació: 3⋅ x + 8 ≥ 2 Aquí haurem de separar els dos sistemes: 3 ⋅ x + 8 ≥ 2 → x ≥ −2  − 10     3⋅ x + 8 ≥ 2 →  − 10  →  − ∞,  ∪ [− 2, ∞ ) 3 3 ⋅ x + 8 ≤ − 2 → x ≤   3  Exemple 9. Resol la següent inequació: 4 − 1− x ≤ 1 Arreglem l’equació: 4 − 1 − x ≤ 1 → − 1 − x ≤ −3 → 1 − x ≥ 3 Que equival a: 1 − x ≥ 3 → x ≤ −2  1− x ≥ 3 →   → (− ∞,−2] ∪ [4, ∞ ) 1 − x ≤ −3 → x ≥ 4 2. Funcions creixents i decreixents Una funció serà creixent, o decreixent si, per qualsevol parell de punts compresos a la funció, compleix alguna de les següents correspondències: Creixent → Si xi < x j llavors f ( xi ) ≤ f ( x j ) Decreixent → Si xi < x j llavors f ( xi ) ≥ f ( x j ) Igualment, una funció serà estrictament creixent, o estrictament decreixent si, per qualsevol parell de punts compresos a la funció, compleix alguna de les següents correspondències: Estrictament Creixent → Si xi < x j llavors f ( xi ) < f ( x j ) Estrictament Decreixent → Si xi < x j llavors f ( xi ) > f ( x j ) Exemple 10. Indica el comportament de la següent funció: f ( x) = x 3 + 3 ⋅ x 2 − 9 ⋅ x + 2 Podem veure amb facilitat que no hi ha valors exclosos del domini de la funció, per tant, podem passar a realitzar la primera derivada: f ′( x) = 3 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x − 9 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-8 Les solucions o arrels de la primera derivada serien: x = 1 f ′( x) = 3 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x − 9 = 0 →   x = −3 Factoritzarem la derivada: f ′( x) = 3 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x − 9 → f ′( x) = 3 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 3) Devem analitzar com es comporta l’equació en funció del signe per així distingir les zones on creix de les que decreix: (−∞,−3) (−3,1) + - f ′(x) (1,+∞) + A partir del signe de la primera derivada podem concloure que fins al punt “-3” la funció creixerà; entre “-3” i “1” la funció decreixerà, passant la funció a créixer a partir d’aquest interval.
3. Extrems relatius i locals Per a que x0 sigui un extrem relatiu s’ha de complir que, si la funció es derivable en aquest punt, llavors: f ′( x0 ) = 0 Si aquest punt x0 , compleix que f ′′( x0 ) ≠ 0 llavors: • Si f ′′( x0 ) < 0 llavors f ( x0 ) serà un mínim relatiu.
• Si f ′′( x0 ) > 0 llavors f ( x0 ) serà un màxim relatiu.
Si no complís aquesta condició s’hauria d’estudiar el comportament del límit en les dues bandes.
Exemple 11. Indica el comportament de la següent funció: f ( x) = 3 ⋅ x 2 − 12 ⋅ x + 2 Fent la primera derivada igualada a zero trobarem els punts crítics: f ′( x) = 6 ⋅ x − 12 = 0 → x = 2 A partir de la segona derivada descobrirem el comportament de la funció: f ′′( x) = 6 → f ′′(2) = 6 > 0 → x = 2 ← Mínim Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-9 Exemple 12. Indica el comportament de la següent funció: f ( x) = 3 ⋅ x 4 Fent la primera derivada igualada a zero trobarem els punts crítics: f ′( x) = 12 ⋅ x 3 = 0 → x = 0 A partir de la segona derivada descobrirem el comportament de la funció: f ′′( x) = 36 ⋅ x 2 → f ′′(0) = 0 Com la segona derivada s’iguala a zero no ens serveix aquest criteri, haurem d’estudiar el comportament dels límits laterals en el punt estudiat.
