Exercicis resolts del Tema 2: Sistemes d’equacions lineals (2013)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2013
Páginas 21
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 7
Subido por

Vista previa del texto

Exercicis del Tema 2: Sistemes d’equacions lineals 11. Solucioneu els sistemes d’equacions lineals següents.
a) Solució: b) 133 Llúcia Mauri Masdeu Solució: c) Solució: d) Solució: 134 Matemàtiques I 12. Sigui A · x=b un sistema d’equacions lineals. Justifiqueu que: 1. Si A · x=b té n incògnites i n+1 equacions, i el determinant de la matriu ampliada és diferent de 0, aleshores el sistema és incompatible.
Com que el sistema té n incògnites i n+1 equacions, tindrem que la matriu dels coeficients serà una matriu de n+1 files i n columnes; per tant, una matriu (n+1)xn.
Llavors, com a màxim, el seu rang serà n. A més, la matriu ampliada serà una matriu (n+1)x(n+1) i, com que el seu determinant és diferent de 0, tenim que és de rang n+1. Així, quan el rang de la matriu de coeficients no és igual al rang de la matriu ampliada tenim un sistema incompatible.
2. Si A · x=b té més incògnites que equacions, aleshores no pot ser compatible determinat.
Si té més incògnites que equacions, la matriu de coeficients serà del tipus nxm, en què n<m. I, per tant, la matriu ampliada serà de la forma nx(m+1). En el cas que ambdues tinguessin el mateix rang, com a màxim seria n. Però n≠m, ja que m és més gran; llavors, no pot ser un sistema compatible determinat.
3. Si A · x=b té tantes equacions com incògnites i és compatible determinat, aleshores, canviant-li els termes independents arbitràriament s’obtenen altres sistemes també compatibles determinats.
Si tenim n incògnites i n equacions, la matriu dels coeficients és del tipus nxn i la matriu ampliada de nx(n+1), com que és un sistema compatible determinat, tenim que el rang d’ambdues matrius és el mateix, és a dir, com a màxim n. Si canviem la columna n+1 de la matriu ampliada, no ens afecta el rang i tampoc ens altera el nombre d’incògnites.
13. Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre m∈R.
Busquem el rang de la matriu de coeficients i el de la matriu ampliada: 135 Llúcia Mauri Masdeu Busquem el rg(A): o o o Si m≠0 o m≠1 o m≠2 rg(A)=3 i rg(A,C)=3 i nº incògnites=3 per tant, SCD.
Vegem si m = 0: rg(A)=2 i rg(A,C)=3; per tant, SI.
Vegem si m = 1 : rg(A)=2 i rg(A, C)=2 i nºincògnites=3 per tant, SCI.
Vegem si m = 2 : rg(A)=2 i rg(A, C)=3; per tant, SI.
136 rg(A)=2 rg(A,C)=3; per tant, tant, SI. SI.
rg(A)=2 i rg(A,C)=3; per tant, rg(A)=2 ii rg(A,C)=3; per SI.
Matemàtiques I 14. Considereu el sistema lineal 14. Considereu el sistema lineal 14. Considereu el sistema lineal 14.
Considereu el sistema lineal Estudieu comcom seran les solucions solucions del sistema sistema segons els valors delvalors paràmetre Estudieu lesles solucions del del sistema segons els valors del paràmetre Estudieu comseran seran solucions sistema segons els del paràmetre a.
.. .
Estudieu com seran les del segons els valors del paràmetre Resoleu el sistema quan sigui possible.
Resoleu elelsistema sigui possible.
Resoleu el sistema quanquan sigui possible.
Resoleu sistema quan sigui possible.
així així així Si Si Si oo o oo o rg(A)=3 rg(A,C)=3 nº incògnites=3; per tant, tant, SCD.
rg(A)=3 , rg(A,C)=3 iincògnites=3; nº incògnites=3; per tant, SCD.
rg(A)=3 ,, rg(A,C)=3 ii nº per SCD.
