Tema 5 Matematicas Ingenieria informatica (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Europea Miguel de Cervantes
Grado Ingeniería Informática - 1º curso
Asignatura Matematicas I
Año del apunte 2014
Páginas 11
Fecha de subida 26/11/2014
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Tema 5 Matematicas Ingenieria informatica

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Tema 5 M´ etodos num´ ericos 5.1.
Resoluci´ on de ecuaciones Nos ocuparemos de encontrar num´ericamente las soluciones (ra´ıces) de ecuaciones f (x) = 0 donde f es una funci´on dada, real de variable real. El caso m´as sencillo es aquel en que f es una funci´on polin´omica. Si el grado es 1, la resoluci´on es inmediata; el caso cuadr´atico es igualmente simple. Existen f´ormulas para resolver las ecuaciones de grados 3 y 4, pero no para grado 5. Las ecuaciones polin´omicas de grado ∏ 5 han de resolverse utilizando t´ecnicas num´ericas, y con mayor raz´on las ecuaciones en las que f no es una funci´on polin´omica.
5.1.1.
M´ etodo de bisecci´ on Supongamos que f : [a, b] °! R es continua en [a, b], y que toma valores de signo contrario en a y b (i.e., que f (a) > 0, f (b) < 0, o bien f (a) < 0, f (b) > 0). En estas condiciones, el teorema de Bolzano garantiza que existe c 2 (a, b) tal que f (c) = 0.
Sea I1 = [a1 , b1 ] donde a1 = a y b1 = b y sea p1 el punto medio p1 = (a1 + b1 )/2. Si tenemos la suerte de que f (p1 ) = 0, hemos hallado una soluci´on y paramos. Si f (p1 ) 6= 0, f (p1 ) tiene o bien el signo de f (b) o bien el signo de f (a), y uno de los dos intervalos [a, p1 ], [p1 , b] tiene la propiedad de que en sus extremos f toma valores de signo contrario. Llamemos I2 = [a2 , b2 ] a ese intervalo en cuyos extremos la funci´on toma valores de signo contrario. Ahora estamos como en la situaci´on de partida pero con I2 reemplazando a I1 ; la ventaja es que la longitud de I2 es la mitad que la de I1 .
Iterando el proceso se llega a un punto pn tal que f (pn ) = 0 o se dispone de un intervalo In = [an , bn ] de longitud bn ° an = (b ° a)/2n°1 que contiene una soluci´on.
Ejemplo La ecuaci´on f (x) = xex ° 2 = 0 tiene una ra´ız c en el intervalo [0, 1], porque f es continua en este intervalo y f (0) = °2 < 0 y f (1) = e ° 2 > 0. Construimos la tabla siguiente en donde el signo de f (pn ) determina el intervalo en el siguiente paso. La columna situada m´as a la derecha proporciona una cota superior del error cuando pn se utiliza para aproximar la ra´ız c, puesto que |pn ° c| ∑ bn+1 ° an+1 = bn ° an b°a 1 = n = n.
2 2 2 Encontraremos una aproximaci´on pn con error menor que 10°2 .
1 5.1. Resoluci´on de ecuaciones 2 n an bn pn 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 0.875 0.875 0.875 0.859375 0.5 °1.176 0.75 °0.412 0.875 +0.099 0.8125 °0.169 0.84375 °0.038 0.859375 +0.029 0.8515625 0 0.5 0.75 0.75 0.8125 0.84375 0.84375 f (pn ) (bn ° an )/2 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 Paramos en n = 7, obteniendo c º p7 = 0.8515625, siendo una cota superior del error 0.0078125.
Este es el primer paso para el cual el error es menor que 10°2 . Los valores de la parte decimal de p7 a partir del segundo no deben tomarse en serio, pero podemos concluir que 0.843 < c < 0.860.
5.1.2.
M´ etodo de Newton El m´etodo de bisecci´on tiene la desventaja de converger a una soluci´on con bastante lentitud.
Un m´etodo para el que con frecuencia la convergencia resulta mucho m´as r´apida est´a basado en la idea geom´etrica de aproximar sucesivamente una curva por rectas tangentes. El m´etodo se debe a Isaac Newton (1642-1727).
