Sem 5 (2013)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Economía - 1º curso
Asignatura Matemáticas III
Año del apunte 2013
Páginas 6
Fecha de subida 16/01/2015
Descargas 12
Subido por

Descripción

Soluciones

Vista previa del texto

Matemàtiques III Curs 2013-2014 Seminari 5. Equacions en diferències de primer ordre Problema 1: Busqueu la solució de l’equació en diferències següent amb les condicions inicials indicades. Estudieu la seva estabilitat i dibuixeu la seva evolució (per exemple amb EXCEL).
(a) xt  2 xt 1  4, x0  1 (b) 3xt  xt 1  2, x0  2 (c) 2 xt  3xt 1  2  0, x0  1 (d) xt  xt 1  3  0, x0  3 Solució Problema 1: (a) xt  2 xt 1  4, x0  1 La solució és xt  52  4 . Com a  2  1 , la solució és t inestable. D’altra banda, com a  0 no hi ha oscil·lacions.
Finalment, notem que el punt inicial està per sobre de l’estat estacionari (x = –4). El comportament serà aproximadament com en el gràfic següent: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (b) 3xt  xt 1  2, x0  2 1 2 Escrivim l’equació com xt  xt 1  , x0  2 .
3 3 t 1 1 La solució és xt  1    . Com a   1 , la solució és 3  3 estable. D’altra banda, com a  0 no hi ha oscil·lacions.
Finalment, notem que el punt inicial està per sobre del punt estacionari (x = 1). El comportament serà aproximadament com en la figura: 2,5 2 1,5 1 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xt 1 6 16 36 76 156 316 636 1276 2556 5116 10236 20476 40956 81916 163836 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xt 2,00 1,33 1,11 1,04 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 (c) 2 xt  3xt 1  2  0, x0  1 3 Escrivim l’equació com xt   xt 1  1, x0  1 , la solució 2 t 2 3 3 3 és xt       . Com a   1 , la solució és inestable.
5 5 2 2 D’altra banda, com a  0 tenim oscil·lacions explosives.
Finalment, notem que el punt inicial està per sota del punt estacionari (x = – 2/5). El comportament es pot veure aproximadament en el gràfic següent: 150 100 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xt -1,00 0,50 -1,75 1,63 -3,44 4,16 -7,23 9,85 -15,78 22,67 -35,00 51,50 -78,25 116,37 -175,56 262,34 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xt 3,00 0,00 -3,00 -6,00 -9,00 -12,00 -15,00 -18,00 -21,00 -24,00 -27,00 -30,00 -33,00 -36,00 -39,00 -42,00 -50 -100 -150 -200 (d) xt  xt 1  3  0, x0  3 Escrivim l’equació com xt  xt 1  3, x0  3 . La solució és xt  3  3t. És clarament inestable i el gràfic ve donat per 10 5 0 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 Problema 2: Suposem que al moment t = 0 prenem prestats 100,000 a interès fix r = 7% anual. Suposem que el préstec és a 30 anys. Quina serà la quota anual? Quina part serà d’interessos i quina de capital: (a) el primer any; (b) l’últim any? Solució Problema 2: Sigui xt la quantitat que tenim en el moment t. Sigui z la quota anual. Tenim que xt  (1  0.07) xt 1  z, x0  100,000; x30  0; t  1,2, (*) La solució és z  z z t  xt  1.07  100,000   100,000  1.07t  1  1.07t    0.07  0.07 0.07  Suposem ara que x30  0 2 0  100,000 1.0730  Aïllant z obtenim que:  z 1  1.0730 0.07  30  1.07   100,000  0.07 z  z  8,058.64 1.0730  1 Per tant, la quota anual a pagar serà de 8,058.64 euros.
En conseqüència, l’equació pel procés x vindrà donada per: 8,058.64 1  1.07t   100,000 1.07t  115,123.431  1.07t  xt  100,000  1.07t  0.07 xt  115,123.43  15,123.43 1.07t. (**) El pagament anual es pot separar en la part dels interessos i la part del capital: z  xt 1  xt   0.07 xt 1 .
De (**) tenim que la part d’interessos és 0.07  xt 1  0.07  115,123.43  15,123.43  1.07t 1   8,058.64  1,058.64  1.07t 1.
Per tant, la part de capital és xt 1  xt  z  0.07  xt 1  1,058.64  1.07 t 1.
En l’any t = 1: Pagament d’interessos = 8,058.64  1,058.64  1.0711  7,000.00 euros Pagament de capital= 1,058.64  1.0711  1,058.64 euros.
