Introducción y fracción (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad Complutense de Madrid (UCM)
Grado Maestro en Educación Primaria - 3º curso
Asignatura Didactica de las matemáticas
Año del apunte 2013
Páginas 19
Fecha de subida 01/08/2017
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Introducción Pasar de decimales a fracciones Decimal limitado 1’12 = Periódico puro 15’ = x 152’ = x 137 = 9x = 15’ Restamos =X Periódico limitado 15’ = x 1528 = 100x 1513= 99x = 15’ Restamos =X Periódico mixto 3’2 = x 32’ = 10x 328’ = 100x 296 = 90x = 3’2 Restamos =X 34’00 = x 340’0 = 10x 3400’ = 100x 340022’ = 1000x Restamos 336622 = 9900x =X = = 34’00 Representar fracciones en la resta Trazas una recta tangente a la recta numérica y la divides en partes iguales según el denominador. Unes el último punto con la recta y el resto en paralelo a este.
Representa de AB 1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.
3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.
; Fracciones 1. Medida o fraccionamiento de la unidad El todo puede tener varias partes iguales tomándose las que sean. En primaria, sueles verse en superficies. Puede dividirse el todo en las partes que se quieran. Las medidas son en funciones de la unidad. Ej Tres octavos de la unidad (la circunferencia entera) La unidad son las dos circunferencias La unidad es el rectángulo Matemáticas para maestros: En estas situaciones existe una cantidad de magnitud a medir que no equivale a la unidad o alguno de sus múltiplos. Para precisar más la medida se divide la unidad en partes iguales y si una cantidad de magnitud mide a/b unidades quiere decir que dividiendo la unidad en b partes iguales la cantidad de magnitud a medir equivale a un número a de dichas partes.
Ejemplo: Cuando decimos que un botellín de coca cola tiene 250/1000 litros.
2. Fracción como operador El operador es una función lineal que se aplica a un número. No hablamos de fraccionar, ni dividir sino de operar. Ej: Juan gana de 2000 cromos  = 400 2 · 400 = 800 Primero haríamos la operación de fracción (“división”) para no crear una situación irreal, es decir, si multiplicamos primero plantearíamos en un momento la situación de 4000 cromos (2 · 2000) lo cual podría suponer una confusión a ciertas edades, y más si hacemos el problemas manipulativamente.
Matemáticas para maestros: Se trata de situaciones en las que un todo constituido por uno o más objetos se divide en partes iguales y se toman o consideran algunas de esas partes. Cuando decimos que una parte es a/b del total queremos decir que el total se ha dividido en b partes iguales y que el trozo al que hacemos referencia está formado por un número a de dichas partes.
Si el todo está compuesto por un número de elementos iguales, que a su vez es múltiplo de b, la partición consiste en formar b subconjuntos disjuntos del mismo número de elementos y tomar a de ellos. El todo puede ser continuo o discreto.
Ejemplo (todo continuo): Si repartimos una tarta entre tres personas decimos que cada una de ellas recibe Ejemplo (todo discreto): En una urna hay 5 bolas blancas y 3 negras. Decimos que la probabilidad de obtener una bola blanca es 5/8, porque los casos favorables son 5 de los 8 posibles 3. Fracción como cociente: contexto de repartición Matemáticas para maestros: Los objetos pueden ser divididos en partes sin que pierdan sus propiedades básicas En este caso la existencia de un resto obliga a dividir en partes iguales la unidad de reparto para poder seguir repartiendo el resto de forma igualitaria entre los individuos. Por tanto, si cada individuo recibe a/b objetos significa que cada uno de los objetos a repartir ha sido dividido en b partes iguales y se ha entregado a de ellas a cada individuo.
Ejemplo: Se desea repartir, de manera equitativa, 5 tartas entre 8 niños. Cada tarta se divide en ocho porciones iguales y se dan 5 de ellas a cada niño. El resultado del reparto se expresa con la escritura, 5/8.
3 chocolatinas entre 5 niños 3º opción… Aproximaciones: todo número puede ser aproximado por un número decimal. A medida que aumentamos la aproximación (centésima, milésima…) menor será el error en la aproximación.
4º Razón- proporción Razón es la comparación entre dos medidas La proporción es igualdad de varias razones.
Ej.
Razón A y B quieren comprar un libro de 52€ Cada 5€ que paga B, A paga 8 ¿Cuánto paga cada uno? A+B = 52 A8€ B  5€ B + B = 52  B+ A= B B = 52  B = 52  B = = 20 B = 20 A= 20 = 32 A = 32 Porpoción: 12Kg de naranjas cuestan 18€ ¿Cuánto cuestan 9Kg? ¿Cuánto son 375€? Ejemplos Una reunión de 24 personas en la que son adultos y de estos son hombres.
¿Cuántos adultos hay? *fracción como operador de 24  = 8  8 · 2 = 16 16 adultos ¿Cuántos hombres hay? *fracción como operador de 16  = 4  4 · 3 = 12 12 hombres ¿Cuántos niños hay? 24 – 16 = 8 8 niños Fracción de los hombres respecto del total = = Un cazador se encuentra dos pastores A y B. A tiene 3 quesos y B 5. Comparten los 8 entres los 3. El cazados para pagar su parte da 40€. ¿Cómo han de repartírselo los pastores? 40 · 3 = 120€ 120 : 8 = 15€ 120 es el todo y cada queso cuesta 15€ por lo que: A tiene (15 · 3) 45€en quesos B tiene (15 · 5) 75€ en quesos 40€ son 2 quesos y 2/3 de queso  1 queso de A y 1+ 2/3 de B A 15€ B25€ Porcentajes: Compramos algo de 100€. Me pregunta el dependiente ¿Qué prefieres que haga antes el 20% de descuento o el 16% de iva? 100 · 0’16 = 16  100 + 16 = 116 precio total con IVA 20% de 116  = = 23’2 es el descuento 116 – 23,2 = 92’8 Primero el IVA y luego el descuento Doy una tira dividida en 26cm y otra de 16cm. Pido medir la tira B con la tira A A=1B + B + B = Números racionales Introducción a las fracciones de equivalencia Ideas previas Relación entre fracciones Propiedades de las fracciones Relaciones de equivalencias – El número racional Propiedades Reflexiva Simétrica Transitiva Suma de números racionales Definición Propiedades de la suma Conmutativa Asociativa Existencia del elemento neutro Existencia del elemento simétrico Resta de números racionales Siendo los tres números racionales si y solo si α = β + ɣ α+β=ɣ  ɣ α- β = ɣ α=β+ɣ Demostración α= β= ɣ= α- β = ɣ α=β+ɣ ----producto en cruz-- adf = b (cf + ed) = bfc + bed Adf – bfc = bed (ad – bc) f = bed = Producto y división de números racionales Para iniciar en esta operación (y en la de la división) a los alumnos, primero les presentamos una serie de problemas como los siguientes: 1- Al comprar la mitad de Kg de Jamón ¿ Fracción se ha comprado · = Kg 2- ¿Cuántos vasos de L se llenan con 1’5 L de agua? 1’5 = : = = 4’5 3- La base en k de un campo rectangular es de b·a= y su altura de medio k = Producto de de números racionales Partimos de los números enteros que ya conocen.
= 2  20= 10 · 2 a= -> = h c= -> = K c = d·K = 412 = 4 · 3 h(número entero) cómo a es múltiplo de b ( el resultado es un nº entero Z· = h, b·h = a Ac = (bd) · hk , = k, d·k = c Cuando el número es multipo del denominador el producto es entero 2·3= · = Para los racionales =6 Propiedades del producto Conmutativa Para cualquier número racional α · β = β · α α·β= β·α α= α·β= = = = β·α = β= Asociativa Para cualquier número racional ( ɣ ɣ): (α · β) · ɣ ) = α · (β · ɣ) (α · β) · ɣ ) = α · (β · ɣ) Existencia del elemento neutro ɣ α= = =1 --pasamos de representantes a un número =  x=y=1 => si a ≠ 0 Existencia del elemento simétrico Para todo número racional existe otro a≠0 para el 0 no hay simétrico = 1 <-> = => Propiedad distributiva del producto respecto de la suma Se utiliza la suma y el producto.
ɣ ɣ ɣ· ɣ La división de números racionales Se define por la multiplicación  se da por el producto No debemos olvidar que cuando utilizamos los corchetes nos estamos refiriendo a una clase. Por lo que podemos omitirlos porque ,a·d·f=b·e·c, = son de la misma clase.
