Intereses y descuento simple (2012)

Apunte Español
Universidad Universidad de Girona (UdG)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas Financieras
Año del apunte 2012
Páginas 155
Fecha de subida 23/05/2014
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Otro power explicado detalladamente con ejemplos

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Tema II: Interés y descuento simple II.1. Algunas definiciones. Interés simple e interés compuesto • Hasta ahora hemos repasado algunos conceptos básicos, en este capítulo comenzamos con el estudio de las matemáticas financieras. Antes de empezar veremos algunos conceptos y definiciones importantes.
• Definición 2.1: Interés es el pago por el uso del dinero ajeno, se denota con I.
• Otras formas de conceptualizar los intereses o réditos son: 1. El cambio en el valor del dinero con el paso del tiempo.
2. El dinero que produce un capital al prestarlo o invertirlo para que otros lo usen sin ser de su propiedad. Por ejemplo, si consigues un préstamo bancario, estarás utilizando un dinero que no es tuyo sino del banco.
3. Es el precio que tiene el dinero como cualquier otro bien; es el pago por la adquisición de bienes y servicios en operaciones de crédito, etc.
• Numéricamente hablando, los intereses son la diferencia entre 2 cantidades: el capital y el monto.
• Definición 2.2: Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero, C, se incrementa hasta otra, M, entonces el interés es I = M – C, donde C es el capital, y M el monto del capital.
• Dependiendo del caso y de las circunstancias, el capital también tiene el nombre de principal, valor presente o valor actual. De igual manera, algunos sinónimos del monto del capital son valor futuro, montante, valor acumulado o simplemente monto.
• Definición 2.3: Al número de días u otras unidades de tiempo que transcurren entre las fechas inicial y final en una operación financiera se le llama plazo o tiempo.
• En la figura 2.1 se ilustran estos conceptos: Figura 2.1 • Desde este punto de vista, el monto siempre es mayor que el capital y se ubica en un tiempo futuro respecto del capital.
• Definición 2.4: La razón entre el interés I y el capital C por unidad de tiempo se llama tasa de interés, por lo tanto: i= I/C • Cuando la tasa de interés se expresa en porcentaje se le llama tipo de interés, y al valor correspondiente expresado en decimales, el que se emplea para las operaciones, se denomina como tasa de interés, pero en la práctica es al primero al que le llaman tasa de interés.
• Ejemplo 1: Intereses, capital, monto, tasa de interés, plazo y tipo de interés • El señor X invierte $4.000 y al término de un año recibe $4.500 por su inversión. El valor presente es C = $4.000, el monto es M = $4.500 y los intereses son I = 4.500 – 4.000 = $500 la diferencia de M y C: • La tasa de interés es i = 500/4.000 = 0’125. El tipo de interés es, por lo tanto, 0’125 (100) = 12’5% anual, y el plazo es de un año.
Interés simple e interés compuesto • Las 2 clases de interés que más comúnmente se utilizan son el interés simple y el compuesto.
• Definición 2.5: El interés es simple cuando sólo el capital gana intereses y es compuesto si a intervalos de tiempo prestablecidos, el interés vencido se agrega al capital. Por lo que éste también genera intereses.
• Suponga que se realiza una inversión a plazo fijo. Si al final retira el capital y los intereses, entonces estará ganando un interés simple; sin embargo, si no hace retiro alguno, entonces los intereses, al término del plazo fijo, se suman al capital y a partir del segundo periodo ganarán intereses, puesto que ya forman parte integral de dicho capital y en tales condiciones la inversión estará devengando con interés compuesto.
II.2. Interés simple • En la sección anterior se dijo que la tasa de interés por unidad de tiempo es i = I/C. Si se despeja I multiplicando los 2 miembros dela ecuación por C, se obtienen los intereses: I = Ci • Pero si el plazo no es la unidad sino cualquier otro valor, digamos n periodos, entonces los intereses serán: I = Cin • Es decir, que son proporcionales al capital, al plazo y a la tasa de interés, lo cual se formaliza en el siguiente teorema.
• Teorema 2.1: Los intereses que produce un capital C con una tasa de interés anual i durante n años están dados por: I = Cin • Ejemplo 1: Tasa de interés simple en un préstamo.
• ¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si con $51.885 se liquida un préstamo de $45.000 en un plazo de 6 meses?.
Resolución ejemplo 1 • Los intereses son la diferencia entre el monto y el capital prestado.
I = 51.885 – 45000 I= $6.885 • El plazo en años es n = 1/2 , que equivale a un semestre. La tasa anual, i, se despeja de la ecuación siguiente que resultó de sustituir los valores anteriores en I = Cin.
6.885 = 45.000(i)(1/2)  i = 6885(2) / 45000 = 0’306 o 30’6% anual Advertencia • Cabe decir que cuando alguien pide dinero prestado las tasas de interés son relativamente altas.
• La unidad de tiempo para la tasa de interés puede no ser anual, sino mensual, diaria, trimestral o de cualquier otra unidad de tiempo.
Sin embargo, en cualquier caso es importante hacer coincidirla con las unidades de tiempo del plazo; por ejemplo, si la tasa de interés es semanal entonces el plazo debe expresarse y manejarse en semanas.
• Fórmula del interés simple: • Anteriormente se mencionó que los intereses son la diferencia entre el monto y el capital: I=M-C • Si pasamos sumando la C al lado izquierdo, se despeja M.
M = C + I porque I = Cin M = C + Cin M = C(1 + in), ya que se factoriza C • Teorema 2.2: El valor acumulado M de un capital C que devenga intereses con la tasa de interés simple anual, i, al final de n periodos anuales es: M = C(1 + in) • Ésta se conoce como fórmula del interés simple.
Ejercicio I • Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 años en régimen de capitalización simple.
Solución Ejercicio I • C4 = 2.000 x (1 + 4 x 0,08 ) = 2.640 € Ejercicio II • Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de interés anual para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés un punto porcentual.
Solución Ejercicio II • En este caso la fórmula general de la capitalización simple no es aplicable al ser diferente el tipo de interés en cada período. El montante será, igualmente, el resultado de añadir al capital inicial los intereses de cada período, calculados siempre sobre el capital inicial pero al tipo vigente en el período de que se trate.
