Examen Final Primavera 2013 (2014)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Introducción a las Comunicaciones
Año del apunte 2014
Páginas 10
Fecha de subida 08/04/2015
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ICOM."17%06%2013" Duración":"2h30’" Examen"Final"" Notas"Provisionales:"26%06%2013" Fecha"límite"alegaciones:"28%06%2013"(12:00)" ! Dept.!Teoria!del!Senyal!i!Comunicacions! ! " Ejercicio!1.!(45%!del!total)!Sea" b[k] "una"secuencia"binaria"de"bits"independientes"y"equiprobables."Los" bits"se"agrupan"de"tres"en"tres"para"formar"una"modulación"8%QAM"dada"por"la"expresión:" " +∞ +∞ s(t) = Ac ∑ I[n]p(t − nT ) cos ( 2π f ct + θ c ) − Ac ∑ Q[n]p(t − nT ) sen ( 2π f ct + θ c ) n=−∞ n=−∞ { " } { " } siendo" I[n]∈ ±1/ 2,±3 / 2 "símbolos"cuaternarios"que"agrupan"dos"de"los"bits"y" Q[n]∈ ±1/ 2 "símbolos" binarios"determinados"por"el"tercer"bit."El"pulso"adopta"la"forma: p(t ) = " r sinc( rt ) ,"siendo" r = 1/ T ." a) Dé"el"equivalente"paso"bajo" bs (t) "de"la"señal" s(t) ."Calcule"la"energía"del"pulso," E p ,"y"demuestre"que" E ⎡⎣ I[n]·Q[l]⎤⎦ = 0 ∀n,l ."Nota:"en"el"grupo"10"se"ha"usado"la"notación" I[n]  ai [n] "y" Q[n] aq [n] ;" puede"usar"la"que"le"resulte"más"cómoda." " +∞ +∞ bs (t) = Ac ∑ I[n] p(t − nT ) + jAc ∑ Q[n] p(t − nT ) " n=−∞ Ep = ∫ +∞ −∞ { n=−∞ } P( f ) df = P( f ) = T ⋅ ∏ (T f ) = T ∫ ∏ (T f ) df =1 " −∞ 2 E ⎡⎣ I[n] Q[l]⎤⎦ = { Dependen de bits distintos que son independientes, incluso cuando n=l +∞ } = E ⎡⎣ I[n]⎤⎦ E ⎡⎣Q[l]⎤⎦ = { Símbolos equiprobables y polar ⇒ las medias son 0 }= 0" " b) Dibuje"la"constelación"de"la"señal"paso"bajo,"e"indique"el"módulo"y"fase"de"cada"símbolo"(suponga"que" atan(1/ 3) ≅ π 10 )."Proponga"un"código"de"Gray"para"los"tres"bits"que"forman"cada"símbolo."" " 100 ! 110 Ac/2 010 ! 101 ! ! " ! #Ac/2 111 ! π/4 π/10 ! #3Ac/2 ! 000 ! Ac/2 #Ac/2 !011 3Ac/2 ! 001 " 1! c) Calcule" la" potencia" media" del" paso" bajo" bs (t ) "y" de" la" señal" s (t ) "en" función" de" Ac "y" del" período" de" símbolo" T ."Halle"también"la"energía"promedio"por"símbolo," Es ,"y"por"bit," Eb ."" ( )( ) is qs Rb (t + τ ,t) = E ⎡⎣ is (t + τ ) + jqs (t + τ ) is (t) − jqs (t) ⎤⎦ s = { Términos cruzados se anulan por el resultado en (a) }= R (t + τ ,t) + R (t + τ ,t) " Rb (τ )= Ri (τ ) + Rq (τ ) ⇒ Pb = Pi + Pq s s s s s s " { } { } Ac2 Pi = Ri (0) = R [0]E p = RI [0] = 5 / 4, E p = 1 s s T I A2 Pq = Rq (0) = c RQ [0]E p = RQ [0] = 1/ 4, E p = 1 s s T ⎫ ⎪ Pi + Pq 3A2 3Ac2 ⎪ s ⇒ Ps = s = c " ⎬ ⇒ Pbs = 2T 2 4T ⎪ ⎪ ⎭ 3Ac2 Es Ac2 Es = PsT = ⇒ Eb = = 4 b 4 " " La" señal" se" transmite" por" un" canal" ideal" hc (t ) = δ (t ) ," con" un" ruido" aditivo" w(t) "Gaussiano" y" blanco" de" densidad"espectral" S w ( f ) = (N 0 2) ."El"receptor"es"un"receptor"convencional"formado"por"un"filtro"paso" banda"ajustado"al"ancho"de"banda"de"la"señal"transmitida,"un"demodulador"I&Q,"filtros"adaptados"al"pulso" transmitido,"muestreo"y"un"detector"MAP." " Suponga"de"momento"un"demodulador"I&Q"coherente:" " d) Dibuje"el"esquema"de"un"receptor"ideal"proporcionando"las"características"de"los"filtros"y"los"instantes" óptimos"de"muestreo" tm ." FILTRO! PASO! BANDA! ! ! ! ~! ! ! ! ! ! M! A! P! ! ! ! ! #1! ! !! ! ! " e) Dé"la"expresión"de"la"señal"a"la"salida"de"los"filtros"adaptados."Identifique"la"componente"de"señal"útil"y" la"de"ruido." " ! 2! Puesto"que"el"demodulador"es"coherente,"la"salida"a"los"filtros"adaptados"será:" " yi (t ) = is (t ) * p (−t ) + in (t ) * p (−t ) = Ac ∞ ∑ I [n ]R n =−∞ yq (t ) = qs (t ) * p (−t ) + qn (t ) * p (−t ) = Ac σ 2 in0 =σ 2 qn0 0 ∞ ∑ Q [n ]R n =−∞ p [t − nT ] + qn (t ) 0 " = N0 E p = N0 by (t ) = yi (t ) + jyq (t ) = Ac f) [t − nT ] + in (t ) p ∞ ∑ B [n]R n =−∞ p [t − nT ] + bn (t ); B [n ] = I [n ] + jQ [n ] 0 " " Obtenga"la"expresión"de"la"señal"muestreada"y"determine"las"probabilidades"de"error"de"símbolo"y"de" bit"en"función"de" la" Eb / N 0 ." " " yi [ m ] ≡ yi (mT ) = Ac ∞ ∑ I [n]R [(m − n)T ] + i yq [ m ] = yq (mT ) = Ac by [ m ] = by (mT ) = Ac 100 ! p n =−∞ n0 ∞ ∑ Q [n]R [(m − n)T ] + q p n =−∞ n0 ∞ ∑ B [n]R [(m − n)T ] + b p n =−∞ 110 n0 #3Ac/2 (mT ) = AcQ [m ] + qn0 [m ] " (t ) = Ac B [m ] + bn0 [m ] Ac/2 010 ! ! Ac/2 #Ac/2 111 000 ! π/4! π/10 ! 101 ! (mT ) = Ac I [m ] + in0 [m ] ! #Ac/2 !011 3Ac/2 ! 001 " El"detector"MAP"(en"este"caso"ML"por"ser"los"símbolos"equiprobables)"divide"el"espacio"de"señal"en"8" regiones" comprendidas" por" las" dos" líneas" verticales" y" los" ejes" coordenados." La" situación" de" los" símbolos"es"simétrica"en"los"cuatro"cuadrantes"por"lo"que"la"probabilidad"de"error"será:" Pe = 1 8 1 Pem = ( Pe1 + Pe 2 ) " ∑ 8 m=1 2 La"probabilidad"de"detección"para"estos"símbolos"es:" ! 