Límites y continuidades (0)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas
Año del apunte 0
Páginas 16
Fecha de subida 27/05/2014
Descargas 6
Subido por

Descripción

Apuntes detallado y esquemáticos de mates

Vista previa del texto

1 – Límit i continuïtat 1.Concepte de Límit En aquest apartat no volem saber quan val una funció quan la variable pren un determinat valor, si no que volem estudiar el seu comportament quan la variable s’apropa a un determinat valor.
Devem establir, abans de començar, que considerarem que un límit existeix quan els límits laterals existeixin, i siguin iguals; o sigui, que si ens apropem per qualsevol dels dos costats, tendim al mateix valor. En el cas d’una funció d’una variable, ho podríem escriure com: lima + f ( x) = α  llavors→ x lima f ( x) = α x lim a − f ( x) = α  x Si no coincidís el valor al que ens apropem, el límit no existiria.
Exemple 1. Calcula el límit de la següent funció quan la x tendeixi a “1”.
f ( x) = x − 1 Per tant haurem de veure que succeeix quan la x s’apropa a l’u per la dreta i per la esquerra:  x lim1+ f ( x ) = x lim1+ ( x − 1) lim f ( x ) = x − 1  x 1  x lim1− f ( x ) = x lim1− ( x − 1) x lim1− f ( x) = x lim1− ( x − 1) f ( x) = x − 1 x 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 0.999999 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001 x lim1+ f ( x) = x lim1+ (x − 1) f ( x) = x − 1 x 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 Veiem que com més ens apropem a u, tant per la dreta com per l’esquerra, més tendeix el valor a zero, per tant, per la funció estudiada, existeix el límit en el punt u, donant la funció com a resultat zero.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-1 lim1+ f ( x)= x lim a + ( x − 1) = 0  lim f ( x)= x lim1 x − 1 = 0 lim1− f ( x)= x lim a − ( x − 1) = 0 x 1 x x Podem veure també que si substituïm el valor directament a la funció, el resultat coincideix amb el del límit, amb això podem afirmar que la funció està definida en aquest punt.
f ( x ) = x − 1 → f (1) = 1 − 1 = 0 Exemple 2. Calcula el límit de la següent funció quan x = 1 .
x2 − 1 f ( x) = x −1 x2 −1 x −1 f (x ) lim1− f ( x)= x lim1− x x 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 0.999999 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 1.999999 x2 −1 x −1 f (x ) lim1+ f ( x)= x lim1+ x x 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 2.000001 Com més ens apropem a u, tant per la dreta com per l’esquerra, més tendeix la funció a dos, per tant, per la funció estudiada, existeix el límit en el punt u, donant la funció com a resultat zero:  x2 − 1 = 2 x2 − 1  x −1 lim f ( x ) = lim = 2 x 1 x 1 x − 1 x2 − 1 lim1+ f ( x)= x lim1+ = 2 x  x −1 lim1− f ( x)= x lim1− x A diferencia de l’anterior exemple si substituïm el punt x = 1 en la funció dona una indeterminació, doncs: f ( x) = x2 − 1 12 − 1 0 → f (1) = = ← INDETERMINACIÓ x −1 1−1 0 Amb això podem concloure que la funció té límit en el punt , però no hi està definida, doncs la funció no hi existeix.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-2 Exemple 3. Calcula el límit de la següent funció quan x = 1 .
x − 1 f ( x) =  2 x − 1 si x ≤ 1 si x > 1 Veiem que en aquest cas segons si ens apropem per la dreta o per la esquerra, la funció canvia, es una cosa que s’haurà de tenir en compte quan analitzem el límit.
x lim1− f ( x)= x lim1− x − 1 x lim1+ f ( x)= x lim1+ x 2 − 1 x 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 0.999999 f (x ) -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001 x 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 f (x ) 0.21 0.0201 0.002001 0.00020001 0.00002 0.000002 Veiem que la funció s’apropa a zero per les dues bandes, encara que cada aproximació utilitzi una equació diferent, per tant podem concloure que existeix el límit quan la funció s’apropa a u, i que aquest val zero: lim1+ f ( x)= x lim a+ x 2 − 1 = 0  x lim1 f ( x) = 0 lim f ( x ) = lim x − 1 = 0  x 1− x a− x Podem veure també que la funció es troba definida en el punt estudiat, doncs: f ( x ) = x − 1 → f (1) = 1 − 1 = 0 Utilitzem aquesta equació doncs es la que em fa triar la funció quan la x = 1 .