• C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = 1.000 + 1.000 x 0,05 + 1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,07 = 1.180 € Ejercicio III • Usted mantiene un compromiso con un acreedor informal que rentabiliza sus colocaciones bajo el sistema de interés simple. El día de hoy usted se debiera conseguir $300.000, los cuales cancelaría a 4 meses y a una tasa de interés simple de un 8%.
• ¿Por que monto usted deberá firmar el cheque a fecha con el cual usted documentará su deuda? Solución Ejercicio III Ejercicio IV • Se obtiene un crédito de $200,000 a 40 días con el 4% de interés anual simple; ¿que cantidad debe pagar al vencerse la deuda? Solución Ejercicio IV • C = 200,000  La tasa de interes es 4% anual transportada a dias • i = 4%  0.011111% • T = 40  40 M • M = 200.888’89 • Ejemplo 2: Monto acumulado en cuenta bancaria.
• ¿Cuánto acumula en 2 años en su cuenta bancaria el señor Morales, si invierte $28.000 ganando intereses del 7,3% simple anual?.
Ejercicio V • Se obtiene un crédito de $680,000 a 5 meses con el 25% de interés anual simple. ¿Qué cantidad debe pagar al vencer la deuda? Solución Ejercicio V • C = 680,000  La tasa de interés es 25% anual trasportada a meses • I = 25%  2.08% • t=5  5 • M= $ 750,833.33 Ejercicio VI • Un comerciante deposita $70,000 en un fondo de inversiones que garantiza un rendimiento del 20% mensual, si la persona retira su deposito dos meses después ¿Cuánto recibe? Solución Ejercicio VI • C = 70,000 • i = 20% • T= 2  No se necesitan ajustes  20.00%  2 • M= $ 98,000.00 Ejercicio VII • Una persona desea adquirir un terreno dentro de 6 meses supone que el enganche que habrá de pagar hacia esas fechas será de $40,000. Si desea tener esa cantidad dentro de 6 meses ¿Qué cantidad debe invertir en su deposito de renta fija que rinde el 9% de interés anual simple? Solución Ejercicio VII • C = 40,000 • i = 9% • t=6  Se ajusta la tasa de 9% anual a meses  0.75%  6 • C = $ 38,277.51 Resolución ejemplo 2 • Los valores a sustituir en la ecuación 2.2 son: C = $28.000, el capital n = 2, el plazo en años i = 0’073, la tasa de interés simple anual • M es la incógnita entonces, M = 28.000 [1 + 0’073(2)] M = 28.000(1’146) M = $32.088 • Recordar que de esta fórmula, o de cualquier otra, puede determinarse una de las variables que en ella aparecen.
• Ejemplo 3: Plazo en que inversión crece un porcentaje dado.
• ¿En que tiempo crece un 24% un capital que se invierte con el 6’3% de interés simple anual?.
Resolución ejemplo 3 • Si C es el capital que se invierte, entonces el monto M debe ser un 24% mayor, esto es M = C + 0’24C o bien, M = 1’24C por lo que al sustituir en la ecuación del teorema 2.2 resulta: 1’24C = C(1 + 0’063(n)) M = C(1 + in) • Al pasar una C al otro lado de la ecuación, se anula.
Después se pasa restando el 1 a la izquierda y el coeficiente de n, 0’063, se pasa dividiendo, es decir, 1’24 – 1 = 0’063n; 0’24/0’063 = n o bien, n = 3’80952 • Y son años porque la tasa de interés es anual.
• Conversión de años en años con meses y días: • Para expresar este plazo en años, meses y días, primero la parte decimal se multiplica por 12, que son los meses que tiene un año 1’24C = C(1 + 0’073(n)), M = C(1 + in) • Esto significa que 0’80952381 años, son equivalentes a 9’71428 meses. Ahora bien, la parte fraccionaria de este número se multiplica por el número de días, 30, contenidos en un mes 0’71428572(30) = 21’4285716 • Que se redondea a 21 y por eso el plazo queda como: 3 años, 9 meses y 21 días.
• Notar que: 1. El plazo puede expresarse hasta en horas, mediante la multiplicación de la fracción por 24.
Por lo que esto pudiera continuar sucesivamente.
2. En el resultado no tiene importancia el tamaño del capital que se invierta, C, puesto que se eliminó desde el primer paso en el desarrollo anterior, lo cual quiere decir que cualquier capital se duplicará en este plazo a una tasa del 13% simple anual.
• Ejemplo 4: Precio de un bien con interés simple, TIIE.
• ¿Cuál es el precio de un televisor que se paga con un anticipo del 30% y un documento a 3 meses con valor nominal de $3.600?. Suponga que la tasa de interés es igual a la TIIE más 9 puntos porcentuales y que el día de la compra la TIIE fue del 4’8%.
Resolución ejemplo 4 • Primero se encuentra el valor presente de los $3.600 sustituyendo la tasa i = 0’048 + 0’09 = 0’138 en la fórmula del interés simple y los demás valores: M por $3.600, el valor futuro del crédito, y n por 3/12 o 0’25 años, que es el plazo. La ecuación queda así: 3.600 = C[I + 0’138(0’25)]  3.600 = C(1’0345) • De donde el valor presente del documento es: C = 3.600 / 1’0345  C = $3.479’94 • Puesto que el anticipo fue del 30%, este resultado corresponde al 70% del precio del televisor y por eso: (0’70) Precio = 3.479’94 de donde, Precio = 3.479’94/0’70 = 4.971’35 Ejercicio III • ¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual para ese plazo? Solución ejercicio III 2.3. Diagramas de tiempo • Para plantear y resolver situaciones en las que interviene un número relativamente grande de cantidades y fechas –por ejemplo, cuando un conjunto de obligaciones que deudores y acreedores contrajeron con anterioridad se reemplaza por otro que es equivalente, pero con otros tiempos y otras cantidades-, se utilizan gráficas que se conocen como diagramas de tiempo.
• Éstos consisten en una simple línea recta en la que se anotan los valores, los montos, los capitales, las fechas y los plazos del problema a resolver. Además pueden agregar flechas para indicar el sentido y la distancia en el tiempo en el que las cantidades de dinero se desplazan de manera simbólica.
• Ejemplo 1: Inversión con interés simple para montos preestablecidos.