Si a≠0 o a≠–2 rg(A)=3, rg(A, C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem què passa passa per per .. Obtenim: Vegem què Vegem què per . Obtenim: Vegem quèpassa passa per aObtenim: = .0Obtenim: MATEMÀTIQUES I Comprovem que rg(A)=2 i rg(A,C)=3. I, per tant, SI.
Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=3. I, per tant, SI.
Vegem què passa per per a=–2.
. Obtenim: Vegem què passa Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A,C)=3. I, per tant, SI.
Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=3. I, per tant, SI.
Resolem el sistema per Cramer per les aper pelles qual el sistema compatible: Resolem el sistema per Cramer a pel qual el és sistema és compatible: 137 123 123 123 Llúcia Mauri Masdeu 15. Discutiu els sistemes d’equacions següents en funció dels paràmetres que hi apareixen.
a) així o Si a≠1 o a≠2 rg(A)=3, rg(A, C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem què passa per a = 1 . Obtenim: Comprovem que rg(A)=1 i rg(A, C)=1 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
138 Matemàtiques I Vegem què passa per a=–2. Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=3; per tant, SI.
b) així Si a≠2 i b qualsevol rg(A)=2 rg(A, C)=2 i nº incògnites=2; per tant, SCD.
Vegem si a=2: Comprovem que rg(A)=1. I per a la matriu ampliada, tenim que: així Per tant: si a=2 i b=2 rg(A)=1 rg(A,C)=1 i nº incògnites=2 per tant, SCI.
si a=2 i b≠2 rg(A)=1 rg(A,C)=2 per tant, SI.
c) Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=3; per tant, SI.
d) 139 Llúcia Mauri Masdeu així o Si a≠3 o a≠2 rg(A)=3, rg(A,C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem què passa per a=3. Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=3; per tant, SI.
Vegem què passa per a=2. Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
(reordenant el sistema) e) així Si m≠1 rg(A)=3, rg(A, C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem què passa per a m = 1 . Obtenim: 140 Matemàtiques I Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=3; per tant, SI.
f) així Si a≠1 i b qualsevol rg(A)=3, rg(A, C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem què passa per a = 1 . Obtenim: Comprovem que rg(A)=2. I per a la matriu ampliada, tenim que: així Per tant: si a=1 i b=–2 rg(A)=2 rg(A, C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
si a=1 i b≠–2 rg(A)=2 rg(A, C)=3; per tant, SI.
16. Estudieu, segons els valors de a i b, el sistema següent: Comproveu que per a =1 i b = 1 , la solució única és x = 2 , y = 2 , z = 1 .
141 Llúcia Mauri Masdeu així Si a≠0 rg(A)=3 , rg(A,C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem què passa per a = 0 . Obtenim: Comprovem que rg(A)=2. I per a la matriu ampliada tenim que: així Per tant: si a=0 i b=–1 rg(A)=2 rg(A, C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
si a=0 i b≠–1 rg(A)=2 rg(A, C)=3; per tant, SI.
Resolem el sistema per Cramer i comproveu que per és x = 2 , y = 2 , z = 1 .
142 a =1 i b = 1 , la solució única Matemàtiques I 17. Al sistema lineal Determina per quins valors del paràmetre a , el sistema és incompatible, compatible determinat i compatible indeterminat. Resoleu-lo en el cas a = 3 .
així o Si a≠–1 o a≠2 rg(A)=3, rg(A, C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem què passa per a=–1. Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=3 per tant, SI.
Vegem què passa per a=2. Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
Resolem el sistema per Cramer per a=3: 143 Llúcia Mauri Masdeu 18. Classifiqueu el sistema següent segons el valor del paràmetre a .
Resoleu-lo quan es pugui .
així o Si a≠–3 o a≠2 rg(A)=3, rg(A, C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem què passa per a=–3. Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=3; per tant, SI.
Vegem què passa per a = 2 . Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
Resolem-lo pel cas SCD: 144 Matemàtiques I Resolem-lo pel cas SCI quan a=2: 19. Estudieu com seran les solucions del sistema següent segons els valors dels paràmetres a i b .
Resoleu-lo en el cas a = b = 2.
així Si a≠2 i b qualsevol rg(A)=3, rg(A, C)=3 i nº incògnites=3 ; per tant, SCD.