Sea f una funci´on derivable que tiene un cero en r (es decir, f (r) = 0) y sea x1 una estimaci´on inicial de r. La recta tangente a la gr´afica en (x1 , f (x1 )) tiene por ecuaci´on y = f (x1 ) + f 0 (x1 )(x ° x1 ) y corta al eje de abscisas en el punto (cf. Figura 5.1) x2 = x1 ° f (x1 ) f 0 (x1 ) (se supone f 0 (x1 ) 6= 0). Si reemplazamos x1 por la segunda estimaci´on x2 obtenemos un punto x3 , etc. En la n-´esima iteraci´on obtenemos el punto xn+1 a partir del punto xn mediante la f´ormula xn+1 = xn ° f (xn ) .
f 0 (xn ) Bajo hip´otesis adecuadas, la sucesi´on (xn ) converge r´apidamente a una ra´ız de la ecuaci´on f (x) = 0.1 1 El m´ etodo fue descrito por Newton en una monograf´ıa que hizo circular entre sus amigos en 1669 titulada De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, que fue publicada en 1711, y tambi´ en en el libro Methodus fluxionum et serierum infinitarum, escrito en 1671 pero no publicado hasta 1736 (en una traducci´ on al ingl´ es realizada por el cl´ erigo y matem´ atico John Colson (1680-1760), con el t´ıtulo Method of fluxions). Sin embargo, la descripci´ on de Newton difiere sustancialmente de la moderna: Newton aplica el m´ etodo s´ olo a funciones polin´ omicas, no calcula las aproximaciones sucesivas xn sino que halla una sucesi´ on de polinomios y solamente al final llega a una aproximaci´ on para la ra´ız r. Newton tiene una visi´ on puramente algebraica del m´ etodo, sin conexi´ on con el c´ alculo. El m´ etodo de Newton fue publicado por primera vez en 1685, en la obra A treatise of Algebra, both historical and practical, del matem´ atico ingl´ es John Wallis (1616-1703). En 1690, Joseph Raphson (1648-1715) en su obra Analysis aequationum universalis, publica una descripci´ on m´ as simple del m´ etodo. Raphson tambi´ en consider´ o el m´ etodo como puramente algebraico y restringi´ o su uso a funciones polin´ omicas, pero lo describi´ o en t´ erminos de aproximaciones sucesivas xn en lugar de la sucesi´ on de polinomios usada por Newton, lo cual resultaba m´ as sencillo. Finalmente, Thomas Simpson (1710-1761), en sus Essays on several curious and useful subjects, in speculative and mixed Mathematics (1740), describi´ o el m´ etodo de Newton como un m´ etodo iterativo para resolver ecuaciones no lineales generales usando c´ alculo de fluxiones, proporcionando esencialmente la visi´ on moderna. El m´ etodo de Newton se conoce tambi´ en con el nombre de m´ etodo de Newton-Raphson.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 5.1. Resoluci´on de ecuaciones 3 Y f r O x3 x2 x1 X Figura 5.1: El m´etodo de Newton.
Teorema 5.1.1 (M´ etodo de Newton) Sea I = [a, b] y sea f : I °! R derivable dos veces en I. Supongamos que f (a)f (b) < 0 y que existen constantes m, M tales que |f 0 (x)| ∏ m > 0 y |f 00 (x)| ∑ M para todo x 2 I. Sea K = M/2m. Entonces existe un subintervalo I § que contiene un cero r de f tal que para cualquier x1 2 I § la sucesi´ on (xn ) definida por xn+1 = xn ° f (xn ) , n2N f 0 (xn ) pertenece a I § y converge hacia r. Adem´as |xn+1 ° r| ∑ K|xn ° r|2 , n 2 N.
Ejemplo p Utilizaremos el m´etodo de Newton para aproximar 2. Si escribimos f (x) = x2 ° 2, x 2 R, entonces buscamos la ra´ız positiva de la ecuaci´on f (x) = 0. Como f 0 (x) = 2x, la f´ormula de iteraci´on es µ ∂ f (xn ) x2n ° 2 1 2 xn+1 = xn ° 0 = xn ° = xn + .
f (xn ) 2xn 2 xn Si tomamos como estimaci´on inicial x1 = 1 obtenemos los valores sucesivos 3 17 577 x2 = = 1.5, x3 = = 1.416666 . . . , x4 = = 1.414215 . . .
2 12 408 665857 y x5 = = 1.414213562374 . . .
470832 que es correcto hasta la und´ecima cifra decimal.
Notas (a) Si ponemos en = xn ° r entonces la desigualdad del teorema anterior puede escribirse as´ı |Ken+1 | ∑ |Ken |2 .