2. Límits no definits La no existència de límit en una funció pot donar-se en els següents casos: La funció tendeix a diferents valors al apropar-nos per la dreta i per la esquerra: x lim1− f ( x)≠ x lim1+ f ( x) La funció no tendeix a una cota quan ens apropem al valor estudiat. En aquest cas em de fer la matisació que si el límit ens dona com a resultat “ ∞ ”, no compliria la tendència a una cota, però sempre donarà més informació que concloure que no existeix.
La funció oscil·la entre dos valors quan la variable tendeix al valor estudiat.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-3 Exemple 4. Calcula el límit de la següent funció quan x = 1 .
x − 1 f ( x) =  x + 1 si x ≤ 1 si x > 1 lim1− f ( x)= x lim1− x − 1 x lim1+ f ( x)= x lim1+ x + 1 f (x ) f (x ) x x x 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 0.999999 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 2.000001 Com veiem en aquest cas el límit difereix segons si ens apropem per la dreta que per la esquerra: lim1+ f ( x)= x lim a + x − 1 = 0  x lim1 f ( x) = φ lim f ( x ) = lim x + 1 = 2 x 1− x a−  x Al no existir el límit tampoc serà continua; però si estarà definida en el punt estudiat, doncs: x − 1 si x ≤ 1 f ( x) =   f (1) = 1 − 1 = 0 x + 1 si x > 1   Exemple 5. Calcula el límit de la següent funció quan x = 1 .
f ( x) = 1 x −1 x 1 1 x lim1+ f ( x ) = x lim1+ x −1 x −1 f (x ) f (x ) x lim1− f ( x ) = x lim1− x 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 0.999999 10 100 1000 10000 100000 1000000 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000 En aquest cas arribem a la mateixa conclusió que abans, no tenim límit definit al no tendir a un mateix valor acotat: 1  = −∞  lim1+ f ( x )= x lim a+ x  x −1  x lim1 f ( x ) = φ 1 = +∞  lim1− f ( x )= x lim a− x  x −1 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-4 3. Càlcul de límits 3.1. Propietats Partint de dos funcions que, estan definides ( a, b) menys, com a màxim, en el punt " x0 " , compleixen: lim x0 f ( x) = l 1   lim x0 g ( x) = l 2  x x x x lim x0 (b ⋅ f ( x) ) = b ⋅ l 1 x lim x0 ( f ( x) ± g ( x) ) = l 1 ± l 2 x lim x0 ( f ( x) ⋅ g ( x) ) = l 1 ⋅ l 2 x lim x0 f ( x) l 1 = g ( x) l 2 on l 2 ≠ 0 lim x0 ln f ( x) = ln l 1 x [ ] on l 1 ≠ 0 lim x0 f ( x) g ( x ) = l 1 l2 Exemple 6. Calcula el límit de la següent funció quan x → 0 .
x2 −1 f ( x) = x −1 Si considerem que tenim dues funcions podem aprofitar els resultats on em arribat a exercicis anteriors: 2 x2 −1  x lim0 f1 (x)=x lim0 x −1 = −1 x lim0 f1 (x) −1 lim0 f (x)=x lim0 = =1  = x x −1  x lim0 f 2 (x)=x lim0 (x −1) = −1  x lim0 f 2 (x) −1 ( ) Si el realitzem ara conjuntament quedaria com: x2 − 1 x −1 f (x ) lim 0− f ( x)= x lim 0− x x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 -0,000001 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 x2 − 1 x −1 f (x ) lim 0+ f ( x)= x lim 0+ x x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 1,000001 Com podem veure en el quadre anterior el resultat coincideix amb el que em trobat amb l’altra opció de resolució: lim 0− f ( x )= x lim 0− x x lim 0+ f ( x )= x lim 0+ Matemàtiques I – G. Lladó Fortit x2 −1  = 1  x −1 = x lim1 f ( x) = 1 2 x −1  x −1  0-5 3.2. Àlgebra de límits. Indeterminacions En aquest apartat intentarem salvar la indeterminació que ens impedeix poder discernir si realment existeix o no el límit.