• ¿Cuánto deberá invertirse al 5’1% simple anual el 15 de febrero, para disponer de $7.000 el 9 de mayo, de % 15.500 el 20 de junio, y de $10.000 el 23 de diciembre?.
Solución ejemplo 1 • En la figura siguiente está el diagrama de tiempo con las 4 fechas, las cantidades de dinero y el número de días entre 2 fechas sucesivas. Las flechas indican que las 3 cantidades, montos, se desplazan hasta el 15 de febrero.
• Los plazos se obtienen con un calendario a la vista, o así, donde se requiere saber cuántos días tiene cada mes; por ejemplo, como se observa en la lista, entre el 20 de junio y el 23 de diciembre, se tienen 186 días.
Junio 10 (30 -20) Julio 31 Agosto 31 Septiembre 30 Octubre 31 Noviembre 30 Diciembre 23 TOTAL: 186 días • Los otros 2 plazos se calculan de igual manera.
• El procedimiento consiste en quitar los intereses a los 3 montos, para luego sumar los 3 capitales, y obtener así el capital a invertir el 15 de febrero. Para esto se usa la fórmula del interés simple.
M = C(1 + in) • De donde, al pasar dividiendo (1 + in) queda: C = M / (1 + in) o C = M (1 + in) -1 ya que a/b = ab -1 • El primer capital es: C1 = 7000 [1 + 0’051(83/360)]-1 C1= 7000(1’011758)-1 C1 = 7000 (0’98837) = $6.918’65 • Para el segundo, el plazo es de 125 días y el monto es de $15.500, y por eso: C2 = 15.00[1 + 0’051(125/360)]-1 C2 = 15.500 (0’982599) C2 = $15.230’30 • El plazo para el último es de 311 días y el monto es de $ 10.000, entonces: C3 = 10.000[1 + 0’051(311/360)]-1 C3 = 10.000 (0’9578008) C3 = $9.578’01 • El capital que debe invertirse el 15 de febrero es, entonces, C = C1 + C2 + C3 = $31.726’96 • Ejemplo 2: Diagramas de tiempo.
• El 11 de marzo Adriana depositó $30.000 en una cuenta que devenga intereses del 6’24% simple anual. El 15 de diciembre anterior había depositado otros $45.000, pero el 28 de enero retiró $39.000. ¿Cuánto podrá retirar el 9 de mayo?.¿Cuánto ganó por intereses?.
Resolución ejemplo 2 1. Un diagrama de tiempos es el de la figura siguiente, donde se marcan las fechas, los plazos y las cantidades de dinero en miles de $, los depósitos por encima y los retiros por debajo.
• De las cantidades se obtiene el monto al 9 de mayo, al primer depósito, porque el plazo es de 145 días, corresponde: M1 = 45.000 (1 + (0’0624/360)145) M = C(1 + in) M1 = 45.000 (1’02513) o bien, M 1 = 46.131’00 • Al segundo depósito con 59 días de plazo, corresponde: M2 = 30.000 (1 + (0’0624/360)59) M2 = 30.000 (1’0102266) = 30.306’80 • Y la suma de los 2 al 9 de mayo es: M = M1 + M2 = 76.437’80 • El valor futuro del retiro con plazo de 101 días es: M3 = 39.000 (1 + (0’0624/360)101) M3 = 39.000(1’0175066) = 39.682’76 • La diferencia entre este resultado y M es lo que Adriana podrá retirar el 9 de mayo, es decir, x = 76.437’80 – 39.682’76 = $36.682’04 2. Los intereses son la diferencia entre las 2 disposiciones y los 2 depósitos en la cuenta, es decir: I = 39.000 + 36.755’04 – (30.000 + 45.000) = $755’04 • Ejemplo 3: Inversión en cuenta de ahorros y adquiriendo centenarios.
• El 40% de su indemnización la deposita el señor González en una cuenta de ahorros que le bonifica el 13’2% simple anual y con el resto, $45.000, compra euros. Siete meses después retira su dinero del banco y adquiere más euros. ¿Cuánto valen sus monedas un año y medio después de su retiro laboral, considerando que su valor se incrementa un 1’05% mensual promedio?.¿A cuánto ascienden las utilidades para el señor González?.
Resolución ejemplo 3 1. En la figura siguiente, se localizan las cantidades en miles de euros y los plazos.
• Primero se encuentra el valor futuro de los euros, considerando que aumentan su valor de forma geométrica con razón r = 1’0105. El primer término es 45.000 y, por lo tanto, el último es: M1 = 45.000(1’01015)18 M1 = 45.000(1’206851) = 54.308’30 • Por otro lado, si C es el capital que percibe el señor González, en su indemnización entonces el 60% de C es lo que destinó a comprar euros, es decir, 0’60C = 45.000 • De donde: C = 45.000/0’60 = $75.000 • Que es lo que le dieron al indemnizarlo, y el 40% fue a la cuenta de ahorros.
0’40(75.000) = 30.000 • Lo cual, al final de 7 meses con los intereses, crece hasta: M2 = 30.000[1 + (0’132/12)7] M2 = 30.000 (1’077) = 32.310 M = C(1 + in) • Once meses después el valor de los euros que ahora se adquieren es: M3 = 32.310 (1’0105)11 M3 = 32.310(1’1217588) = 36.244’03 • El valor de los euros al final de los 18 meses es, entonces M = 54.308’00 + 36.244’03 M = $90.522’33 M = M 1 + M3 2. Las utilidades son la diferencia entre este resultado y lo recibido con la indemnización, es decir, U = 90.552’33 – 75.000 U = $15.552’33 EJERCICIO • Ejercicio –> Prueba “examen” II.4. Descuento simple • Cuando se consigue un préstamo por un capital C, el deudor se compromete a pagarlo mediante la firma de un pagaré, cuyo valor nominal generalmente es mayor que C, puesto que incluye los intereses. Es práctica común que el acreedor, es decir, el propietario del documento, lo negocie antes de la fecha de vencimiento, ofreciéndolo a un tercero –a una empresa de factoraje, por ejemplo-, a un precio menor que el estipulado en el propio documento, con un descuento que puede evaluarse de 2 formas: 1. Descuento simple real 2. Descuento simple comercial 3. Descuento compuesto • El primero se calcula utilizando la fórmula del interés simple M = C(1 + in), donde M es el valor nominal. Este descuento se explica en el primer ejemplo.
