Examen Álgebra Lineal Resuelto (2014)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2014
Páginas 5
Fecha de subida 18/05/2014
Descargas 7
Subido por

Vista previa del texto

MATEMÀTIQUES I 2n Parcial GRAU ENGINYERIA INDUSTRIAL 14 gener 2013 Durada de l’ examen: 2 hores NOTA.- Totes les respostes han d’estar breument justificades.
1 0 0   1. (3.5 punts) Donada la matriu A   0 2 1  i el conjunt B  (1,1, 1), (1, 0, 2), (2, 1,1) 0 1 2   a) Comproveu si els vectors de B són vectors propis de la matriu A i si ho són determineu quin és el seu valor propi.
No essent nuls seran propis si multiplicats per A donen com a resultat un seu múltiple. Fem els   1  1     A 1   0   1  0   1 1     tres productes:  A   0    0   2 0       2  1      A   1   0   1  0     0 0  1   1  1        2 1    1    1  =1   1   vep de vap 1  1 1 2   1  1   0 0 1 1      2 1    0    2  no vep 1 2   2   4  0 0  2   2  2        2 1    1   1  1   1  vep de vap 1 1 1 2   1   1    b) Justifiqueu si B és una base de vectors propis d’  3 . Si no ho és formeu-ne una que contingui el major nombre de vectors de B possible.
No ho és ja que el segon vector no és propi. Busco vaps: 1  det( A   I )  0; 0 0 0 2 1 0 1  0; 1    2 2 1 1  0; 1      2  4  3  0 2  1    4  16  12 1  vaps  1,1,3     3  2 Ja tenim dos veps de vap 1 linealment independents calculats a l’apartat a); el primer i el tercer.
Busco algun de vap 3 1  3 0 0 0  2 0 0 0   f1 / 2  2 0 0 0  x0      f2   23 1 0     0 1 1 0     0 1 1 0   y  z f3  f 2  0  0      1 2  3 0   0 1 1 0   0 0 0 0 z    E  3   0, a, a    0,1,1      El vector (0,1,1) és propi i linealment independent dels altres dos pel fet de tenir un vap diferent.
Per tant una base de veps pot ser V  (1,1, 1), (0,1,1), (2, 1,1) c) Construïu la matriu de pas de la vostra base de veps a la base canònica d’  3 .
La matriu està formada pels vectors de la base V escrits en canònica i posats per columnes. Serà 1 0 2   doncs la PVC   1 1 1  1 1 1    d) Raoneu si la matriu A diagonalitza o no. Si ho fa, concreteu en quina base i quina és la forma diagonal. Si no ho fa, modifiqueu-la el menys possible per tal d’assegurar que sí diagonalitzi.
Pel fet de ser simètrica, la matriu A diagonalitza. En la base de veps calculada en l’apartat b) 1 0 0   diagonalitza en la forma D   0 3 0  0 0 1   e) Doneu, si és possible, una base ortonormal de diagonalització de la matriu A.
La base de diagonalització V de l’apartat b) és ortogonal ja que: (1,1, 1)  (0,1,1) per tenir vaps diferent i ser AT  A   (0,1,1)  (2, 1,1) per tenir vaps diferent i ser AT  A  dividint-los pel seu mòdul tindrem una  (1,1, 1)  (2, 1,1) per tenir producte escalar nul  1 1  1  base ortonormal de diagonalització: Vo   (1,1, 1), (0,1,1), (2, 1,1)  2 6  3  5   ln 1  x 2 si x  2    2. (1.5 punts) Donada la funció definida per f ( x)    10  x 2  9 si x  2 a) Estudieu-ne la continuïtat i classifiqueu les discontinuïtats.