3.2.1. Suma: lim x0 f ( x ) = a  → lim x0 ( f ( x ) + g ( x ) ) = a + b lim x0 g ( x ) = b  x x x lim x0 f ( x ) = ∞  → lim x0 ( f ( x ) + g ( x ) ) = ∞ lim x0 g ( x ) = ∞  x x x lim x0 f ( x ) = −∞  → x lim x0 ( f ( x ) + g ( x ) ) = −∞ lim g ( x ) = −∞  x x0 x lim x0 f ( x ) = a  → x lim x0 ( f ( x ) + g ( x ) ) = ∞ lim g ( x ) = ∞  x x0 x Indeterminacions: ∞ − ∞ 3.2.2. Producte: lim x0 f ( x ) = a  → x lim x0 ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = a ⋅ b lim g ( x ) = b  x x0 x lim x0 f ( x ) = a > 0 → lim x0 ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = ∞ lim x0 g ( x ) = ∞  x x x lim x0 f ( x ) = a < 0 → lim x0 ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = −∞ lim x0 g ( x ) = ∞  x x lim x0 f ( x ) = a  x → lim x0 ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = 0 lim x0 g ( x ) = 0  x x x Indeterminacions: 0 ⋅ ∞ Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-6 3.2.3. Quocient: lim x0 f ( x ) = a   f ( x)  a  = → x lim x0  lim x0 g ( x ) = b ≠ 0  g ( x)  b x x lim x0 f ( x ) = ∞   f ( x)   = ∞ → x lim x0  lim x0 g ( x ) = b   g ( x)  x x lim x0 f ( x ) = 0  f ( x)   = 0 → x lim x0  lim x0 g ( x ) = b   g ( x)  x x lim x0 f ( x ) = a   f ( x)   = 0 → x lim x0  lim g ( x ) = ∞ g ( x )    x x0  x lim x0 f ( x ) = 0   f ( x)   = 0 → x lim x0  lim g ( x ) = ∞ g ( x )    x x0  x Indeterminacions: ∞ 0 , ∞ 0 3.2.4. Exponencials: ab 0 0 < a <1 1 a >1 ∞ −∞ ∞ ∞ Indet.
0 0 b<0 ∞ 0 b>0 0 Indet.
ab 0 Indet.
∞ ∞ 0 0 Indet.
∞ ∞ Exemple 7. Calcula el límit de la següent funció quan x → 1 .
f ( x) = x4 + 3 ⋅ x2 − 2 ⋅ x − 2 4 ⋅ x5 − 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x − 3 Si fem la substitució directament ens trobarem amb una indeterminació: 14 + 3 ⋅ 12 − 2 ⋅ 1 − 2 0 f (1) = = 5 2 4 ⋅1 − 3 ⋅1 + 2 ⋅1 − 3 0 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-7 Aplicant Ruffini podrem factoritzar tant el numerador com el denominador per simplificar arrels comunes: x4 + 3 ⋅ x2 − 2 ⋅ x − 2 ( x − 1) ⋅ ( x 3 + x 2 + 4 ⋅ x + 2) f ( x) = = = 4 ⋅ x 5 − 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x − 3 ( x − 1) ⋅ (4 ⋅ x 4 + 4 ⋅ x 3 + 4 ⋅ x 2 + x + 3) x3 + x 2 + 4 ⋅ x + 2 = 4 ⋅ x 4 + 4 ⋅ x3 + 4 ⋅ x 2 + x + 3 Tornant a substituir però ara a la funció reduïda: f (1) = 13 + 12 + 4 ⋅ 1 + 2 8 1 = = 4 3 2 4 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 + 1 + 3 16 2 Per tant: x lim1 f ( x ) = 1 2 Exemple 8. Calcula el límit de la següent funció quan x → 2 .