• El descuento simple comercial se trata en los siguientes ejemplos y el descuento compuesto.
• Ejemplo 1: ¿Cuál es el descuento simple real de un documento con valor nominal de $25.300, 72 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 6’3% simple anual?.
Resolución ejemplo 1 • En la fórmula del interés simple, se sustituyen M por 25.300, el valor nominal del documento n por 72 días, el plazo o tiempo que falta para el vencimiento i por d = 0’063, la tasa de interés, es decir, de descuento • Entonces, 25.300 = C[1 + (0’063/360)72] M = C(1 + in) 25.300 = C(1’0126)  C = 25.300/1’0126 = 24.985’19 • El descuento real es, entonces, D = M – C, es decir, D = 25.300 – 24.985’19 = $314’81 • A diferencia del anterior, descuento comercial, llamado así por su semejanza con la rebaja que los comerciantes hacen a sus artículos cuando los venden, quitando algunos euros al precio de lista, se calcula restando al valor nominal un descuento. La adquisición de CETES ( Certificados de la Tesorería) es un claro ejemplo de inversiones que se manejan con descuento comercial, el cual, en general, se obtiene multiplicando el valor nominal del documento por el plazo y por la tasa de descuento, es decir, D = Mnd • Donde d es la tasa de descuento simple anual, n es el plazo en años, D es el descuento comercial y M es el valor nominal del documento correspondiente.
• Ejemplo 2. Descuento comercial de un pagaré.
• El descuento comercial de un documento con valor nominal de $6.500, 3 meses antes de vencer, es decir, n = 3/12, puesto que éste es el plazo en años, con un tipo de descuento del 11’2% simple anual, es: D = 6.500(3/12)(0’112) = $ 182 • Si al valor nominal del pagaré se le resta este descuento, entonces se obtendrá su valor comercial o valor descontado P, que en este caso será: P = 6.500 – 182 = $6.318 Fórmula general • El resultado anterior se expresa generalmente como P = M – Mnd ya que D = Mnd • Donde, al factorizar M, se obtiene la fórmula del siguiente teorema.
• Teorema 2.3: el valor comercial P de un documento con valor nominal M, n años antes de su vencimiento es: P = M (1 – nd) • Donde d es la tasa de descuento simple anual.
• También en este caso la tasa de descuento y el plazo deben estar en las mismas unidades de tiempo.
• Ejemplo 3: Valor comercial de un pagaré.
• ¿Cuál es el valor comercial del 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $26.500, recibido el 25 de enero anterior con intereses del 12% simple anual y cuyo vencimiento es el 30 de julio?. Suponga que la tasa de descuento simple anual es del 12’5%.
Resolución ejemplo 3 • En la figura siguiente se muestra un diagrama temporal, donde aparecen las fechas, las cantidades de dinero y los plazos.
• Primero es necesario hallar el valor futuro de los $26.500 del préstamo, mediante la fórmula del interés simple.
M = 26.500 [1 + (0’12/360)(186)] M = C(1 + in) M = 26.500(1’062) = $ 28.143 • Con este valor futuro, el plazo n = 79/360 años y la tasa de descuento d = 0’125, se obtiene el valor descontado.
P = M(1 – nd) P = 28.143(0’972569) = $27.371’02 • Ejemplo 4. Plazo y tasa de interés en un documento.
• ¿Qué día se negocia en $32.406 el siguiente documento con descuento del 10’02% simple anual?. Suponiendo que ampara un crédito en mercancía por $32.000, ¿cuál fue la tasa de interés simple anual?.
• Bueno por $33.050 • Por este pagaré me obligo a pagar incondicionalmente a la orden de CH Impresiones en Barcelona el día 17 de febrero de 2013 la cantidad de $33.050, valor recibido a mi entera satisfacción.
• Lugar y fecha: Barcelona, a 5 de octubre de 2012 • Nombre: Antonio Gutiérrez • Domicilio: Calle Valencia.
Resolución ejemplo 4 1. El valor nominal es de $33.050, el valor en que se comercializa es de $32.406, la tasa de descuento es d = 0’1002, por lo tanto, • De donde 32.406 = 33.050[1 – n(0’1002)] 32.406/33.050 – 1 = -n(0’1002) n(0’1002) = 0’0194852 N = 0’0194856 / 0’1002 = 0’194467 años, porque la tasa es anual, que son 70’00824 días • Significa que 70 días antes del 17 de febrero, es decir, el 9 de diciembre de 2012, el documento se comercializa en $32.406.
2. El plazo entre el 17 de febrero y el 5 de octubre anterior es de 135 días, el capital es el valor de la mercancía $32.000, el monto es M = 33.050 y la tasa de interés i se obtiene despejándola de la siguiente ecuación: 33.050 = 32.000 [1 + i( 135)] 33.050/32.000 – 1 = i(135)  0’0328125 = I(135)  i = 0’0002430 diaria , porque el plazo está en días.
• Para la tasa anual se multiplica por 360: 0’000243056 (360) = 0’0875, es decir, 8’75% • Ejemplo 5: Descuento interbancario.
• El Banco del Sur descuenta al señor Gómez el 7’5% de interés simple anual de un documento con valor nominal de $30.000 que vence 45 días después. El mismo día, el banco descuenta el pagaré en el Banco Nacional con el 6’75% anual. ¿Cuál fue la utilidad para el Banco del Sur?.
Resolución ejemplo 5 • El plazo es n = 45/360 años, el monto (valor nominal) es M = 30.000, la tasa de descuento es d = 0’15; entonces, el capital que el señor Gómez recibe por el documento es: P = 30.000[1 – (0’075/360)(45)] P = 30.000(0’990625) = $29.718’75 • Ahora bien, el capital que el Banco del Sur recibe del Nacional, dado que la tasa de descuento es d = 0’0675, es: P = 30.000[1 – (0’0675/360)(45)] P = 30.000(0’991525) = $29.746’88 • La diferencia entre los 2 resultados es la utilidad para el Banco del Sur: U = 29.746’88 – 29.718’75 = $28’12 • Note que esto es igual a la utilidad de los $30.000 al 0’75% en 45 días.
U = 30.000(0’0075/360)(45) = $28’12 • El 0’75% es la diferencia entre los porcentajes de descuento.
