Mecánica Cuántica - Problema 55 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 1
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 10
Subido por

Vista previa del texto

.
55 Trobeu la millor fita a l’energia de l’estat fonamental de l’hamiltoni`a H= P2 + g|X|, 2m (0.22) amb la funci´ o de prova Â(x) = 1/(x2 + a2 ), on a ´es un par`ametre real. Nota: integrals del tipus ⁄ +Œ dx fi 1 3fi 1 5fi 1 In = : I2 = , I3 = , I4 = .
(0.23) 2 2 n 3 5 2a 8 a 16 a7 ≠Œ (x + a ) Soluci´ o: Es tracta del mateix problema que l’anterior, sols canvia la funci´o de prova. Ara: ˜0 (x) = ¯ = Ș0|H|˜0Í/Ș0|˜0Í, amb Èx|˜0Í = 1/(x2 + a2 ), essent a un par`ametre. Tenim H Ș 0|˜ 0Í = i Ș0|H|˜ 0Í = ⁄ +Œ ≠Œ ⁄ +Œ ≠Œ A ~2 d 2 ˜0 (x) ≠ 2m dx2 B (x2 dx fi 1 = I2 = , 2 2 +a ) 2 a3 ˜0 (x)dx + ⁄ +Œ ≠Œ (0.24) g|x|˜02 (x)dx = ÈKÍ + ÈV Í.
(0.25) En aquest cas, ÈKÍ = ⁄ +Œ ≠Œ A 1 ~2 d 2 ≠ (x2 + a2 ) 2m dx2 B 3 1 ~2 fi dx = .
.
.
= ≠ ≠2I3 + 5 2 2 (x + a ) 2m 2a fi~2 = .
8ma5 4 (0.26) Mentre que ÈV Í = ⁄ +Œ ≠Œ Per tant, dx g|x| 2 = 2g (x + a2 )2 ⁄ Œ 0 (x2 xdx g = ... = 2.
2 2 +a ) a 2 ¯ = ÈKÍ + ÈV Í = . . . = ~ + 2ag .
H 4ma2 fi Ș0|˜0Í (0.27) (0.28) Per acabar el problema, minimitzem: ¯ dH = 0 =∆ a = da A fi~2 4mg B1/3 (0.29) .
Substituint, trobem ¯ m´ın.
H 3 = (2fi)2/3 A g 2 ~2 m B1/3 A g 2 ~2 ¥ 0.8811 m B1/3 > E0 (0.30) Si no ens hem equivocat, podem concloure que la gaussiana d´ona una fita m´es bona.
6 ...