145 Llúcia Mauri Masdeu Vegem què passa per a = 2 . Obtenim: Comprovem que rg(A)=2. I per a la matriu ampliada, tenim que: així Per tant: si a=2 i b=2 rg(A)=2 rg(A, C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
si a=2 i b≠–2 rg(A)=2 rg(A, C)=3; per tant, SI.
Resolem-lo en el cas a = b = 2: 20. Discutiu les solucions del sistema d’equacions, segons els valors de m.
Resoleu, si és possible, per m = 1.
146 MATEMÀTIQUES I MATEMÀTIQUES I Matemàtiques I MATEMÀTIQUES I MATEMÀTIQUES I MATEMÀTIQUES I així així o o així Si o o rg(A)=3 , rg(A,C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
o o Ara: així Si Vegem o que o o per , rg(A,C)=3 i nº SCD.SCD.
o o per tant, Si m≠0 o m≠1 m≠–1 rg(A)=3 rg(A)=3, rg(A, C)=3 i incògnites=3; nº incògnites=3; per tant, així . Obtenim: passa Si Vegem o que passa o , rg(A,C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
= 0 . Obtenim: per mrg(A)=3 . Obtenim: Vegem que passa per o o o o .
Obtenim: Vegem que passa per Si o Si o rg(A)=3 , rg(A,C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.per tant, SCD.
o o rg(A)=3 , rg(A,C)=3 i nº incògnites=3; . Obtenim: Vegem que passa per que passa . Obtenim: Vegem per Comprovem que rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nº incògniques=3; per tant, SCI.
Comprovem quepassa rg(A)=2 i nº incògniques=3; per tant, SCI.
Vegem que per i rg(A,C)=2 . Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nºC)=2 incògniques=3; per tant, SCI.
Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, i nº incògniques=3; per tant, SCI.
Vegem que passa per .
Obtenim: Vegem que passa per m = 1 . Obtenim: Vegem que passa per . Obtenim:i nº incògniques=3; per tant, SCI.
Comprovem que rg(A)=2 i que rg(A,C)=2 Comprovem rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nº incògniques=3; per tant, SCI.
. Obtenim: Vegem que passa per que passa Vegem per . Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
Comprovem quepassa rg(A)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
. Obtenim: Vegem què per i rg(A,C)=2 Comprovem que rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
Vegem què passa per . Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=2 i nº incògniques=3; per tant, SCI.
La part numèrica modificada: Vegem què passa per per . Obtenim: Vegem què passa m=–1.
Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i que rg(A,C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI. per tant, SCI.
Comprovem rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nº incògnites=3; Vegem què passa per què passa . Obtenim: Vegem per . Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nº incògniques=3;, per tant, SCI.
Comprovem . i nº incògniques=3;, per tant, SCI.
Resoleu,que si ésrg(A)=2 possible,i rg(A,C)=2 per Comprovem que rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nº incògniques=3;, per tant, SCI.
Resoleu, si és possible, per .
Resoleu, si és possible, .
Comprovem que rg(A)=2per i que rg(A,C)=2 i nº incògniques=3;, per tant, SCI. per tant, SCI.
Comprovem rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nº incògniques=3;, Comprovem que rg(A)=2 i rg(A, C)=3; per tant, SI.
Resoleu, si és possible, per 1.
Resoleu, si és possible, per. m =per Resoleu, si és possible, .
133 133 133 147 133 133 Llúcia Mauri Masdeu 21. Discutiu segons els valors de λ, el caràcter del sistema següent. Resoleu per λ=2.
així o Si λ≠2 o λ≠4 rg(A)=3, rg(A, C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem què passa per λ=2. Obtenim: Comprovem que rg(A)=2 i rg(A,C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
Vegem què passa per λ=4. Obtenim: Comprovem que rg(A)=1 i rg(A,C)=1 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
Resoleu per λ=2.