En consecuencia, si |Ken | < 10°m , entonces |Ken+1 | < 10°2m de modo que el n´ umero de d´ıgitos significativos de Ken ha sido doblado. Por eso, la sucesi´on generada por el m´etodo de Newton se dice que converge cuadr´aticamente.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 5.2. Integraci´on aproximada 4 (b) En la pr´actica, cuando el m´etodo de Newton se programa en un ordenador se suele hacer una estimaci´on inicial x1 , y se le deja trabajar al ordenador. Si x1 se escoge mal o si la ra´ız est´a demasiado pr´oxima a un extremo de I, el procedimiento puede no converger a un cero de f . Una estrategia usual es utilizar el m´etodo de bisecci´on para llegar a una estimaci´on bastante pr´oxima a la ra´ız y luego poner en marcha el m´etodo de Newton.
5.2.
Integraci´ on aproximada El teorema fundamental del C´alculo (primera forma) proporciona un m´etodo eficaz para calcular Rb la integral a f siempre que podamos encontrar una funci´on F tal que F 0 (x) = f (x) para todo x 2 [a, b] \ E (E Ω [a, b] finito). Si no puede encontrarse una tal F , no puede usarse el teorema fundamental.
R b Sin embargo, cuando f es continua hay varias t´ecnicas para aproximar la integral de Riemann a f utilizando sumas que se parecen a las sumas de Riemann.
Rb Un procedimiento muy elemental para obtener estimaciones r´apidas de a f es observar que si g(x) ∑ f (x) ∑ h(x) para todo x 2 [a, b], entonces Z b Z b Z b g∑ f∑ h.
a a a Si podemos calcular las integrales de g y h, entonces tenemos cotas para cotas son suficientemente precisas para nuestras necesidades.
Ejemplo Deseamos estimar el valor de de modo que Z R1 0 En consecuencia, se tiene 0 1 Rb a 2 f . Con frecuencia estas 2 e°x dx. Es f´acil demostrar que e°x ∑ e°x ∑ 1 para x 2 [0, 1], °x e dx ∑ Z 1 e °x2 0 dx ∑ Z 1 1 dx.
0 Z 1 1 2 1° ∑ e°x dx ∑ 1.
e 0 1 Si consideramos la media aritm´etica de los valores extremos, obtenemos la estimaci´on 1 ° 2e º 1 0.816 para la integral con una cota superior del error 2e < 0.184. Esta estimaci´on es tosca, pero se obtiene r´apidamente y puede ser satisfactoria para nuestras necesidades. Si se desea una mejor aproximaci´on, se pueden intentar encontrar funciones aproximantes g y h m´as cercanas.
5.2.1.
Particiones con subintervalos de igual longitud Si f : [a, b] °! R es continua, sabemos que su integral de Riemann existe. Para encontrar un valor aproximado de esta integral con m´ınima cantidad de c´alculos, es conveniente considerar particiones Pn de [a, b] en n subintervalos iguales de longitud hn = (b ° a)/n : a < a + hn < a + 2hn < · · · < a + nhn = b.
Si tomamos como etiquetas los extremos de la izquierda y los extremos de la derecha de los subintervalos, obtenemos la n-´ esima aproximaci´ on por la izquierda dada por Ln (f ) = hn n°1 X f (a + khn ) k=0 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 5.2. Integraci´on aproximada 5 y la n-´ esima aproximaci´ on por la derecha dada por Rn (f ) = hn n X f (a + khn ).
k=1 Observamos que es casi tan f´acil calcular ambas aproximaciones como solamente una de ellas, ya que difieren solamente en los t´erminos f (a) y f (b).
Salvo que tengamos alguna raz´on para creer que una de las aproximaciones anteriores est´a m´as pr´oxima al valor de la integral que la otra, generalmente se toma su media aritm´etica 1 2 (Ln (f ) + Rn (f )), que vemos f´acilmente que es igual a Tn (f ) = hn √ 1 f (a) 2 + n°1 X f (a + khn ) + 12 f (b) k=1 ! Rb como una aproximaci´on razonable a a f.
Observa que si f es creciente en [a, b], entonces Z b Ln (f ) ∑ f ∑ Rn (f ).
(1) (2) a En este caso vemos f´acilmente que ØZ b Ø Ø Ø 1 Ø Ø ∑ (Rn (f ) ° Ln (f )) = 1 hn (f (b) ° f (a)) = (f (b) ° f (a)) · b ° a .
f ° T (f ) n 2 Ø Ø 2 2n a Una estimaci´on del error como ´esta es u ´til ya que proporciona una cota superior para el error de la aproximaci´on en t´erminos de cantidades que son conocidas al principio. En particular puede usarse para determinar c´omo debe elegirse n para tener una aproximaci´on que ser´a correcta con un margen de error determinado " > 0.
Si f es decreciente, las desigualdades (2) deben invertirse. Resumimos ambos casos en el siguiente teorema.
Teorema 5.2.1 Si la funci´on continua f : [a, b] °! R es mon´ otona y si Tn (f ) est´ a dada por (1), entonces ØZ b Ø Ø Ø b°a Ø f ° Tn (f ) ØØ ∑ |f (b) ° f (a)| · .
(3) Ø 2n a Ejemplo 2 Sea f : [0, 1] °! R, f (x) = e°x ; la funci´on f es decreciente. Se sigue de (3) que si n = 8, entonces ØZ 1 Ø Ø Ø 1 ° e°1 °x2 Ø Ø∑ e dx ° T (f ) < 0.04, 8 Ø Ø 16 0 y si n = 16, entonces ØZ Ø Ø Ø 0 1 e °x2 Ø Ø 1 ° e°1 dx ° T16 (f ) ØØ ∑ < 0.02.
32 De hecho la aproximaci´on es considerablemente mejor, como veremos despu´es.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 5.2. Integraci´on aproximada 5.2.2.
6 La regla del trapecio El m´etodo de integraci´on num´erica llamado regla del trapecio se basa en aproximar la funci´on continua f : [a, b] °! R por una funci´on continua lineal a trozos. Sea n 2 N y, como antes, hn = (b ° a)/n y consideremos la partici´on Pn . Aproximamos f por la funci´on lineal a trozos gn Rb que pasa por los puntos (a + khn , f (a + khn )), k = 0, 1, . . . , n. Parece razonable que la integral a f Rb ser´a “aproximadamente igual” a la integral a gn para n suficientemente grande (siempre que f sea razonablemente suave).
Como el ´area de un trapecio con base horizontal h y lados verticales l1 y l2 es 12 h(l1 + l2 ), se tiene Z a+(k+1)hn a+khn gn = 12 hn (f (a + khn ) + f (a + (k + 1)hn )) para k = 0, 1, . . . , n ° 1. Sumando estos t´erminos y observando que cada punto de la partici´on Pn , excepto a y b, pertenece a dos subintervalos adyacentes, se obtiene Z b ° ¢ gn = hn 12 f (a) + f (a + hn ) + · · · + f (a + (n ° 1)hn ) + 12 f (b) .
a El t´ermino de la derecha es precisamente Tn (f ), que encontramos en (1) como la media aritm´etica de Ln (f ) y Rn (f ). Tn (f ) recibe el nombre de n-´ esima aproximaci´ on trapezoidal de f . La Figura 5.2 ilustra la regla del trapecio en el caso n = 5.
Y g5 f O a a h5 a 2 h5 a 3 h5 a 4 h5 b X Figura 5.2: La regla del trapecio.
Antes obtuvimos una estimaci´on del error en el caso en que f sea mon´otona. El siguiente teorema proporciona una estimaci´on sin esta restricci´on sobre f , pero en t´erminos de la segunda derivada f 00 de f .
Teorema 5.2.2 Sean f, f 0 y f 00 continuas en [a, b] y sea Tn (f ) la n-´esima aproximaci´ on trapezoidal (1). Entonces existe c 2 [a, b] tal que Z b (b ° a)h2n 00 Tn (f ) ° f= · f (c).
(4) 12 a La igualdad (4) es interesante por cuanto puede proporcionar tanto una cota superior como una Rb cota inferior para la diferencia Tn (f ) ° a f . Por ejemplo, si f 00 (x) ∏ A > 0 para todo x 2 [a, b], 1 entonces (4) implica que esta diferencia es mayor o igual que 12 A(b ° a)h2n . Si solamente se tiene Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 5.2. Integraci´on aproximada 7 f 00 (x) ∏ 0 para x 2 [a, b] (lo que ocurre cuando f es convexa) entonces la aproximaci´on trapezoidal es siempre “por exceso”.
Sin embargo, usualmente es de mayor inter´es la cota superior.