, Se multiplica por el inverso de que es con que c ≠ 0 Reglas 1ºregla r· = = ·r Demostración: --definicion del producto --existencia del elemento neutro  –propiedad comuntativa 2ºregla :r= Demostración -- definición de división · -- def. de producto y nº neutro 3ºregla r: =  multiplicación por el inverso ;  · = ·r El orden en los números racionales es positiva si( ) si a y b tienen el mismo signo es negativa ( ) si a y b tienen el distinto signo es nula ( ) si a = 0, es decir, si el numerador es 0 El valor absoluto de un número racional si es positivo si es negativo ) < ) 0 si Ordenar de menor a mayor Caso 1: operar = 0,4 = 0,94 · 0,937 Caso 2: denominador común ; ;  Caso 3: representación gráfica Caso 4: mismo numerador ;  ; Caso5: distancia a la unidad = = = Caso 6 => ad<cb Definición de un número racional cuando uno es mayor que otro -Cuando un número racional es positivo /α≤ββ–α -Cuando un número raciona es negativo α ≥ β  β – α o nulo Propiedades de orden Reflexiva α ≤ α si α - α α=0 por lo que es reflexiva Antisimétrica Si α ≤ β => β α β–α≥0 -(β – α) < 0  -β + α < 0 Transitiva α≤β β–α α≤β ɣ β α * α≤ɣ β≤ɣ β≤ɣɣ- β β–α ɣ- β ɣ–α => α ≤ ɣ si dan positivo α es mayor o igual que ɣ (45 + 5 = 50) *Un número más 0 es igual que otro si su resta es positiva α ≤ β  β – α Orden Total Siempre que se coge un número (entre 2) uno va a ser igual que otro ( α≤ββ≤α α≠β Orden parcial Ser divisor en los naturales es de orden parcial porque al ser transitiva no todo es divisor de otro cualquiera. Se dice que es de orden parcial ya que no ordena todos los números.
( Compatibilidad con la suma α ≤ β => β + ≤ β + (no es una relación de igualdad) 2 ≤ => 2 + 3 ≤ + 3 *Incompatibilidad con el producto α≤β α· ≤β· El orden no es compatible salvo si es racional o nulo Propiedad sin nombre  ad < cb  Tracción menor que esta si Densidad Está unido al orden, es parte de él. Se dice que el conjunto es denso porque entre dos números hay infinitos números racionales.
y y = y Se puede hacer el denominador común más grande para que haya más números Teorema de la densidad Entre dos números hay infinitos números racionales α' ≤ β siempre existe α < < Infinitos nº Demostración: α < β => 2 2 α< 3) Entre existe otra fracción α < Demostración ad < cb ad +ab < cb + ab < (a + c) · b ad < cb ad + cd < cb + cd d < c(bd) · c < < Decimales Construcción del número decimal Se pueden introducir a partir de sistema de numeración decimal (SND) Suma de números decimales con potencia 10 374 = 3 · Por extensión de los números naturales formamos los números decimales (abc, def) Cada 10 decimas tendremos una unidad.
Abd, def = a· + A partir del Sistema Métrico Decimal (SMD) Aparece el número decimal después de medir algo Fracciones decimales en primaria Todo número decimal tiene infinitos expresiones decimales limitadas y dos ilimitadas Infinitas limitadas: por no tener periodo 1 = 1,0  1= = 10 · = 10 · 0,1 = 1,0 1= 1,99 1= = 100 · = 100 · 0,1 = 1,00 Dos ilimitadas: por el periodo 1= 1,000…. (Periodo) 1= 0,9999…= 0’ 0,999…= 0 + (1+ x=1+ + + + + …= (1+ + +…) +…) = x x + x=  10x = 10 + x = 9x = 10 x= Ejemplos Expresa cuantas millonésimas son 1 unidad, una décima, 1 centésima y justifícalo 1 unidad = 10 centésimas 1.000.000 (unidad)  0,1 = ·10 100.000 (décima)  0,1 = ·100 10.000 (milésima)  0,1 = ·100000 Escribe 0,4 como centésima y milésima 0,40 = 40 décimas 0,400 = 400 centésimas ¿Qué número representa 28 centésimas y 12 décimas? 1,2 + 0,28 = 1,48 1,48= 1 · +4· +8· 2 unidades y 8 décimas D U d c 2 8 0 m 0 dm 0 cm 0 mm 0 Dificultades en el aprendizaje Números decimales Obstáculos ontogénicos: están relacionamos con las habilidades Obstáculos epistemológicos: radican en el saber matemático. La diferencia entre los números naturales y decimales la encontramos en los siguientes puntos: - Paso de orden discreto a orden denso: en el discreto no hay nada entre número y número; en los decimales hay infinitos ∞ ∞ ∞ - Concepción del número: en los decimales hay infinitos números, cuando multiplicamos el producto de hace más pequeños, es decir los decimales afectan mucho mas al resultado - Ligados al número y a su estructura: en los cuanto mayor número de cifras mayor es el número, pero eso no pasa en los decimales - Ligados al número y su lectura - Consecuencias de la operación de la multiplicación: al multiplicar siempre dos factores en los el producto es siempre mayor, menos el cero. En los decimales no sucede.