3! d= Ac = 2 Es ; σ in = σ qn = σ n0 = N 0 0 0 3 ⎡ Es ⎡ ⎡ d ⎤⎤ ⎡ ⎡ d ⎤⎤ ⎡ Pd 1 = ⎢1 − Q ⎢ 1− Q ⎢ = ⎢1 − Q ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ 3N 0 ⎣ σ n0 ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ σ n0 ⎦ ⎦ ⎢⎣ ⎣ ⎡ ⎡ Es Pd 2 = ⎢1 − 2Q ⎢ ⎢⎣ ⎣ 3N 0 ⎤⎤ ⎡ ⎡ Es ⎥ ⎥ ⎢1 − Q ⎢ ⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎣ 3N 0 " Y"las"probabilidades"de"error:" 2 ⎤⎤ ⎥⎥ " ⎦ ⎥⎦ ⎤⎤ ⎥⎥ ⎦ ⎥⎦ ⎡ Es ⎤ ⎡ Es ⎤ 2 Pe1 = 1 − Pd 1 = 2Q ⎢ ⎥ −Q ⎢ ⎥ ⎣ 3N 0 ⎦ ⎣ 3N 0 ⎦ " ⎡ Es ⎤ ⎡ ⎤ E 2 s Pe 2 = 1 − Pd 2 = 3Q ⎢ ⎥ − 2Q ⎢ ⎥ 3 N 3 N 0 ⎦ 0 ⎦ ⎣ ⎣ La"probabilidad"de"error"de"símbolo"total"será:" Pe = ⎡ Es ⎤ ⎤ 5 ⎡ Es ⎤ 1 ⎡ ⎡ Es ⎤ 2 ⎢5Q ⎢ ⎥ − 3Q ⎢ ⎥⎥ ≅ Q ⎢ ⎥" 2 ⎣⎢ ⎣ 3N 0 ⎦ 3 N 2 3 N ⎥ 0 ⎦⎦ 0 ⎦ ⎣ ⎣ Dado"que"es"un"código"de"Gray,"la"probabilidad"de"error"de"bit"será:" " 1 Peb = Pe ; Es = 3Eb 3 " 5 ⎡ Eb ⎤ Peb ≅ Q ⎢ ⎥ 6 ⎣ N0 ⎦ " (Apartados! (g)! y! (h)! valen! 15%! del! total! del! examen)."Suponga"a"partir"de"aquí"que"la"fase"del"oscilador" local"del"demodulador"I&Q"es" θ l = θ c + ε "con" 0 < ε < (π 10) ."Bajo"este"supuesto:" " g) Obtenga" la" nueva" salida" de" los" filtros" adaptados," identificando" la" componente" de" señal" útil" y" la" de" ruido."" b′y (t) = e − jε by (t) = e − jε ∞ Ac ∑ B [ n ]Rp (t − nT ) + e− jε bn (t) n=−∞ " yi′(t) = yi (t)cos ε + yq (t)sin ε ; yq′ (t) = − yi (t)sin ε + yq (t)cos ε h) Obtenga" de" nuevo" la" expresión" de" la" señal" muestreada" y" dibuje" la" nueva" constelación." Recalcule" la" probabilidad"de"error"de"símbolo"y"de"bit"usando"las"mismas"fronteras"de"decisión"que"las"del"apartado" (f)."Expréselas"en"función"de" la" Eb / N 0 "y"de" ε ." " − jε [ ] [ ] [ b′y mT = e Ac B m + bn′ mT ] " 0 ! 4! ! ! ! ! " Obsérvese"que"hay"4"tipos"diferente"de"símbolos:"los"4"superiores"o"los"4"inferiores."Los"módulos" de"la"constelación"girada"son"los"mismos"que"la"de"la"original"y"las"fase"son"las"de"la"original"menos" el"ángulo"de"giro" ε ." Las"coordenadas"de"los"símbolos"girados"serán:" Bm′ = Bm e− jε = Bm e j (φm −ε ) I m′ = Bm cos(φm − ε ) = Bm cos φm cos ε + Bm sin φm sin ε = I m cos ε + Qm sin ε " Qm′ = Bm sin(φm − ε ) = Bm sin φm cos ε − Bm cos φm sin ε = Qm cos ε − I m sin ε Las"distancias"a"los"contornos"verticales"y"a"los"horizontales"de"las"zonas"de"decisión"de"los" símbolos"superiores"serán:"" ′ = Ac − I 2′ = d (2 − cos ε − sin ε ); d 22 ′ = I 2′ = d [cos ε + sin ε ] d1′ = I1′ − Ac = d [3cos ε + sin ε − 2]; d 21 ′ = − I 3′ = d [cos ε − sin ε ]; d32 ′ = I 3′ + Ac = d [ − cos ε + sin ε + 2]; d 4′ = − Ac − I 4′ = d [−2 + 3cos ε − sin ε ] d31 d= Ac ; Di′ = Qi′; i = 1, 2,3, 4 2 " Y"las"probabilidades"de"detección"y"de"error" ! 5! ⎡ ⎡ d′ ⎤⎤ ⎡ ⎡ D′ ⎤ ⎤ Pd 1 = ⎢1 − Q ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢1 − Q ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎣ σ n′0 ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ σ n′0 ⎦ ⎦ ⎣ ⎡ ⎡ d′ ⎤ ⎡ d′ ⎤⎤ ⎡ ⎡ D′ ⎤ ⎤ Pd 2 = ⎢1 − Q ⎢ 21 ⎥ − Q ⎢ 22 ⎥ ⎥ ⎢1 − Q ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎣ σ n′0 ⎦ ⎣ σ n′0 ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ σ n′0 ⎦ ⎦ ⎣ ⎡ ⎡ d′ ⎤ ⎡ d′ ⎤⎤ ⎡ ⎡ D′ ⎤ ⎤ Pd 3 = ⎢1 − Q ⎢ 31 ⎥ − Q ⎢ 32 ⎥ ⎥ ⎢1 − Q ⎢ 3 ⎥ ⎥ ⎣ σ n′0 ⎦ ⎣ σ n′0 ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ σ n′0 ⎦ ⎦ " ⎣ ⎡ ⎡ d′ ⎤⎤ ⎡ ⎡ D′ ⎤ ⎤ Pd 4 = ⎢1 − Q ⎢ 4 ⎥ ⎥ ⎢1 − Q ⎢ 4 ⎥ ⎥ ⎣ σ n′0 ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ σ n′0 ⎦ ⎦ ⎣ 1 Pd = ( Pd 1 + Pd 2 + Pd 3 + Pd 4 ); Pe = 1 − Pd ; 4 Eb d σ n′0 = σ n0 ; = σ n′0 N0 Ejercicio! 2! (55%! del! total).! Sea"un"proceso"aleatorio"paso"banda" s(t) = Re[bs (t) ⋅exp( j(2π f 0t + ϕ 0 ))] """ tal" que" bs (t) "es" la" señal" equivalente" paso" bajo" respecto" a" la" frecuencia" y" fase" de" referencia" ( f 0 ,ϕ 0 ) ," siendo ϕ 0 "determinista." " (Apartados!(a)!y!(b)!valen!15%!del!total!del!examen)!La"señal" s(t) "se"transmite"por"un"canal"cuya"función" de"transferencia"es"igual"a" ⎡ ⎛ 2π ⎞⎤ ⎛ f − f0 ⎞ H C+ ( f ) = α ⎢1+ cos 2 ⎜ ( f − f 0 )⎟ ⎥ ⋅ ∏ ⎜ ⎟ ⎝ Bs ⎠ ⎦⎥ ⎝ Bs ⎠ ⎢⎣ a) ; con α = α ⋅ e jϕα " " Halle"el"equivalente"paso"bajo"de"la"señal"a"la"salida"del"canal"en"el"dominio"de"la"frecuencia." " e+ jϕ0 BS ( f ) = B ( f ) ⋅ BHc ( f ) R 2 S ( BHc ( f ) = 2e− jϕ0 H C+ ( f + f0 ) = 2α e− jϕ0 1+ cos 2 ( 2Bπ f ) ( 2 2π f BS BS ( f ) = α 1+ cos ( R b) S ) ) ∏ ⎛⎜⎝ Bf ⎞⎟⎠ " s ) BS ( f ) " En"el"esquema"de"la"figura,"detalle"la"estructura"del"demodulador"I&Q,"indicando"todos"los"parámetros" relevantes." Dé" la" función" de" transferencia" del" ecualizador" H Q ( f ) "para" obtener" a" la" salida" directamente"el"equivalente"paso"bajo"de"la"señal"transmitida." " " " " ! " 6! El oscilador del demodulador ha de tener frecuencia f 0 y fase ϕ 0 , y los filtros pasobajo deben tener el ancho de banda de bs (t) que debería ser menor o igual a BS / 2 . De este modo, a la salida del demodulador I&Q se tiene BS ( f ) , calculada en (a). Entonces R HQ ( f ) = " A" partir" BS ( f ) 1 = BS ( f ) α 1+ cos 2 ( 2Bπ f ) R S ( de" este" punto" ) ⎛ f ⎞ ∏ ⎜⎝ B ⎟⎠ s considere" lo" siguiente" sobre" la" señal" transmitida" s(t) = Re[bs (t) ⋅exp( j(2π f0t + ϕ 0 ))] ":" " • x(t) = Re[bs (t)] = ∑ n=−∞ ax [n]⋅ px (t − nTx ) "es" una" modulación" 2%PAM" unipolar" con" símbolos" +∞ ax [n] ∈{0,+ A} "procedente"de"codificar"una"secuencia"de"bits" b1[n] "estadísticamente"independientes" { { } } entre" sí" y" NO" equiprobables" con" probabilidades" Pr b1[n] = 1 = p "y" Pr b1[n] = 0 = 2 p "a" una" velocidad"de"bit"de" rb = 2Mbps ."El"pulso"utilizado"es"un"pulso"rectangular"de"duración"igual"al"tiempo" de"símbolo" Tx "y"energía"unitaria." " y(t) = Im[bs (t)] = ∑ n=−∞ a y [n]⋅ p y (t − nTy ) "es" una" modulación" 4%PAM" polar" con" símbolos" +∞ • {− 3 2 } B,− 12 B,+ 12 B,+ 23 B "procedente" de" codificar" una" secuencia" de" bits" b2 [n] "estadísticamente" independientes"entre"sí"y"equiprobables"a"una"velocidad"de"bit"de" rb = 2Mbps ."El"pulso"utilizado"es"un" pulso"rectangular"de"duración"igual"al"tiempo"de"símbolo" Ty "y"energía"unitaria." " • {b [n],b [n]} "son"mutuamente"independientes"entre"sí."" 1 2 " " Empiece!en!una!hoja!nueva!distinta!de!la!usada!para!(a)!y!(b):!! " Responda"a"las"siguientes"preguntas:" " c) Dé" en" unidades" de" segundos" el" tiempo" de" símbolo" de" la" modulación" x(t) "denotado" por" Tx ." Obtenga" mx (t) = E[x(t)] ," Rx (τ ) ," S x ( f ) "e"indique"el"cicloperiodo"del"proceso" {x(t)} ." rb = 2Mbps ⇒ rx = 2Mbaud ⇒ Tx = r1x = 0.5µ sg ! +∞ ∑ a [n] p (t − nT ); p (t ) = Π ( ) Se!tiene!que! Pr {b [n] = 1} = p = ;Pr {b [n] = 0} = 2 p = ; Se!supone!que!se!asigna!el!símbolo!0! x (t ) = n =−∞ x x 1 3 1 x 1 Tx x t −Tx /2 Tx 2 3 1 al!bit!0!y!el!símbolo!A!al!bit!1.!Si$se$realiza$la$asignación$inversa,$la$solución$es$diferente,$pero$ obviamente$es$válida$si$se$resuelve$correctamente.! mx ( t ) = ! +∞ ∑ m [n] p (t − nT ); n =−∞ ax x x max = E ⎡⎣ ax [n ]⎤⎦ = pA = + A3 7! Rax [k ] = E ⎡⎣ax [n + k ] ax [n]⎤⎦ = σ a2x δ [k ] + max 2 = 92 A2δ [k ] + 19 A2 Rx ( t + τ , t ) = E ⎡⎣ x ( t + τ ) x* (t )⎤⎦ = +∞ +∞ ∑ ∑ R [n − l ] p (t + τ − nT ) p (t − lT ) = R (t + T ax n =−∞ l =−∞ x x x x x x + τ , t + Tx ) ! El!cicloperiodo!es! Tx = 0.5µ sg ! ! Rx (τ ) = T1x 1 2 Tx 9 +∞ ∑ R [k ]R (τ − kT ) = k =−∞ ax px A R px (τ ) + T1x 91 A 2 2 x +∞ ∑ R (τ − kT ) = k =−∞ px x ! 1 2 Tx 9 A R px (τ ) + T1x 91 A 2 2 De!hecho,!la!última!igualdad!en!la!expresión!anterior!se!deduce!de!forma!directa!a!partir!de!la! función!de!densidad!espectral!de!la!señal! s ( t ) .! R px (τ ) = Λ ( )! τ Tx S x ( f ) = 92 A2sinc2 ( fTx ) + T1x 91 A2δ ( f ) " " d) Dé" en" unidades" de" segundos" el" tiempo" de" símbolo" de" la" modulación" y ( t ) "denotado" por" Ty ." Obtenga" my (t) = E[ y(t)] ," Ry (τ ) ," S y ( f ) "e"indique"el"cicloperiodo"del"proceso" {y(t)} ." rb = 2Mbps ⇒ ry = 1Mbaud ⇒ Ty = y (t ) = my ( t ) = ! +∞ ∑ a [n] p (t − nT ); y n =−∞ y p y (t ) = y +∞ ∑ m [n] p (t − nT ); ay n =−∞ y = 1µ sg ! 1 ry 1 Ty Π ( t −Ty /2 Ty ) ma y = E ⎡⎣a y [n ]⎤⎦ = 0 y Ray [k ] = E ⎡⎣ay [n + k ] ay [n]⎤⎦ = σ a2y δ [k ] = 54 B2δ [k ] Ry ( t + τ , t ) = E ⎡⎣ y ( t + τ ) y* ( t )⎤⎦ = +∞ +∞ ∑ ∑ R [n − l ] p (t + τ − nT ) p (t − lT ) = R (t + T ay n =−∞ l =−∞ y y y y y y + τ , t + Ty ) ! El!cicloperiodo!es! Ty = 1µ sg ! ! Ry (τ ) = T1y +∞ ∑ R [k ]R (τ − kT ) = k =−∞ ay py Rpy (τ ) = Λ x 1 5 Ty 4 B 2 R p y (τ ) ! ( )! τ Ty ! S y ( f ) = B2sinc2 fTy ! 5 4 ( ) " " e) Calcule" la" relación" que" debe" existir" entre" los" parámetros" {A, B} "para" que" los" procesos" {x(t)} "y" {y(t)} "presenten" idéntica" potencia" media," es" decir" Px = Py ." Con" la" relación" obtenida" analice" si" presentan"idéntica"energía"promedio"por"bit." ! ! 8! Px = Rx (0) = T1x Rax [0] = T1x 13 A2 Py = Ry (0) = T1y Ra y [0] = T1y 54 B 2 Ty = 2Tx Px = Py ⇒ T1x 13 A2 = (A 2 = 15 16 1 5 2Tx 4 B 2 ⇒ 13 A2 = 85 B 2 ⇒ A2 = 158 B 2 ; B si se asignan el 0 y el 1 al revés en la unipolar ) ! 