II.5. Interés simple exacto y comercial • Una de las características de la vida moderna es la rapidez con la que cambian las cosas, y el mundo de las finanzas no es una excepción. Es sorprendente ver cómo los sucesos nacionales e internacionales influyen sobremanera en las tasas de interés que ofrecen los bancos y otras instituciones que se dedican a la transferencia de capitales en todas sus formas.
• Esta dinámica da lugar a que en las inversiones y las operaciones de crédito en general, se consideren los plazos en días y no en meses u otras unidades de tiempo mayores, como lo fueron en décadas pasadas. En todos los ejemplos hasta aquí planteados se considera que el año tiene 360 días para el año comercial; y el número de días naturales, los del calendario, para el plazo.
• Sólo como referencia, cuando el año se considera de 360 días, se denominan interés y descuento, simple comercial u ordinario; mientras que lo llamamos interés exacto, cuando el año se considera de 365 días, o 366 si es bisiesto.
• El plazo también se evalúa de 2 maneras: 1. Con tiempo real o exacto si se contabilizan los días naturales entre las fechas inicial y terminal.
2. Con tiempo aproximado si todos los meses se consideran de 30 días.
• Así que confirmado lo anteriormente dicho, el que más se utiliza es el interés comercial con tiempo real.
• Ejemplo 1: Monto con interés simple comercial y con tiempo aproximado y la TIIE.
• Utilizando un interés simple comercial con tiempo aproximado, obtenga el monto que se acumula al 15 de octubre, si el 25 de marzo anterior se depositan $15.000 en una cuenta que abona con la TIIE + 2’4 puntos porcentuales. Suponga que la TIIE es de 4’44% anual.
Solución ejemplo 1 • El tiempo, o sea, el plazo en tiempo aproximado, es de 200 días ya que: De marzo 30 – 25 = 5 días De abril a septiembre 6(30) = 180 días De octubre 15 días Total: 200 días • La tasa de interés es 4’44 + 2’4 = 6’84% o bien, i = 0’0684.
• El monto entonces, es M = 15.000 (1 + 200(0’0684/360)) = 15.570 • Ejemplo 2: Monto con interés simple exacto y con tiempo real.
• Resuelva el ejemplo 1 con interés simple exacto con tiempo real.
Solución ejemplo 2 • Aquí la tasa anual se divide entre 365 y el plazo es de 204 días. El monto con la misma fórmula del interés simple es: M = 15.000 (1 + 204(0’0684/365)) = 15.573’44 • Nota: el tiempo real para el plazo puede obtenerse con un calendario a la vista. Ahí se aprecia que el 15 de octubre es el día número 288 del año, el 25 de marzo es el 84 y el plazo es igual a al diferencia: 288 – 84 = 204 días.
• Ejemplo 3: Tasa de descuento simple comercial con tiempo aproximado.
• El 9 de noviembre se negocia en $14.735 un documento con valor nominal de $15.400 y vencimiento al 23 de abril del año siguiente.
¿Cuál es la tasa de descuento suponiendo que es comercial u ordinario con tiempo aproximado?.
Solución ejemplo 3 • En este caso el tiempo es de 164 días: De noviembre 30 – 9 = 21 De diciembre a marzo 4(30) = 120 De abril 23 Total 164 días • En el teorema 2.3 para descuento comercial, se sustituyen el plazo n, por 164, el monto M, por $15.400 y P por $13.680. Después, se despeja la tasa d.
14.735 = 15.400[1 – (164/360))(d)]P = M (1 – nd) 14.735/15.400 – 1 = - (164/360)d -0’043181818 = - 0’45(d) d = 0’0431818/0’45 d = 0’094789 = 9’4789% • Ejemplo 4. Crédito mercantil, descuento simple exacto.
• El 9 de octubre la Comercial Ferretera López vendió materiales y le firmaron un pagaré con valor nominal de $31.750, con vencimiento al 6 de febrero e interés del 14’3% simple anual.
a. ¿Cuál fue el precio de los materiales? b. ¿qué día se descuenta el documento en $30.800 en un banco que opera con el 15’11% de descuento simple anual?.
• Utilice tiempo real para el plazo, el interés y el descuento exacto.
Solución ejemplo 4 • El diagrama temporal de la figura 2.7 sirve para anotar y ver las cantidades y los plazos.
a. En la tabla del apéndice B se ve que el plazo entre las 2 fechas es de 120 días, además, M = $31.750 y la tasa i = 0’143, por lo tanto: 31,750 = C[1 + (120/365)(0’143)] 31.750 = C(1’047013) C = 31.750/1’0470136 = $30.324’34 b. Para encontrar el día en que se comercializa el documento, se necesita el plazo. Para esto se sustituyen en el teorema 2.3 los valores M por $32.750, el valor nominal, P por $30.800, el valor comercial, y d por 0’1511, la tasa de descuento simple anual: 30.800 = 31.750[1 – n(0’1511)] con n en años 30.800/31.750 – 1 = -n (0’111) n(0’1511) = 0’0299212 n = 0’02992126 / 0’1511 n = 0’1980228 años, porque la tasa es anual • Para convertirlo en días, se multiplica por 365, los días naturales de un año no bisiesto: 0’198022897 (365) = 72’278357 • Es decir, 72 días que se cumplen el 26 de noviembre.
II.6. Amortización con interés simple • Hay básicamente 2 maneras de liquidar un crédito en efectivo, en bienes o en servicios:  con un desembolso único al final del plazo.
 con 2 o más pagos, cuya frecuencia y tamaño pueden ser iguales o diferentes, y en este caso se dice que el crédito se amortiza, que significa “dar muerte” a la deuda.
• Definición 2.6. Amortizar es el proceso de cancelar una deuda y sus intereses mediante pagos periódicos.
• Cuando el número de pagos es relativamente corto, el problema se resuelve considerando pago tras pago como en los ejemplos que preceden; pero si son muchos, resulta poco práctico hacerlo de esta manera y entonces se utilizan fórmulas que luego se justifican.
• También es cierto que existen, por lo menos, 3 maneras diferentes de considerar los cargos por intereses al amortizar un crédito:  con interés global.
 con interés simple.
 con interés compuesto.
Amortización de renta fija • En la amortización con interés global, los pagos son todos iguales, ya que el interés total se divide entre el número de pagos y el resultado se suma al pago a capital, llamado amortización.