- Consecuencias de la operación de la división: en el dividendo es mayor que el divisor pero en los decimales no tiene por qué. = 0,25 Obstáculos didácticos: - Si se establece pronto la relación con el Sistema Métrico Decimal, el niño puede concebir el número decimas como un pegado de dos enteros - Si se establecen los decimales a partir de Sistema de Numeración Decimal, el niño puede pensar que tiene las mismas propiedades y actúan igual que los naturales Errores en los números decimales 1- Contando por décimas: 0’1 0’2 0’8 0’9 0’10 Sería1 Porque lo ven como un número natural 2- relacionados con el 0: 1,39 ≠ 1,390 ; 1,083 = 1,83 en los naturales el cero a la izquierda no afecta pero en los decimales sí. Se puede llegar a entender por descomposición (13,5 y 10 = (10 + 3 + )·10 = 100+30+5 = 135) 3- Relacionados con el orden: consideran que el siguientes de 2,78 es 2,79 sin tener en cuenta que hay infinitos números racionales entre dos.
4- Relacionados con las operaciones Errores de fracciones 1- Un entero se confunde con su inverso = 2- Se fijan en si el denominador es mayor o menor para establecer el orden de forma errónea < 3-La mitad de es 4- Para multiplicar dos fracciones se reducen a común denominador, después multiplicas los numeradores  · = Se confunden con la suma Magnitud y su medida Libro de magnitud y su medida: En la matemática con la palabra magnitud se designa un conjunto de objetos abstractos (cantidades) dotado de una cierta estructura algebraica, y medida es un isomorfismo entre dicha estructura y un subconjunto apropiado de números reales La magnitud hace referencia a los atributos o rasgos que varían de manera cuantitativa y continua (longitud, peso, densidad, etc.), o también de manera discreta (p. e. “el número de personas”); las cantidades son los valores de dichas variables.
En este caso, medir una cantidad consiste en determinar las veces que esa cantidad contiene a la cantidad (o cantidades) que se toman como referencia (unidades de medida). Por ejemplo, decimos que el largo de la mesa es 1 m 40 cm. Al hacer una medición asignamos un número y una unidad de medida, o varias, dependiendo de si la cantidad a medir es múltiplo de la cantidad tomada como referencia o no, y de la precisión deseada La magnitud es una relación de orden en la que se cumplen las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva La magnitud es un conjunto que se le dota de la operación suma. La suma de magnitudes verifica las propiedades asociativas, conmutativa y elemento neutro.
Las cantidades de magnitud pueden sumarse, multiplicarse y ordenarse. Se puede multiplicar un número por una magnitud, es decir, hay un producto de magnitud por un número pero no una magnitud por otra magnitud. En este producto el número puede ser natural o racional. La operación de sumar una cantidad consigo misma se puede realizar repetidamente, obteniéndose otra cantidad sumando primero dos sumandos, después sumando a este resultado el tercero, y así. Se puede representar abreviadamente por n[a].
3 · a = 3ª = a + a + a n ·a = a + a + a + a…n Propiedades del producto 1) n (a + b) = na + nb 2) (n + m) a = na + ma 3) (nm) a = n (ma) 4) 1a = a Progresión para la enseñanza de la longuitud (aplicable a otras magnitudes) 1- Aislar el atributo (la propiedad/ lo que se va a medir): si se va a medir la longitud hay que olvidarse del resto de propiedades.
2- Formación de conceptos: trabajar los conceptos con los que se va a trabajar: largo/ corto; más largo/corto que… 3- Comparación: Será directa si la comparación no requiere un instrumento intermedio, de lo contrario será indirecta: Directa: si damos una varilla de unos tamaños y otras más cortas se compararán entre ellas Indirecta: Si pedimos la medida de la pizarra en función de la medida de la ventana será necesario un instrumento intermedio, por ejemplo una cuerda. ( con este ejemplo podemos ver la propiedad transitiva: la pizarra es mas corta que la cuerda, y la cuerda más larga que la ventana, por lo que la pizarra es más corta que la ventana.
4- Clasificación: se hace una clasificación en clases, ordenan esas clases con una consigna dada o en un principio como ellos prefieras 5- Ordenación: se clasifican en n clases, ordenan esos grupos con unas consigna dada o en un principio como quieran y justificando porque lo ordenan de esa forma.
6- Necesidad de unidades: utilizaremos las unidades porque los niños las van a necesitar. Empezaremos utilizando las unidades que queramos pudiendo ser fijas (cuerdas, varillas, cartulinas…) o variables ( antropomórficas: el palmo, el pie…) Tenderemos a utilizar las fijas. A partir de este punto será importante estimar las medidas antes de obtenerlas.