f ( x) = x+2−2 x−2 Si fem la substitució directament ens trobarem amb una indeterminació: 2+2 −2 0 = 0 2−2 Buscarem evitar la indeterminació racionalitzant la equació: f ( 2) = x+2 −2 ⋅ x−2 f ( x) = = ( ( ) ) x+2+2 = x+2+2 x−2 x−2 ⋅ = x−2⋅ x+2 +2 x−2 ( ) ( ( ) 2 x + 2 − 22 = x−2⋅ x+2 +2 ( (x − 2) ⋅ ) ( 2 x−2 ⋅ x−2 = x−2⋅ x+2 +2 ) x−2 x+2+2 ) ( = ) x−2 x+2+2 Si realitzem la substitució en la funció arreglada obtindrem el següent resultat: f ( 2) = 2−2 0 = =0 2+2 +2 4 Podent concloure quin seria el límit de la funció: x lim 2 f ( x ) = 0 =0 4 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-8 Exemple 9. Calcula el límit de la següent funció quan x → ∞ .
( f ( x) = x 2 − x ) Si intentem buscar el límit directament ens donaria: x ( ) lim ∞ f ( x)= x lim ∞ x 2 − x = ∞ − ∞ ← INDETERMINACIÓ En aquest cas podem salvar la indeterminació traient factor comú: x ( ) lim ∞ f ( x)= x lim ∞ x 2 − x = x lim ∞ x ⋅ ( x − 1) = ∞ ⋅ ∞ = ∞ Exemple 10. Calcula el límit de la següent funció quan x → ∞ .
f ( x) = 4 ⋅ x 2 − x − 2 ⋅ x Tornem a trobar la indeterminació ∞ − ∞ . En aquest cas racionalitzarem l’equació: ( 4⋅ x − x − 2 ⋅ x )⋅ ( 4⋅ x f ( x) = 4 ⋅ x − x − 2 ⋅ x = ( 4⋅ x ( 4⋅ x = 4 ⋅ x2 − x − 4 ⋅ x2 2 = 2 ) − x − (2 ⋅ x ) 2 2 4 ⋅ x2 − x + 2 ⋅ x −1 = 4 ⋅ x2 − x + 2 ⋅ x x = 2 2 2 )= − x + 2 ⋅ x) − x + 2⋅ x −x = 4 ⋅ x2 − x + 2 ⋅ x 4 ⋅ x2 − x + 2 ⋅ x −1 −1 = 1 4 ⋅ x2 − x 4− +2 +2 2 x x = Realitzant el límit de la funció equivalent salvaríem la indeterminació: x lim ∞ f ( x)= x lim ∞ −1 = 1 4− +2 x −1 = 1 4− +2 ∞ −1 −1 = 4 4−0 +2 Exemple 11. Calcula el límit de la següent funció quan x → ∞ .
f ( x) = x2 − x 2 ⋅ x2 + x Si provem de buscar directament el límit: x lim ∞ f ( x ) = x lim ∞ Matemàtiques I – G. Lladó Fortit x2 − x ∞ = 2 2⋅ x + x ∞ 0-9 En aquest cas dividirem per la màxima potencia: x2 − x x2 x 1 − 2 1− 2 2 x2 − x x x f ( x) = = = x 2 x = 2 2 1 x 2⋅ x + x 2⋅ x + x 2⋅ x + 2 2+ 2 2 x x x x Fent ara el límit: 1 1 1− x = ∞ = 1− 0 = 1 x lim ∞ f ( x ) = x lim ∞ 1 1 2+0 2 2+ 2+ x ∞ 1− Per salvar amb més facilitat la indeterminació “ ∞ ” podem utilitzar la següent regla: ∞  si grau de f ( x) > grau de g ( x) → l = ∞  f ( x) lim ∞ = l → si grau de f ( x) < grau de g ( x) → l = ∞ x g ( x)  a si grau de f ( x) = grau de g ( x) → l = b  On a i b son les constants que acompanyen a la variable de màxim grau de f(x) i g(x) respectivament.
Per poder realitzar alguns límits amb major facilitat podem utilitzar les següents igualtats: x  1 lim ∞ 1 +  = e x x  lim 0 (1 + x ) x = e x 1 Llavors, generalitzant la igualtat: f ( x) Si x lim x0 f ( x) = ∞ →  1   lim x0 1 + x f ( x)   Si x lim x0 f ( x) = 0 → lim x0 (1 + f ( x) ) f ( x ) = e x Matemàtiques I – G. Lladó Fortit =e 1 0-10 Exemple 12. Calcula el límit de la següent funció quan x → ∞ .