• Es importante y oportuno señalar que abono y amortización son diferentes, ya que una parte de cada abono es para cubrir los intereses del periodo, y la otra, es decir, la amortización, se destina al capital que se adeuda haciendo que con cada pago se reduzca; esto es: ABONO = INTERESES + AMORTIZACIÓN • Ejemplo 1: Amortización de un crédito con pagos fijos.
• ¿Cuál es el abono mensual con el que se amortiza un préstamo de $90.450 en año y medio, si se cargan intereses del 3’5% simple, es decir, global mensual?.
Solución ejemplo 1 • Los intereses a pagar en cada mes están dados por I = C (i) donde C = 90.450 el valor de la deuda I = 0’035, la tasa de interés mensual e I = 90.450(0’035) = 3165’75 • Por otro lado, la amortización, la porción que reduce a la deuda, es igual al cociente del préstamo, entre el número de pagos: A = 90.450/18 = 5025 • Y cada pago, intereses y amortización, es, por lo tanto, R = 3165’75 + 5025 = 8190’75 • Por supuesto que este resultado también puede obtenerse con la fórmula del interés simple: M = C(1 + n) = 90.450 [1 + (0’035)18] = 147.433’5 • Por lo que cada pago es: R = 147.433’5 / 18 = 8190’75 • Que es igual al anterior.
• Ejemplo 2: Crédito que se amortiza con pagos semanales fijos.
• ¿de qué tamaño es el crédito que se amortiza con 13 pagos semanales de $2.500 con interés global anual del 7’54%?.
Solución ejemplo 2 • Si C es el crédito, entonces la amortización semanal es A = C/13 y los intereses de cada periodo semanal son I = (0’0754/52)C o I = 0’00145C, I = i(n)C, entonces, cada abono debe ser igual a $2.500, es decir, C/13 + 0’00145C = 2.500 Amortización + Interés • De donde, C(1/13 + 0’00145) = 2.500 se factoriza C C(0’07837077) = 2.500 C = 2.500 / 0’07837 = $31.898’71 Amortización de renta variable • Que los intereses en cada pago se calculan sobre el saldo insoluto, sobre la deuda viva, dará como resultado que cada abono sea menor que el anterior, ya que los intereses bajan si se reduce la deuda, aunque también pueden prorratearse para que todos sean iguales, como se verá en el ejemplo 5 y los que siguen.
• Ejemplo 3. Amortización de un crédito con renta variable.
• Si compra un televisor de $6.500 con un pago inicial del 20%, y después 8 abonos mensuales con cargos del 12% simple anual sobre saldos insolutos. Hallar los pagos y los intereses.
Solución ejemplo 3 a. Luego de dar el anticipo, y hasta el final del primer mes, cuando se hace el primer abono, la deuda es del 80% del precio: C = 0’80(6.500) = $5.200 • La amortización, es decir, el abono al capital en cada pago, es: A = 5.200 / 8= 650 • Los intereses al efectuar el primer abono son: I = 5.200(0’12/12) = 5.200(0’01) = $52 • Los intereses para el segundo abono, puesto que la deuda ya se redujo en $650, son: I2 = 4.550(0’01) = 45’50 • Para el tercer pago, la deuda se redujo en otros $650 y los intereses son: I3 = 3.900 (0’01) = 39 • Continuando de esta manera se llegará hasta el último pago, donde la deuda viva, dado que se han realizado 7 abonos de $650 al capital, es: 5.200 – 7(650) = 650 • Esto, como era de esperarse, es igual a la amortización. Los intereses son ahora: I8 = 650(0’01) = $6’50 • Y los 8 abonos, incluyendo intereses, son los siguientes, que se obtienen sumando a cada amortización de $650 los intereses del periodo, es decir, R1 = 650 + 52 = 702 R2 = 650 + 45’50 = 695’50 R3 = 650 + 39 = 689 • Y así sucesivamente, hasta R8 = 650 + 6’50 = 656’50 b. El total que se carga por intereses es la suma de los intereses en cada abono, esto es, I = 52 + 45’50 + 39 + … + 6’50 • Que constituye una serie aritmética con: a1 = 52’00, el primer término d = -6’50, la diferencia común y n = 8, el número de términos • Entonces, la suma, es decir, el total de intereses es: I = (8/2) [2(52) + (7)(-6’50)]= 4(58’50) = $234 Sn = (n/2)[2 a1 + (n – 1)d] • Ejemplo 4. Crédito con intereses sobre saldos.
• El último de 15 abonos quincenales que amortizan un crédito es de $3.016’50. ¿Por qué cantidad es el crédito, si se considera el 13’20% de interés simple anual sobre saldos insolutos?, ¿y de cuánto es cada pago?.
a. Si C es el capital, es decir, el crédito, la amortización quincenal es A = C/15, porque son 15 abonos. Los intereses del último pago son: I = (C / 15)(0’132/24) = C(0’000366667) • El último pago es, entonces, R15 = C / 15 + C (0’00036667) Amortización + intereses R15 = (0’067033333)C Se factoriza C • Por lo tanto, (0’067033333)C = 3.016’50, que el último abono • De donde: C = 3.016’50 / 0’067033333 = 45.000, es el crédito b. Los intereses del primer abono I = 45.000 (0’132/24) = 247’50 entonces, • Y la amortización constante es: A = 45.000 / 15 = 3.000 son, • Entonces, el primer pago es: R1 = 3.000 + 247’50 = $3.247’50 • Los intereses del segundo, puesto que ya se redujo la deuda en 3.000, son: I2 = 42.000 (0’132/24) = 231 • Por lo que el segundo es: R2 = 3.000 + 231 = $3.231 • El tercero y los demás se obtienen restando sucesivamente la diferencia entre los 2 abonos: 3.247’50 – 3.231 = $16’50 • Diferencia que es equivalente a los intereses del último pago. ¿Por qué?. Entonces, R3 = 3.231 – 16’50 = $3.214’50 R4 = 3.214’50 – 16’50 = $3.198 etc Intereses sobre saldos insolutos (renta fija) • En los ejemplo 3 y 4 los intereses y los pagos son variables, y se reducen conforme transcurre el tiempo. Ahora consideramos el caso en que la totalidad de intereses se divide entre el número de abonos y, en consecuencia, todos resultan iguales, por lo que el acreedor recibirá cantidades menores en la primera parte del plazo, y mayores en la segunda, comparando, claro, con lo que recibiría con rentas que decrecen.