La vida cotidiana de los niños por si misma les introducirá en el conocimiento de las medidas legales (ya que son necesarias para poder entendernos todos. Si el niño dice que su clase mide 4 varillas es probable que le pregunten cuantos metros son eso) 7- Necesidad de elegir la propiedad adecuada (equivalencia entre ellas). Si tenemos que medir una distancia damos varias unidades para medir (clips, cerillas, cuerdas, varillas…). Dejaremos que escojan la que quieran (no debemos olvidar que realicen previamente una estimación de lo que va a medir el objeto) y después compararemos los resultados de los que han escogido unas y otras medidas.
Comparamos y vemos las equivalencia de las medidas (la pizarra mide 4 varillas que son 2 cuerdas). Continuamente debemos estimar las medidas y luego realizar la medición.
8- Sistema de unidades: damos unidades exactas y no basta con utilizar solo una unidad, si no que se emplearan varias. Por Ejemplo con varillas de colores: 1 Verde = 7 rojas 1 roja = 2 azules Es un sistema irregular porque el numero que multiplicamos para encontrar las equivalencias no es constante (1 verde se pasa a roja multiplicando por 7 y la roja por 2 a azules). El sistema decimal es regular porque siempre se pasa multiplicando por 10 (1000 m es un 1 km) 9-Idoneidad de las unidades: si medimos las distancias de Madrid-Malaga utilizaremos Km no cerillas. Debemos escoger unidades y sistemas. Algo que mide 2m 3dm y 4cm se puede medir como queramos: 2m 34cm / 1m 134cm Como ya conocen los sistemas de medida (debido a los contextos vitales – regla de medir que emplean en el colegio por ejemplo) podemos mezclarlo con las unidades.
2m 3dm y 4cm 2m 34cm 1m 134cm Se debaten las posibilidades que se dan. Pedimos decir cuántas unidades de han utilizado y quien ha sido el que ha usado el mínimo. Pedimos que pensando sobre la pizarra cambien las medidas para obtener la posibilidad con menos unidades (que en este caso sería 2 m 3 dm y 4 cm). Los cambios deben hacerse mediante la graduación en el metro.
La masa es análoga a la longitud en este procedimiento de aprendizaje. Aparecen los concepto de ligero, pesado…(2). En el momento en el que no se puede medir con las manos (3) surgirá la necesidad de la balanza (6)… Surgirán problemas con la capacidad de los recipientes, sin comprender que dos recipientes de distinta forma pueden tener la misma capacidad (alto-delgado/bajo-grueso) Tipos de errores en las medidas 1- uso erróneo en las medidas: en masa “como es más grande (caja de cartón) pesa más (plomo pequeño) 2- Elección errónea de instrumentos: medir una esfera con una regla rigida 3- Mal manejo de los instrumentos: el 0 de la reglas no suele estar en el borda y se pueden solapar las reglas.
4- Elección inadecuada de la unidad: medir en pasos las distancia del colegio a casa (probablemente me equivoque con los pasos) 5- Problemas con los datos o escritura erróneas: enunciados falsos y ejemplos irreales.
Como metro · metro Áreas Es la unidad de medida de las superficies. Si nos dan una figura geométrica y nos pide como pensamos que el niños deduce las áreas de las figura y como las relaciones con otras será comparando.
Partimos de un rectángulo. Lo utilizaremos de forma manipulativas y recortando y pegando y de casos concretos descubrirán que la superficie es la base por la altura.
Para hallar el triángulo comparan con el rectángulo viendo que es la mitad de este por tanto su superficie es la mitad Para el paralelogramo recortan y pegan como quieran buscando lo que ya conoce.
Encuentran de nuevo el rectángulo y descuben que su superficie es la misma El rombo es un cuadrilátero de lados iguales, pero observan sus diagonales diferentes.
En el trapecio podemos ver dos triángulos cuya base será la diferencia entre la base mayor y la base menor, y la entre dos para ver la base de cada uno.
B( )h En el hexágono interviene el perímetro, es decir la longitud de todos los lados del polígono. El hexágono se divide en 6 triangulos (que ya conocen). La altura de cada triangulo es la apotema. Con esto tenemos que la superficie del hexágono es: 6 = 6L= P del hexágono El círculo tiene infinitos lados. Su base es igual a la circunferencia entre dos o sea . La altura es el radio. Por tanto siguiendo la explicación anterior la superficie del círculo será ...

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