Tema 2: Sistemes d’equacions lineals (2013)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 1
Año del apunte 2013
Páginas 10
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 3
Subido por

Descripción

Definició de sistemes d’equacions lineals, Classificació de sistemes: teorema de Rouché-Fröbenius, Resolució de sistemes

Vista previa del texto

Tema 2: Sistemes d’equacions lineals 2.1 Definició de sistemes d’equacions lineals Concepte de sistema d’equacions Què és una sistema d’equacions? Anomenem sistema de m equacions lineals amb n incògnites, el conjunt d’equacions de la forma: en què els escalars aij s’anomenen coeficients, els xj són incògnites i ci són termes independents del sistema. Per i=1,...m i j=1,..., n.
Exemples: 1) 2) 3) 4) 37 Llúcia Mauri Masdeu Tots els sistemes d’equacions es poden expressar matricialment, és a dir, utilitzant matrius.
Considerem un sistema d’equacions qualsevol: Aquest sistema es pot expressar amb matrius de la manera següent: és a dir, en què: , i En aquest cas, A=(aij)mxn és la matriu del coeficients, X=(xj)1xn el vector columna d’incògnites i C=(ci)mx1 el vector columna dels termes independents del sistema.
Exemple: Considerem el sistema d’equacions següent: 38 Matemàtiques I Expressat matricialment és: Tipus de sistemes d’equacions Direm que un sistema d’equacions lineals és homogeni quan el vector columna C=(ci)mx1 és nul, és a dir, tots els seus elements són 0. D’altra banda, si això no passa, el sistema d’equacions lineal és heterogeni.
Exemples: 1) en què 2) en què és nul; per tant, sistema d’equacions homogeni no és nul; per tant, sistema d’equacions heterogeni 2.2 Classificació de sistemes: teorema de Rouché-Fröbenius Nocions prèvies Anomenarem matriu ampliada d’un sistema d’equacions lineal, la matriu resultant d’adjuntar a la matriu del coeficients A=(aij)mxn el vector columna dels termes independents C=(ci)mxl. La denotarem per (A, C).
39 Llúcia Mauri Masdeu Anomenarem solucions del sistema d’equacions lineal A⋅X=C, el conjunt de nombres que verifiquen totes les igualtats del sistema.
Direm que dos sistemes d’equacions lineals diferents són equivalents si ambdós tenen les mateixes solucions.
Anomenarem grau d’indeterminació d’un sistema d’equacions lineals, el nombre resultant de nº incògnites –rg(A).
Classificació de sistemes Per classificar sistemes d’equacions lineals, tindrem en compte dos aspectes: l’existència de solucions i la seva quantitat.
Així, si un sistema d’equacions té solució, l’anomenarem sistema compatible; en cas que no hi hagi cap solució, l’anomenarem sistema incompatible.
En cas que hi hagi solucions, pot passar que existeixi una única solució; per tant, tindrem un sistema compatible determinat . O pot passar que n’existeixi un conjunt infiMATEMÀTIQUES I nit; per tant, tindrem un sistema compatible indeterminat.
Cal afegir que els sistemes d’equacions lineals homogenis solament poden ser Cal afegirAque sistemes equacions lineals(0,...,0).
homogenis solament poden ser compatibles.
més els a més, sempred’inclouen la solució O sigui, poden ser compatibles.
més a més,sisempre inclouen la solució (0,...,0).
O sigui, poden ser comcompatiblesAdeterminats tenen una única solució, (0,...0), o compatibles indeterminats si en tenen infinites.
Però mai no seran sistemes incompatibles.
patibles determinats si tenen una única solució (0,...,0), o compatibles indeterminats si en TEOREMA tenen infinites.
Però mai no seran sistemes incompatibles.
DE ROUCHE-FRÖBENIUS Considerem un sistema d’equacions lineals: 40 Matemàtiques I Teorema de Rouche-Fröbenius Considerem un sistema d’equacions lineals: La matriu dels coeficients A=(aij)mxn i la matriu ampliada (A, C) corresponents al sistema d’equacions: Per classificar els sistema d’equacions, tindrem en compte el rang d’aquestes dues matrius.