• Ejemplo 5. Fórmula general.
• Suponga que se compran computadoras con un crédito de $81.000, que se liquidan con 9 abonos mensuales con cargos del 15’6% simple anual sobre saldos insolutos. Hallar el tamaño de cada abono, suponiendo que son iguales, y los intereses.
Solución ejemplo 5 • La amortización, es decir, el abono que se hace al capital con cada pago es un valor constante y está dado por: A = 81.000 / 9 = 9.000 • Que en general estará dada por A = C/n, donde n es el número de pagos y C la deuda original. Los intereses del último abono, como se observa en los ejemplos 3 y 4, están dados por: I = 9.000(0’156 / 12) = 117 • Que se generaliza como I = A(i), donde i es la tasa de interés por periodo o tiempo entre un pago y otro. Este interés coincide siempre con la diferencia entre los intereses, es decir, es el valor en que se reducen los intereses de un abono al que le sigue.
• Los intereses del primer periodo mensual son: I1 = 81.000 (0’156 / 12) = $1.053 • Luego de hacer el primer pago, la deuda viva es: 81.000 – 9.000 = 72.000 • Y los intereses ahora son: I2 = 72.000 (0’156/12) = 72.000 (0’013) = 936$ • Como se dijo, la diferencia con los primeros es de 117$. El total que se carga por intereses es igual a la serie aritmética: I = 1.053 + 936 + … + 234 + 117 O bien, I = 117 + 234 + … + 936 + 1.053, ya que a + b = b + a • La suma, por lo tanto, se evalúa con la fórmula del teorema 2.2, donde n = 9, el número de términos, es decir, de pagos. El primer término es a1 = 9.000 (0’013) = 117 y esto es igual tanto a la diferencia común como a los intereses del último pago.
S9 = (9/2)[2(117) + (8)(117)] ; S9 = 5.265 S n = (n/2)[2 a1 + (n – 1)d] • Al dividir entre 9, el número de pagos, se obtienen los intereses de cada uno I = 5.265/9 o I = 585, que al sumarse con cada amortización la renta o el pago mensual resulta: R = 9.000 + 585 o bien, R = 9.585$ • Note que la suma de intereses en general es: Sn = I = (n/2) [2(Ai) + (n – 1)Ai]; a1 = Ai = d, la diferencia común I = (n/2)Ai[2 + n – 1] se factoriza Ai I = (n/2)(C/n)i(n + 1) A = C/n I = (Ci/2)(n + 1) se cancela n • Para los intereses de cada periodo, este resultado se divide entre n, el número de pagos, luego se suma la amortización C/n y se obtiene el valor de cada pago, esto es: R = [(Ci/2)(n + 1)/n] + (C/n) R = [(Ci/2)(n + 1)/2n ] + (2C/2n); donde C/n = 2C/2n • Se factoriza C/2n y se obtiene la fórmula del siguiente.
• Teorema 2.4. Una deuda C se amortiza con n pagos periódicos iguales, según la ecuación: R = (C/2n)[(n + 1)i + 2] • Donde, i es la tasa de interés simple por período sobre saldos insolutos, y R es el abono periódico, la renta.
• Ejemplo 6. Compruebe el ejemplo 5 con la fórmula del teorema 2.4.
Resolución ejemplo 6 • Los valores a sustituir en la fórmula R = (C/2n) [(n + 1)i + 2] son: C = 81.000, la deuda inicial n = 9, el número de pagos mensuales i = 0’013, la tasa de interés simple mensual • Entonces, R = (81.000/18)[(9 + 1)(0’013) + 2] 2n = 2(9) = 18 R = (4.500)(0’013 + 2) = 9.585$ • Que es igual al que se obtuvo en el ejemplo 5.
• Ejemplo 7. Amortización de un crédito con interés simple sobre saldos insoutos.
• Un crédito se amortiza con 20 abonos semanales fijos de 3.750$ e intereses del 0’0325% simple diario. Determine: a. El valor del crédito, es decir, el capital.
b. El total que se paga por intereses.
Resolución ejemplo 7 a. Para obtener el valor del crédito en la ecuación anterior se remplazan: R por 3.750, la renta o pago semanal N por 20, el número de abonos I = 0’000325(7) o bien, I = 0’002275, la tasa de interés semanal.
• Entonces: 3.750 = (C/40)[(20 + 1)(0’002275) + 2] 3.750(40) = C(0’047775 + 2)  C = 73.250’24$ • Los intereses son la diferencia entre el capital recibido en el crédito y el total que se pagó en los 20 abonos.
I = 20(3.750) – 73.250’24 = 1.749’76$ Relación entre interés simple e interés global • Si en el ejemplo 7 los intereses se dividen entre el crédito, se obtiene la tasa de interés global total g: g = 1.749’76 / 73.250’24 g = 0’02388743 = 2’388743% • Y al dividir esto entre 20 periodos semanales, se obtiene la tasa de interés global semanal: 0’02388743 / 20 = 0’001194372 o bien, 0’119473% • De aquí que para obtener una fórmula genérica para relacionar las tasas de interés global y simple en amortización con interés simple, se observa lo siguiente: • La tasa global es g = I / C donde los intereses son I = nR – C; esto es, el total que se paga en los n abonos, menos el capital que originalmente se debe, y por eso al sustituir queda: g = (nR – C) / C g = nR / C – C/C g=I/C o bien, g = (n/C)R – 1 C/C = 1 • Pero la renta, según el teorema 2.4, está dada por: R = (C/2n)[(n + 1)i +2] ; por lo tanto, al sustituir queda g = (n/C)(C/2n)[(n + 1)i + 2] – 1 ; g = (n/C)R – 1 g = (1/2)[(n + 1)i + 2] – 1 ; se cancelan n y C g = (1/2)(n + 1)i + (1/2)2 – 1 ; a(b + c) = ab + ac g = (n + 1)(i/2) ; (1/2)i = i/2 y se cancela el 1 • Que se formula en el siguiente teorema.
• Teorema 2.5: La tasa de interés global total g en amortizaciones con interés simple y pagos iguales es: g = (n + 1)(i/2) • Donde i es la tasa de interés simple por período y n es el número de pagos o periodos.
• Ejemplo 8. Comparación de tasas al comprar un automóvil.
• A Juan le ofrecen un automóvil a crédito con 30 mensualidades e interés global total del 15%, y en otra agencia se lo venden con el 12% de interés simple anual, ¿qué le conviene más?.
Resolución ejemplo 8 • La tasa por período mensual en la segunda opción es i = 0’12/12 o bien, i = 0’01, y el número de pagos es 30, entonces la tasa global total equivalente, según el teorema 2.5, es: G = (30 + 1)(0’01/2) = 0’155 = 15’5% • Como éste es mayor que el 15% de la primera opción, ahí compra el automóvil. Notar que no importan la magnitud de los pagos ni el precio del automóvil.
Saldo insoluto • Para liquidar de inmediato una deuda o para refinanciarla completamente antes de amortizarla, es necesario conocer el saldo insoluto al efectuar un pago cualquiera.
• Este saldo es igual a la multiplicación de una amortización C/n por el número de abonos que faltan al efectuar el pago k-ésimo y si n es el total de pagos, entonces n – k son los que faltan. Entonces: • Teorema 2.6. En la amortización de una deuda con interés simple, luego de hacer el k-ésimo abono, el saldo insoluto está dado por: S = (n – k)(C/n) • Donde, n es el número de pagos y C es la deuda original.
• Notar que: no intervienen los intereses.
• Ejemplo 9. Saldo insoluto, tasa de interés simple.
• La compañía Empaques del Norte S.A de C.V, adquiere una póliza de seguro contra incendio a un precio de 79.800$, pagaderos en 12 abonos quincenales vencidos de 7.000$ cada uno. ¿Con cuánto la liquidará al realizar el quinto pago?¿y cuál es la tasa de interés simple anual?.
Resolución ejemplo 9 • En el teorema 2.6 se reemplazan: a. n por 12, el número de abonos quincenales; k por 5 y C por 79.800$, el precio de la póliza. El saldo insoluto luego de hacer el quinto pago, es entonces: S= (12 – 5)(79.800/12) = 46.550$ • El quinto pago, incluidos los intereses, es de 7.000$; entonces, para cancelar la deuda al efectuar este abono se pagarán: 46.550 + 7.000 = 53.550 b. La tasa de interés simple anual se obtiene con la fórmula del teorema 2.5; sin embargo, se encuentran antes los intereses y la tasa global. Los intereses son la diferencia entre el total que se pagará y el costo de la póliza: I = 12(7.000) – 79.800 = 4.200$ • La tasa global total es entonces: g = 4.200/79.800 = 0’05263 • Y la de interés simple i por quincena es i de la siguiente ecuación: 0,052631 = (12 + 1)(i/2) de donde, (2/13)i  i = 0’008097 • La anual es: 0’008097(24) = 0’19433 o bien 19’433% • Ejemplo 10. Valor comercial.
• Calcular el valor comercial, el día de su colocación en la Bolsa Mexicana de Valores, de los Certificados de la Tesorería de la Federación que se emiten a un plazo de 28 días, con un valor nominal de $10 y un 5’5% de descuento simple anual.
Resolución ejemplo 10 • Los valores a reemplazar en la Fórmula del descuento simple, teorema 2.3 son: M = $10, el valor nominal d = 0’055, la tasa de descuento simple anual n = 28/360, el plazo en años o 28 días • El valor comercial es, entonces: P = 10[1 – (28/360)(0’055)] P = M(1 – nd) P = 10(09957222) o bien, P = $9’9572.
• Ejemplo 11. Ganancias, tasa de interés y otra alternativa de inversión.
• Una persona que logró un premio de 3.5 millones de dólares en los pronósticos deportivos adquiere valores a un plazo de 182 días y descuento del 6’3% simple anual.
a. ¿A cuánto ascienden sus ganancias? b. ¿Con qué tasa de interés simple anual estará ganando?.
Resolución ejemplo 11 a. El valor comercial de los certificados, cuyo valor nominal es de $10, se obtiene con el teorema 2.3: P = 10[1 – (182/369)(0’063)] P = M/1 – nd) P = 10(0’96815) o bien, P = $9’6815 • El total de certificados que adquiere es: 3.500 / 9’6815 = 361.514’2282 • A los 182 días recibirá, por lo tanto: 3.615’140(10) = $3.615’140 • Sus utilidades en dinero, sin descontar impuestos y otros gastos, son 3.615’140 – 3.500 = $115’140 b. Para determinar la tasa de interés simple que ganaría en su inversión se utiliza la fórmula del interés simple, donde M = 10, C = 9’6815 y n = 182 / 360.
10 = 9’6815[1 + (182/369)i] M = C(1 + ni) • Por lo que la tasa de interés simple anual i será: 10(9’6815 – 1 = (182/360)i 0’03289779(360)/182 = i i = 0’065072 o bien, i = 6’5072% • Ejemplo 12. Adquisición de cartera por cobrar.
• El 10 de abril el administrador de Frigoríficos del Sureste S.A, acude a una empresa de factoraje para negociar 2 documentos. El primero tiene un valor nominal de $90.000 y vence el 11 de junio, y el segundo tiene un valor de $75.000 y vence el 25 de julio. ¿Cuánto recibe por los 2 documentos si le cobran el 0’6% de comisión, le descuentan el 6’084% simple anual y el valor aforado es el 90% del valor nominal?.
Resolución ejemplo 12 • En la figura siguiente se aprecian las fechas, los plazos que se obtienen y las cantidades en miles de dólares.
• El valor aforado del primer documento es el 90% de su valor nominal: 0’90 (90.000) = $81.000 • Y el valor comercial, 62 días antes es: P1 = 81.000[1 – (62/360)(0’06084)] P = M(1 – nd) P1 = 81.000(0’989522) = $80.151’282 • El aforo del segundo es: 0’90(75.000) = $67.500 • Y el valor comercial 106 días antes es: P2 = 67.500 [1 – (106/360)(0’06084)] P2 = 67.500(0’982086) = $66.290’805 • La comisión es del 0’6% del total aforado: 0’006(81.000 + 67.500) = $891 • En consecuencia, la cantidad que el administrador recibe, por parte de la empresa de factoraje, es: 80.151’28 + 66.290’80 = $145.551’09 ...