 1 f ( x) = 1 −   x x Com veiem toparem amb una indeterminació: ∞ x 1  1  lim ∞ f ( x)= x lim ∞ 1 −  = 1 −  = 1∞ ← INDETERMINACIÓ x  x  ∞ Arreglem la funció per salvar la indeterminació: x     x x 1   1   1   − 1    = 1 +  f ( x) = 1 −  = 1 +  = 1 + x   x  x    x      −1   −1   x⋅ x −1 ⋅ −1 x x     −1   1    =  1 + x       −1      x⋅ −1 x Utilitzant una de les igualtats anteriors: Si x lim x0 f ( x) = ∞ →  1  x lim x 0  1 + f ( x)    f ( x) =e x On f ( x) =   −1  1    =e lim 1 + ∞ x x    −1   x ∞ compleix que x lim∞ f ( x) = = ∞ llavors −1 −1 Aplicant-ho:       1     lim f ( x ) lim 1 = + x ∞ x ∞ x       −1      x −1 x⋅ −1 x         1    =  x lim∞ 1 + x        −1       x −1 x lim ∞ x ⋅ −1 x x  −1       lim 1 + 1  = e  x ∞ x  on   −1     −1 = −1  x lim∞ x ⋅ x  Llavors: x     −1  x  1    1  lim ∞ f ( x)= x lim ∞ 1 −  = x lim ∞  1 +  x x    x     −1     Matemàtiques I – G. Lladó Fortit x⋅ −1 x = e −1 0-11 3.3. Regla de l’Hôpital Si f (x) i g (x) son dues funcions derivables al voltant del punt “a”, llavors: ∞  f ( x)  ∞  Si x lim a =  → g ( x)  0   0  x lim a f ( x) f ′( x) = x lim a g ( x) g ′( x) Exemple 13. Calcula el límit de la següent funció quan x → 0 .
x3 f ( x) = x e −1 Busquem el límit: x3 0 lim a f ( x) = x = x e −1 0 Com veiem toparem amb una indeterminació que, al ser el denominador i numerador derivable, resoldrem aplicant Hôpital: f ( x) x3 f ( x) f ′( x) 3 ⋅ x2 0 = → lim a = lim a = lim a x = = 0 g ( x) e x − 1 x g ( x) x g ′( x) x e 1 4. Continuïtat 4.1. Supòsits a complir per ha poder qualificar una funció com ha contínua: • ∃f ( x0 ) • x lim x0 f ( x) es finit • x lim x0 f ( x) = f ( x0 ) 4.2. Propietats: Si f ( x) i g ( x) son contínues en x = x0 , llavors: • f ( x0 ) ± g ( x0 ) • f ( x0 ) ⋅ g ( x 0 ) • f ( x0 ) g ( x0 ) on g ( x0 ) ≠ 0 També seran contínues.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-12 4.3. Tipus de discontinuïtats: • Discontinuïtat evitable: Quan hi ha límit definit en x0 i es finit, però la funció no hi està definida, o no coincideix amb el resultat del límit.
• Discontinuïtat essencial: Quan el límit en x0 no es finit.
Exemple 13. Analitza la continuïtat de la següent funció en el punt x = 0 f ( x) = 2 ⋅ x 3 − x 2 + 2 ⋅ x + 1 Analitzarem si compleix els tres supòsits: • f (0) = 2 ⋅ 03 − 0 2 + 2 ⋅ 0 + 1 = 1 → ∃f ( x0 ) • x lim1 f ( x)= x lim1 2 ⋅ x 3 − x 2 + 2 ⋅ x + 1 = 1 → x lim x0 f ( x) es finit • x lim1 f ( x) = f (0) → x lim x0 f ( x) = f ( x0 ) Per tant la funció és continua en x = 0 .
Exemple 14. Analitza la continuïtat de la següent funció en el punt x = 1 .
f ( x) = x2 − 1 x −1 Analitzarem si compleix els tres supòsits: • • • 12 − 1 = IND. → no ∃f ( x0 ) 1−1 x2 − 1 = 2 → x lim x0 f ( x) es finit lim f ( x ) = lim x 1 x 1 x −1 lim1 f ( x) ≠ f (1) → no x lim x0 f ( x) = f ( x0 ) x f (1) = La funció presenta una discontinuïtat evitable en el punt x = 1 .