La funció 5 és contínua al seu domini   0 i 0  2 ln 1  x 2  La funció 10 és contínua al seu domini   3,3 i 3  2 x 9 2 Per tant f serà contínua excepte a 0 i 3 per manca de definició ( Dom f    0,3 ) i potser a 2 per diferent comportament a dreta i esquerra. Classifiquem les tres possibles discontinuïtats: 5 5      A x  0 hi ha discontinuïtat asimptòtica 2 x  0 ln 1  x   0 lim f ( x)  lim f ( x)  lim x 0 x 0 5 5   2 ln 1  x  ln  5    limits laterals diferents  A x  2 hi ha discontinuïtat de salt 10 10  lim f ( x)  lim 2   2  x  2 x 2 x  9 5  lim f ( x)  lim x  2 x 2 10 10 10   lim     lim f ( x)  lim 2 x  3 ( x  3) 0 x  3 x  3 x  9 x  3     A x  3 hi ha una 10 10 10  lim     lim f ( x)  lim   2   x x 3 ( 3)      0 x3 x  3 x 9 x3      discontinuïtat asimptòtica b) Calculeu el valor de la seva derivada en x  1 .
2x  5   5 1  x 2  f (1)  5  1  2  en x  1 f ( x)     ln 1  x 2   ln 2 1  x 2  ln 2 2   3. (2 punts) Donada la funció f ( x)  4  x2 , de la que coneixem les sortides de la pantalla de x Maple adjunta > D(f)(x);(D@@2)(f)(x);   4 4 x 2 x 2 4 ( 3 x 2 8 ) ( 4 x 2 ) ( 3/ 2 ) x3 a) Determineu-ne el domini.
Domf   x   t.q. 4  x 2  0 i x  0   x   t.q. 4  x 2 i x  0   x   t.q. 2  x i x  0   2, 0  0, 2   2, 2  0 b) Quins són els seus extrems absoluts en l’interval  0, 2 ? La derivada de f que mostra la pantalla de Maple és negativa x  Domf   2, 2  0  f és decreixent i els extrems absoluts només els pot tenir a la frontera. No hi ha màxim absolut ja que hauria de ser a x  0 però 0  Domf . El mínim absolut és a x  2 i val f (2)  0 .
Es pot deduir el mateix amb el gràfic de la funció f(x): 4. (3 punts) D’una funció f ( x) es coneixen les dades següents: f (2.5)  36, f (1.8)  8, f (3)  10.4, f (15)  15, lim f ( x)  , x -  lim f ( x)  10 x  i les gràfiques de f ( x) i f ( x) Gràfic de f ( x) Gràfic de f ( x) a) Doneu l’equació de la recta que millor aproxima el valor de f (3.1) . Feu l’aproximació.
Amb les dades que tenim la recta que millor aproxima és la tangent en x  3 , la seva equació és y  f (3)  f (3)( x  3); y  10.4  2.9( x  3); y  2.9 x  1.7 .
A la vora de x  3 podem fer l’aproximació f ( x)  10.4  2.9( x  3)   f (3.1)  10.4  2.9(3.1  3)  10.4  2.9  0.1  10.4  0.29  10.69 b) Determineu raonadament els intervals on la funció és decreixent, els intervals on és creixent i els extrems relatius.
Com que la funció és derivable arreu: és creixent a on la derivada és positiva: , 2.5  1.8,9 és decreixent a on la derivada és negativa: 2.5,1.8  9,  Té extrems allà on f   0 i a més f   0 o bé f  canvia de signe abans i després del zero: té dos màxims locals a 2.5 i 9 on f  val 0 i f  és negativa o bé f  passa de ser positiva a negativa té un mínim local a 1.8 on f  val 0 i f  és positiva o bé f  passa de ser negativa a positiva c) Determineu raonadament els intervals on la funció és còncava cap amunt    , els intervals on és còncava cap avall    i els punts d’inflexió.
Com que la funció és doblement derivable arreu: té curvatura    a on la derivada segona és positiva: 1.2, 4.5  15,  té curvatura    a on la derivada segona és negativa: , 1.2  4.5,15 té tres punts d’inflexió a 1.2 , 4.5 i 15 on f  val 0 i passa de tenir un signe a tenir el contrari.
d) Feu un croquis de la gràfica de la funció.
La gràfica fa quelcom com ara: ...