148 Matemàtiques I 22. Considereu el sistema lineal.
Determineu per a quins valors dels paràmetres a i b , el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat i incompatible. Resoleu per a: a = 3 , b = 2 .
així o Si a≠1 o a≠–2 i b qualsevol rg(A)=3, rg(A, C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem què passa per a = 1 . Obtenim: Comprovem que rg(A)=1. I per a la matriu ampliada, tenim que: però així Per tant: si a = 1 i b = 1 rg(A)=1 rg(A, C)=1 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
si a = 1 i b≠1 rg(A)=1 rg(A, C)=2 per tant, SI.
Vegem què passa per a=–2. Obtenim: Comprovem que rg(A)=2. I per a la matriu ampliada, tenim que: 149 Llúcia Mauri Masdeu així Per tant: si a=–2 i b=–2 rg(A)=2 rg(A, C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
si a=–2 i b≠–2 rg(A)=2 rg(A, C)=3 per tant, SI.
Resolem-lo per a = 3 , b = 2 .
23. Considereu el sistema següent 1. Discutiu el caràcter del sistema segons els valors de a i b .
així Si a≠2 i b qualsevol rg(A)=3, rg(A, C)=3 i nº incògnites=3; per tant, SCD.
Vegem que passa per a=2. Obtenim: .
150 Matemàtiques I Comprovem que rg(A)=2. I per la matriu ampliada, tenim que: així Per tant: si a=2 i b=4 rg(A)=2 rg(A, C)=2 i nº incògnites=3; per tant, SCI.
si a=2 i b≠4 rg(A)=2 rg(A, C)=3 per tant, SI.
2. Resoleu-lo per al cas que sigui compatible determinat.
Utilitzarem el mètode de Cramer: 3. En el cas que sigui compatible indeterminat, doneu una solució particular de manera que x=y=z.
L’únic cas en què el sistema era compatible indeterminat era per a=2 i b=4.
Busquem la solució particular de manera que x=y=z: 151 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, la solució particular és x =1 y =1 z =1 24. Un botiguer compra deu televisors i sis equips de música. D’acord amb el preu marcat, hauria de pagar 10.480 euros. Com que paga al comptat, li fan un descompte del 5% en cada televisor i del 10% en cada equip de música, i només ha de pagar 9.842 euros.
Plantegeu un sistema d’equacions lineals que permet determinar el preu marcat de cada televisor i de cada equip de música. Comproveu que aquests preus són de 820 i 380 euros, respectivament.
25. Una persona rep una herència dels seus pares de 90.000 euros. Decideix fer-ne dues parts. Amb la primera adquireix un cotxe, i la segona la posa a termini fix del 5% anual.
Al cap d’un any ven el cotxe per un import del 25% menys del que va pagar, recupera els diners disposats al banc, i en cobra els interessos, i en total disposa de 85.500 euros.
1. Fes el plantejament del sistema associat.
2. Tenim prou dades per trobar una solució única? Raona la resposta.
Sí, ja que rg(A)=rg(A, C)=nº incògnites=2 3. Prova que les parts fetes són 30.000 euros i 60.000 euros.
152 Matemàtiques I 26. Una botiga ha venut 225 llapis de memòria de tres models diferents, que anomenarem A,B i C, i ha ingressat un total de 10.500 euros. El llapis A costa 50 euros, i els models B i C són, respectivament, un 10% i un 40% més barats que el model A. La suma total de llapis venuts dels models B i C és la meitat que la de llapis venuts del model A.
Calculeu quants exemplars s’han venut de cada model.
Considerem: x= “núm. de llapis del model A” y= “núm. de llapis del model B” z= “núm. de llapis del model C” • Una botiga ha venut 225 llapis de memòria de tres models diferents → x+y+z=225 • Ha ingressat un total de 10.500 euros. El llapis A costa 50 euros, i els models B i C són. Respectivament, un 10% i un 40% més barats que el model A → 50x+50  0'9y+50  0'6z=10.500 • La suma total de llapis venuts dels models B i C és la meitat que la de llapis venuts del model A → Així ens queda el sistema d’equacions següent: Com que , podrem aplicar el mètode de Cramer: S’han venut 150 exemplars del model A, 50 del model B i 25 del model C.
153 ...

Tags: