AG 2 (2017)

Trabajo Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Nanociencia y Nanotecnología - 1º curso
Asignatura Electricitat i Magnetisme
Profesor A.L.
Año del apunte 2017
Páginas 4
Fecha de subida 28/10/2017
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Lucia Matamoros Pava 1457628 AG 2 1.- Una partícula de carga q y masa m tiene una cantidad de movimiento p = mv y una energía cinética Ec = p2/2m. Si se mueve en una órbita circular de radio R perpendicular a un campo magnético uniforme B, demostrad que (a) p = Bqr Órbita circular  Fuerza magnética es la centrípeta: ⃗ | ∗ |𝑣 | ∗ sin(90) = 𝑞 ∗ |𝐵 ⃗ | ∗ |𝑣 |  𝑚 ∗ 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑞 ∗ |𝐵 𝑣2 𝑅 𝑣 ⃗ | ∗ |𝑣 |  𝑚 ∗ = 𝑞 ∗ |𝐵 ⃗| = 𝑞 ∗ |𝐵 𝑅 ⃗ | ∗ 𝑅  com p=mv  𝑝 = 𝑚 ∗ 𝑣 = 𝑞 ∗ |𝐵 ⃗ |∗𝑅  𝑚 ∗ 𝑣 = 𝑞 ∗ |𝐵 (b) Ec = B2q2r2/2m Nos dicen que Ec = p2/2m, donde sustituimos p por la ecuación del apartado a (p=BqR): 𝐸𝑐 = (𝑞𝐵𝑅)2 𝑞 2 𝐵2 𝑅 2 𝑝2 = = 2𝑚 2𝑚 2𝑚 Lucia Matamoros Pava 1457628 2.- Tres conductores rectilíneos largos y paralelos pasan a través de los vértices de un triángulo equilátero de lado 10 cm, según se indica en la figura, donde los puntos indican que la corriente está dirigida hacia el lector i las cruces que está dirigida hacia el papel. Si cada corriente vale 15 A, encontrad (a) la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre el conductor superior y Llamaremos a los conductores: 1 (el superior), 2 (el inferior izquierdo) y 3 (el inferior derecho).
La fuerza que realiza un conductor sobre otro es 𝑑𝐹 = 𝐼𝑑𝑙x𝐵, y por lo tanto la fuerza por unidad de longitud es 𝑑𝐹 𝑑𝑙 = 𝐼x𝐵 La fuerza ejercida sobre 1 es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen sobre él 3 y 2: 𝐹21 + 𝐹31 Aplicando la ley de Ampere, veremos que la fuerza que aparece entre 1 y 2 y entre 1 y 3 es una de repulsión, ya que sus corrientes van en sentidos contrarios.
𝑑𝐹21 𝑑𝑙 = 𝑑𝐹31 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼1 𝐼2 2𝜋𝑅 = 𝜇0 152 2𝜋0,1 = 0,00045 𝑁/𝑚 Esta será la fuerza de repulsión que ejercerá cada cable (2 y 3) sobre 1. Como la fuerza de 2 tiene un ángulo de 60º respecto al horizontal, y la de 3 tiene un ángulo de 120º, gráficamente vemos que se anulan en el eje de las x (al tener igual módulo y sentido contrario) y se suman en el de las y, en un sentido j positivo (hacia arriba). Como es así, sumaremos los vectores en el sentido y: 𝑑𝐹21𝑦 𝑑𝑙 = 𝑑𝐹21 𝑑𝑙 ∗ sin(60) y la F total será la suma de F21y+F31y, que como F21y=F31y  F21y+F31y= 2*F21y 𝐹 𝑑𝐹21 2 ∗ 𝜇0 152 𝑁 = ∗ sin(60) ∗ 2 = ∗ sin(60) = 7,79𝐸 − 4 𝑗̂ 𝑑𝑙 𝑑𝑙 2𝜋0,1 𝑚 Lucia Matamoros Pava 1457628 (b) el campo magnético B en el llamado conductor debido a los conductores inferiores.
B=B21+B31 Cuando lo representamos, vemos que los campos magnéticos generados por 2 y 3 se anulan en el eje vertical, y se suman en el horizontal hacia el sentido positivo del eje de las x. Como además son iguales en módulo, lo que haremos será multiplicar su módulo por 2 y por el cos(60) (ya que solo cogemos la parte de B que corresponde al eje de las x) . La fórmula que usamos para B es la del campo magnético generado por un hilo infinito (𝐵 = 𝜇0 2𝐼 ): 4𝜋𝑅 𝐵 = 𝐵21 + 𝐵31 = 2 ∗ 𝜇0 2𝐼 ∗ cos(60) = 3 𝐸 − 5 𝑇 4𝜋𝑅 (c) responded de nuevo los apartados (a) y (c) pero considerando que la corriente del vértice inferior derecho ha cambiado su sentido.
a) En este caso se elimina la componente del eje de las y, y se queda la componente horizontal de la fuerza, ya que el hilo 3 atrae al 1, o el 2 y repele al 1. Por lo tanto, la fuerza por unidad de longitud queda como la suma de las dos fuerzas por unidad de longitud en el eje de las x. pero como cos(θ)=cos(-θ), ambas tienen el mismo módulo y se puede multiplicar la fuerza por 2 para obtener el total.
𝒅𝑭 2𝐼 2 µ0 𝑵 = cos(𝜃) = 𝟒. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑖 𝒅𝒍 2𝜋𝑅 𝒎 b) En este caso se elimina la componente del eje de las x y se queda la componente vertical. El modulo es el mismo ya que el sin(θ en el tercer cuadrante y el cuarto es el mismo; con lo cual, B es: µ0 4𝐼 4𝜋10−7 4 ∗ 15 𝑩= sin(−60) = sin(−60) = −𝟓. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑻 ĵ 4𝜋 𝑅 4𝜋 0.1 Lucia Matamoros Pava 1457628 3. Modelo simple de levitación de un vehículo de transporte comercial. Analiza la viabilidad del siguiente sistema. Supongamos que conseguimos la levitación de un tren de mercancías montando pequeñas esferas cargadas eléctricamente debajo del vehículo. Las esferas pasan por un campo magnético generado por imanes permanentes situados a lo largo del raíl. Los imanes permanentes generan un campo uniforme de 0,1 T en la ubicación de las esferas y además un sistema de control mantiene la carga de cada esfera en 1 µC. El tren tiene una masa de 5x104 kg y viaja a una velocidad de 400 km/h. ¿Cuántas esferas cargadas serán necesarias para soportar el peso del vehículo a esta velocidad? ¿Te parece que este sistema puede ser efectivo como medio de levitación magnética? B= 0,1 Q0= 1 µC M= 5E4 kg V= 400 km/h = 111,111 m/s Primero igualamos el peso del vehículo a la fuerza magnética (directamente asumimos que el ángulo es 90, el de máxima eficiencia, con lo cual no ponemos el seno).
𝐹 = 𝑃  𝑞𝑉𝐵 = 𝑚𝑔 - 𝑞 = 𝑚𝑔 𝑣𝐵 9,81∗5𝐸4 = 111,111∗0,1 = 4,415𝐸4 𝐶 Si por cada esfera tenemos 1 µC  4,415𝐸4 𝐶 1𝐸−6 = 4,415𝐸10 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜 Éstos cálculos han sido simplificados con la suposición de que la capa de esferas será una monocapa. A primera vista, parece un resultado completamente inviable, aunque para estudiar su viabilidad real necesitaríamos más datos. Dependerá del tamaño de las esferas, aunque si comparamos con las dimensiones de un vehículo de transporte comercial, como un tren de carga de RENFE (Serie 253 https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_253_de_Renfe) vemos que la base del vehículo comprende un área de unos 56,27 m, la cual si dividimos por el número de esferas necesarias (aproximaremos el área que ocupa cada esfera como la de un cuadrado con el lado del tamaño del diámetro de la esfera), nos da que cada cuadrado/esfera debe ocupar 1,27nm cuadrados, es decir, cada esfera debería tener un diámetro de unos 3,57E-5 m. Conociendo esto y comparando por encima con el radio atómico del hidrógeno y su relación a la carga del protón (no podemos cargar una esfera más pequeña que un protón con más carga que un protón) vemos que es bastante inviable, ya que necesitaríamos esferas con una densidad de carga inmensa, las cuales además deberían mantenerse unidas venciendo la repulsión electrostática.
Talvez sería más viable un diseño de lámina conductora cargada.
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