Estudi del límit: lim 0− f ′( x) = 12 ⋅ x 3 < 0  llavors → x = 0 ← Mínim 3 ′ lim f ( x ) = 12 ⋅ x > 0  x 0+ x Exemple 13. Indica el comportament de la següent funció: f ( x) = 2 ⋅ x 3 − 3 ⋅ x 2 − 4 Fent la primera derivada igualada a zero trobarem els punts crítics: x = 1 f ′( x) = 6 ⋅ x 2 − 6 ⋅ x = 0 →  x = 0 Abans de fer la segona derivada, estudiarem com es comporta el signe de la primera derivada, doncs ens ajudarà a clarificar el comportament de la funció: f ′(x) (−∞,0) (0,1) (1,+∞) + - + A partir del signe podem observar que en el zero tindrem un màxim, doncs la funció creix fins a aquest punt, per llavors començar a decréixer.
Mentre que en el punt u tindrem un mínim, doncs succeeix el contrari.
A partir de la segona derivada corroborarem el comportament de la funció:  f ′′(0) = −6 < 0 → Màxim f ′′( x) = 12 ⋅ x − 6 →   f ′′(1) = 6 > 0 → Mínim Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-10 3.1. Tipus d’extrems • Considerarem un punt x0 com a mínim local, si al seu entorn es compleix que: f ( x0 ) ≤ f ( x ) • Considerarem un punt x0 com a màxim local, si al seu entorn es compleix que: f ( x ) ≤ f ( x0 ) • Un punt x0 serà un mínim absolut, si per a tot el domini de la funció es compleix: f ( x0 ) ≤ f ( x) • Un punt x0 serà un màxim absolut, si per a tot el domini de la funció es compleix: f ( x ) ≤ f ( x0 ) 4. Concavitat i convexitat Corba còncava: quan la gràfica es troba per sobre de les rectes tangents a la corba.
La primera derivada de la funció, augmentarà al créixer el valor de “x”: Si xi > x j → f ′( xi ) > f ′( x j ) La segona derivada serà superior a zero, per tots els punts de l’interval: f ′′( x0 ) > 0 Corba convexa: quan la gràfica es troba per sota de les rectes tangents a la corba.
La primera derivada de la funció, disminuirà al créixer el valor de “x”: Si xi > x j → f ′( xi ) < f ′( x j ) La segona derivada serà superior a zero, per tots els punts de l’interval: f ′′( x0 ) < 0 Punt d’inflexió: Serà el punt on la funció canvia de còncava a convexa, o a l’inrevés.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-11 Exemple 14. Estudia els intervals de concavitat i convexitat de la següent funció: f ( x) = 2 ⋅ x 3 − 3 ⋅ x 2 − 4 Busquem la segona derivada:: f ′( x) = 6 ⋅ x 2 − 6 ⋅ x → f ′′( x) = 12 ⋅ x − 6 = 0 → x = 0'5 Com el domini es continua per tots els nombres Reals, passarem a estudiar els intervals que venen separats pels valors que anul·len la segona derivada: (−∞,0'5) (0'5,+∞) - + f ′′(x) Per tant, la corba de f (x) anterior al punt x = 0'5 serà convexa, mentre que per punts superiors a x = 0'5 serà Còncava.
5. Exemple de l’aplicació a l’àmbit econòmic Exemple 15. Buscar el benefici màxim d’una empresa amb les següents característiques: Demanda → p = 45 − 0'5 ⋅ x Cost → C ( x) = x 3 − 39'5 ⋅ x 2 + 120 ⋅ x + 125 Primer buscarem la funció del Benefici:  Ingresos → p ⋅ x  B ( x) = Ingresos − Costos →  → 3 2 Costos → x − 39'5 ⋅ x + 120 ⋅ x + 125 → B ( x) = p ⋅ x − x 3 − 39'5 ⋅ x 2 + 120 ⋅ x + 125 → ( ( ) ) → B ( x) = (45 − 0'5 ⋅ x ) ⋅ x − x 3 − 39'5 ⋅ x 2 + 120 ⋅ x + 1250 → → B ( x) = − x 3 + 39 ⋅ x 2 + 120 ⋅ x + 125 Buscarem els punts crítics a partir de la primera derivada: x = 1 B ′( x) = −3 ⋅ x 2 + 78 ⋅ x − 75 = 0 →   x = 25 A partir de la segona derivada avaluarem els punts crítics:  B ′′(25) = −72 < 0 → Màxim B ′′( x) = −6 ⋅ x78 →   B ′′(1) = 72 > 0 → Mínim El major benefici s’aconseguirà amb un preu de 3 u.m.: x0 = 3 → Màxim Benefici → B (25) = −253 + 39 ⋅ 25 2 + 120 ⋅ 25 + 125 = 6750 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-12 ...