2 Es _ x = PxTx = PxTb = Eb _ x Es _ y = PyTy = 2 PyTb = 2 Eb _ y ⇒ Eb _ x = PxTb = PyTb = Eb _ y ! Sí!tienen!idéntica!energía!promedio!bit!dado!que!coinciden!en!potencia!y!en!tiempo!de!bit.! " " f) " Obtenga"las"funciones"de"correlación"cruzada" Rxy (t + τ ,t) "y" Ryx (t + τ ,t) ."" " Dado!que!las!dos!secuencias!de!bits!son!mutuamente!independientes!entre!sí,!se! cumple!que!:! E ⎡⎣ax [n + k ] ay [n]⎤⎦ = max may = 0 ⇒ Rxy (t + τ , t ) = Ryx (t + τ , t ) = 0 ! g) Obtenga"las"funciones"de"correlación" Rb (t + τ ,t) "y" Rb b * (t + τ ,t) "en"función"de"las"funciones"de" s s s " correlación" de" {x(t)} "y" {y(t)} ," es" decir," Rx (t + τ ,t), Ry (t + τ ,t), Rxy (t + τ ,t) y Ryx (t + τ ,t) ." ¿Es" bs (t) "un" proceso" circularmente" simétrico," es" decir," Rb b* (t + τ ,t) = 0 ?" ¿Es" bs (t) "un" proceso" s s cicloestacionario?"En"caso"afirmativo,"obtenga"su"cicloperiodo." Rbs ( t + τ , t ) = E ⎡⎣( x ( t + τ ) + jy (t + τ ) ) ( x (t ) − jy (t ) )⎤⎦ = Rx (t + τ , t ) + Ry (t + τ , t ) Rbsbs * ( t + τ , t ) = E ⎡⎣( x ( t + τ ) + jy (t + τ ) ) ( x (t ) + jy (t ) )⎤⎦ = Rx (t + τ , t ) − Ry (t + τ , t ) ! ! bs ( t ) !no!es!proceso!circularmente!simétrico,!pero!sí!resulta!cicloestacionario.! ( ) Rbs ( t + τ , t ) = Rbs ( t + 2Tx + τ , t + 2Tx ) = Rbs t + 2 r1b + τ , t + 2 r1b ! ( ) Rbs b * ( t + τ , t ) = Rbs b * ( t + 2Tx + τ , t + 2Tx ) = Rbs b * t + 2 r1b + τ , t + 2 r1b ! s s s " " h) Halle"la"función"de"autocorrelación"de"la"señal" s(t) "en"función"de"las"correlaciones"de"los"procesos" {x(t)} "y" {y(t)} ," es" decir," Rx (t + τ ,t), Ry (t + τ ,t), Rxy (t + τ ,t) y Ryx (t + τ ,t) ." Evalúe" su" carácter" de" cicloestacionariedad" así" como" su" cicloperiodo" suponiendo" f 0 = 100rb ." Calcule" la" potencia" media"de"la"señal" s(t) ." Con! f 0 = 100rb la!expresión!de!la!autocorrelación!pedida!es!igual!a:! ! ! 9! ( ( ) ) j 2π f ( 2 t +τ )+ 2ϕ0 ) Rs (t + τ , t ) = 12 Re Rbs ( t + τ , t ) e j 2π f0τ + 12 Re Rbsbs * ( t + τ , t ) e ( 0 = ( ) ( ) 1 2 j 2π f ( 2 t +τ )+ 2ϕ0 ) Re ( Rx ( t + τ , t ) + Ry ( t + τ , t ) ) e j 2π f0τ + 12 Re ( Rx ( t + τ , t ) − Ry (t + τ , t ) ) e ( 0 = 1 2 ( R (t + τ , t ) + R (t + τ , t )) cos ( 2π f τ ) + ( R (t + τ , t ) − R (t + τ , t )) cos ( 2π f ( 2t + τ ) + 2ϕ ) x y 1 2 0 f0 = 100rb ⇒ T0 = x 1 100 rb y 0 ! 0 ! 2Tx = 200 ⇒ TCICLOP = 2Tx = Ty ! ! ( R (t + τ , t ) + R (t + τ , t )) cos ( 2π f τ ) ⇒ ! (P + P ) = ( A + B ) = = Rs (τ ) = Ps = 1 2 1 2 x x y y 1 2Tx 1 3 2 0 5 8 2 2 A 3Tx 2 5B 4Ty " " ! " 10! ...