En l’any t = 30: Pagament d’interessos = 8,058.64  1,058.64  1.07301  527.20 euros Pagament de capital = 1,058.64  1.07301  7,531.44 euros =( 8,058.64  527.20 ) any 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 x_t 100000 98941,3596 97808,6145 96596,5771 95299,6972 93912,0356 92427,2378 90838,5041 89138,559 87319,6178 85373,3507 83290,8449 81062,5637 78678,3028 76127,1436 73397,4033 70476,5812 67351,3015 part de capital part d'interessos 1058,640351 1132,745176 1212,037338 1296,879952 1387,661548 1484,797857 1588,733707 1699,945066 1818,941221 1946,267106 2082,505804 2228,28121 2384,260895 2551,159157 2729,740298 2920,822119 3125,279667 7000 6925,895175 6846,603013 6761,760399 6670,978803 6573,842494 6469,906645 6358,695285 6239,69913 6112,373245 5976,134548 5830,359141 5674,379457 5507,481194 5328,900053 5137,818232 4933,360684 3 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 64007,2523 60429,1196 56600,5176 52503,9135 48120,5471 43430,345 38411,8288 33042,0165 27296,3173 21148,4192 14570,1682 7531,43958 0 3344,049244 3578,132691 3828,601979 4096,604118 4383,366406 4690,202055 5018,516199 5369,812332 5745,699196 6147,898139 6578,251009 7038,72858 7531,43958 4714,591107 4480,50766 4230,038372 3962,036233 3675,273945 3368,438296 3040,124153 2688,828019 2312,941155 1910,742212 1480,389342 1019,911771 527,2007706 Problema 3: Considereu l’equació no lineal yt 1 (2  3  yt )  4  yt t  0,1,2, (*) Suposem y0  0.5 : (a) Demostreu que yt  0 per a tot t  0,1,2, (b) Dibuixeu yt amb EXCEL per a t  0,1,2,,20 (c) Definiu xt  1 yt i substituïu en (*) per trobar una equació en diferències lineal per xt .
(d) Resoleu aquesta última equació i substituïu per trobar la solució de (*).
(e) És (*) estable? [Indicació:estudieu el comportament de yt quan t   .] Solució Problema 3: (a) Podem escriure l’equació (*) com 4  yt yt 1  t  0,1,2, 2  3  yt Quan yt  0 es compleix que yt 1  0 . Com y0  0 tenim que y1  0 I aleshores y2  0 i així successivament.
(b) Podem fer una taula amb els 21 valors de yt i representar gràficament aquests valors: 4 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 yt 0,5 0,57142857 0,61538462 0,64000000 0,65306122 0,65979381 0,66321244 0,66493506 0,66579974 0,66623292 0,66644972 0,66655818 0,66661242 0,66663954 0,66665310 0,66665989 0,66666328 0,66666497 0,66666582 0,66666624 0,66666645 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 5 10 15 20 25 La taula i el gràfic suggereixen que l’equació és estable i que el punt estacionari es troba al voltant del punt 0.66.
(c) Si xt  1 , substituïm en (*): yt 1  1 1  2  3    4  .
xt 1  xt  xt Reordenem per obtenir:  1 xt  2  3    4  xt 1  2 xt  3  4 xt 1 (**) xt   que és una equació en diferències lineal d’ordre 1 per xt .
(**) pot escriure’s com 1 3 1 xt 1  xt  ; x0   2.
2 4 y0 La solució és t t 3  3 1  1  4 4 xt    2    0,5   1,5 .
1  1 2  2 2 2  1 Ara, usem que xt  , i trobem la solució per yt : yt 1 yt  .
t 1 0.5   1.5 2 Per establir el comportament quan t   , necessitem trobar 1 2 lim   0.6666667 .
t t  3 1 0.5   1.5 2 El sistema és estable i y*  0.6666667 és l’estat d’equilibri, en concordança amb el gràfic obtingut abans.
5 Problema extra: Trobeu el terme general de la successió xt que verifiqui les següents condicions: (i) Cada terme és igual a sumar 1 al resultat de dividir el terme anterior entre 3.
(ii) El primer terme de la successió és 5.
Justifiqueu si la solució és estable o no.
Solució: L’equació en diferencies que verifica (i) i (ii) és x xt  t 1  1, x0  5 3 t 71 3 1 La solució és xt     . Com a   1 , la solució és estable. D’altra banda, com 23 2 3 a  0 no hi ha oscil·lacions. Finalment, notem que el punt inicial està per sobre de l’estat estacionari (x = 3/2). El comportament serà aproximadament com en el gràfic següent: 6 4 2 0 0 5 10 6 15 ...