1) Un sistema és incompatible si i només si rg(A)≠ rg(A, C) 2) Un sistema és compatible si i només si rg(A)=rg(A, C) 2.1) Si rg(A)=rg(A, C) = nº incògnites, el sistema és compatible determinat.
2.2) Si rg(A)=rg(A, C) ≠ nº incògnites, el sistema és compatible indeterminat.
Exemples: 1) Considerem el sistema d’equacions lineals següent: 41 Llúcia Mauri Masdeu Calculem el rang de la matriu dels coeficients i el rang de la matriu ampliada del sistema d’equacions.
Busquem el rang de la matriu A: Per tant, rg(A)=3 Busquem el rang de la matriu (A, C): Observem que, en aquest cas, podem considerar els mateixos menors. Per tant, rg(A, C)=3.
Així, com que tenim tres incògnites, es compleix la igualtat següent: rg(A )= rg(A, C) = nº incògnites Per tant, tenim un sistema compatible determinat.
2) Considerem el sistema d’equacions lineals següent: Calculem el rang de la matriu dels coeficients i el rang de la matriu ampliada del sistema d’equacions.
42 Matemàtiques I Busquem el rang de la matriu A: Per tant, rg(A)=2 Busquem el rang de la matriu (A, C): Observem que, en aquest cas, podem considerar els mateixos menors. Per tant, rg(A, C)=2.
Així, com que tenim tres incògnites, es compleix la igualtat següent: rg(A) = rg(A, C) ≠ nº incògnites Per tant, tenim un sistema compatible indeterminat.
3) Considerem el sistema d’equacions lineals següent: Calculem el rang de la matriu dels coeficients i el rang de la matriu ampliada del sistema d’equacions.
Busquem el rang de la matriu A: 43 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, rg(A)=2 Busquem el rang de la matriu (A,C): Per tant, rg(A, C)=3.
Així, doncs: rg(A) ≠ rg(A, C) Per tant, tenim un sistema incompatible.
2.3 Resolució de sistemes Fins ara hem après a solucionar sistemes d’equacions lineals utilitzant els mètodes d’igualació, de substitució o de reducció. Aquest mètodes són pràctics quan el sistema d’equacions lineals és petit, és a dir, té poques incògnites o equacions.
Què passa si el sistema d’equacions lineals és gran? Llavors els mètodes que coneixem es fan més feixucs, i ens és més pesat seguir el càlcul.
Per tant, utilitzarem altres mètodes, com la triangularització de Gauss o el mètode de Cramer.
Mètode de Cramer El mètode de Cramer es pot utilitzar sols si el determinant de la matriu dels coeficients del sistema d’equacions lineals A=(aij)nxn és diferent de 0, és a dir, quan |A|≠0.
Normalment el mètode de Cramer s’utilitza per resoldre sistemes compatibles determinants, però algun cop es pot transformar i pot solucionar sistemes compatibles indeterminats.
Com s’aplica? Considerem un sistema d’equacions lineals qualsevol: 1) Prenem la matriu dels coeficients A=(aij)nxn i comprovem que el seu determinant és diferent de 0.
44 Matemàtiques I 2) Les solucions del sistema seran les següents: en aquest cas, és la matriu resultant de substituir la i-èssima columna per la columna dels termes independents.
Exemple: 1) Considerem el següent sistema d’equacions lineals compatible determinat: Per tant, tindrem: , i Per poder aplicar el mètode de Cramer, necessitem que els seu determinant de A sigui diferent de 0.
Per tant, podrem aplicar Cramer: 45 Llúcia Mauri Masdeu 2) Considerem el següent sistema d’equacions lineals compatible indeterminat: Podem transformar-lo de la següent manera, tot passant qualsevol incògnita a l’altra banda d’igualtat i fent-la formar part del vector de termes independents.
Per tant, tindrem: , i Per poder aplicar el mètode de Cramer, necessitem que el determinant de A sigui diferent de 0.
Per tant, podrem aplicar Cramer: Per tant, si anomenem z=λ, llavors x=λ+1 i y=–λ+1.
46 ...