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-13 Exemple 15. Analitza la continuïtat de la següent funció en el punt x = 1 .
f ( x) = 1 x −1 Analitzarem si compleix els tres supòsits: • • • 1 = IND. → no ∃f ( x0 ) 1 −1 1 lim1 f ( x)= x lim1 = ∞ → x lim x0 f ( x) es inf init x x −1 lim1 f ( x) ≠ f (1) → x lim x0 f ( x) ≠ f ( x0 ) x f (1) = La funció presenta una discontinuïtat essencial en el punt x = 1 .
5. Successions Coneixem per successió a un conjunt de nombres donats ordenadament de manera que puguin numerar-se. Els seus elements es coneixeran per termes, i s’acostumen a designar mitjançant una lletra i un nombre natural com ha subíndex que representarà la seva posició dintre de la sèrie: {a1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... } Per exemple: {2, 4, 6,8, ... } El terme general de la successió, representat per a n , serà una expressió que ens permetrà conèixer qualsevol element de la sèrie a partir del lloc que ocupa. Generalment s’expressaran mitjançant una funció: a n = f (n) Utilitzant l’exemple anterior podem trobar que el seu terme general serà: an = n ⋅ 2 Doncs podem comprovar que: a1 = 1 ⋅ 2 = 2 a2 = 2 ⋅ 2 = 4 a3 = 3 ⋅ 2 = 6 LL a100 = 100 ⋅ 2 = 200 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-14 En les conegudes com ha successions recurrents, per trobar el terme general, serà necessari operar amb dos o més termes anteriors, per tant, per obtenir un terme concret, s’hauran de conèixer tots els anteriors.
5.1. Tipus de successions: • • • Convergent: el seu límit és un nombre finit.
Divergent: el seu límit és un nombre infinit.
Oscil·lant: no té límit.
Exemple 16. Busca el seu terme general de la següent successió i digues de quin tipus és:  1 1 1  1, , , , ...   2 3 4  Podem veure que el seu terme general serà: an = 1 n La sèrie serà convergent, doncs si busquem el seu límit veiem que es un valor finit: 1 lim1an = n lim1 = 0 n n Exemple 17. Busca el seu terme general de la següent successió i digues de quin tipus és: {- 1, 1,-1,1,... } Podem veure que el seu terme general serà: an = (− 1) n La sèrie serà oscil·lant, doncs si busquem el seu límit veiem que es un valor finit: − 1 n lim1an = n lim1 (− 1) =  n  1 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-15 5.2. Algunes successions importants: 5.2.1. Successions aritmètiques: successions que per passar d’un terme al següent s’hi ha de sumar una quantitat fixa que coneixerem com ha diferencia de la progressió.
Terme general: an = a1 + (n − 1) ⋅ d Sumatori dels “n” primers termes: (a + an ) ⋅ n S n = a1 + a2 + ... + an = 1 2 5.2.2. Successions geomètriques: successions que per passar d’un terme al següent s’ha de multiplicar per una quantitat fixa que coneixerem com ha raó de la progressió.
Terme general: an = a1 ⋅ r n−1 Sumatori dels “n” primers termes: a ⋅ r − a1 a1 ⋅ r n − a1 S n = a1 + a2 + ... + an = n = r −1 r −1 5.2.3. Successió de Fibonacci: successió on cada terme s’obté per la suma dels dos anteriors: Terme general: an = an−2 + an−1 5.2.4. Successions especials: successió on cada terme s’obté per la suma dels dos anteriors: Nombres parells: {2,4,6,8,...} Nombres imparells: Quadrats: Cubs: Potencies: {1,3,5,7,...} {1,4,9,16,...} {1,8,27,64,...} → an = 2 ⋅ n → an = 2 ⋅ n − 1 → an = n 2 → an = n 3 {2,4,8,16,...} → an = 2 n {− 1,1,−1,1,...} → an = (− 1)n Canvi de signe:  {1,−1,1,−1,...} → an = (− 1)n−1 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-16 ...