Corolario 5.2.1 Sean f, f 0 y f 00 continuas en [a, b] y sea |f 00 (x)| ∑ B2 para todo x 2 [a, b]. Entonces Ø Z b Ø Ø Ø (b ° a)h2n (b ° a)3 Ø Tn (f ) ° Ø∑ f · B = · B2 .
(5) 2 Ø Ø 12 12n2 a Cuando puede encontrarse una cota superior B2 , (5) puede usarse para determinar c´omo debe elegirse n para asegurar una precisi´on deseada.
Ejemplo 2 2 Sea f : [0, 1] °! R, f (x) = e°x . Entonces f 00 (x) = 2e°x (2x2 ° 1) y podemos tomar B2 = 2.
As´ı pues, si n = 8, se tiene Ø Z 1 Ø Ø Ø 2 1 Ø T8 (f ) ° f ØØ ∑ = < 0.003, Ø 12 · 64 384 0 y si n = 16, se tiene Ø Z Ø Ø T16 (f ) ° Ø 0 5.2.3.
1 Ø Ø 2 1 f ØØ ∑ = < 0.00066.
12 · 256 1536 La regla del punto medio Un m´etodo obvio para aproximar la integral de f es tomar las sumas de Riemann evaluando f en los puntos medios de los subintervalos. As´ı, si Pn es la partici´on dada antes, la n-´ esima aproximaci´ on mediante el punto medio de f viene dada por ° 1 2 3 2 Mn (f ) = hn f (a + hn ) + f (a + hn ) + · · · + f (a + (n ° ¢ 1 ) hn ) 2 = hn n X k=1 f (a + (k ° 12 )hn ). (6) Otro m´etodo podr´ıa ser utilizar funciones lineales a trozos que sean tangentes a la gr´afica de f en los puntos cuyas abscisas son los puntos medios de los subintervalos. A primera vista, parece que necesitar´ıamos conocer la pendiente de la tangente a la gr´afica de f en cada uno de los puntos de abscisa a + (k ° 12 )hn , k = 1, 2, . . . , n. Sin embargo es un ejercicio f´acil de geometr´ıa demostrar que el ´area del trapecio cuya parte superior es esta recta tangente en el punto de abscisa a + (k ° 12 )hn es igual al ´area del rect´angulo cuya altura es f (a + (k ° 12 )hn ). As´ı pues, esta ´area est´a dada por (6), y la “regla del trapecio tangente” resulta ser la misma que la “regla del punto medio”.
Establecemos ahora un teorema que nos muestra que la regla del punto medio es m´as precisa que la regla del trapecio en un factor 2.
Teorema 5.2.3 Sean f, f 0 y f 00 continuas en [a, b] y sea Mn (f ) la n-´esima aproximaci´ on mediante el punto medio (6). Entonces existe ∞ 2 [a, b] tal que Z a b f ° Mn (f ) = (b ° a)h2n 00 · f (∞).
24 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara (7) 5.2. Integraci´on aproximada 8 Como antes, la f´ormula (7) puede utilizarse para proporcionar tanto una cota superior como Rb una cota inferior para la diferencia a f ° Mn (f ), si bien es una cota superior la que usualmente tiene mayor inter´es. En contraste con la regla del trapecio, si la funci´on es convexa (f 00 (x) ∏ 0 para todo x 2 [a, b]), entonces la aproximaci´on mediante el punto medio es siempre “por defecto”.
Corolario 5.2.2 Sean f, f 0 y f 00 continuas en [a, b], y sea |f 00 (x)| ∑ B2 para todo x 2 [a, b].
Entonces Ø Z b Ø Ø Ø (b ° a)h2n (b ° a)3 Ø Mn (f ) ° Ø∑ f · B = · B2 .
(8) 2 Ø Ø 24 24n2 a 5.2.4.
La regla de Simpson El u ´ltimo procedimiento que consideraremos proporciona con frecuencia una aproximaci´on mejor que las reglas del trapecio y del punto medio y no requiere esencialmente c´alculos adicionales.
Sin embargo, para este m´etodo, la convexidad (o la concavidad) de f no proporciona ninguna informaci´on sobre el error.
Mientras que las reglas del trapecio y del punto medio estaban basadas en la aproximaci´on de f mediante funciones lineales a trozos, la regla de Simpson est´a basada en la aproximaci´on de la gr´afica de f mediante arcos de par´abola.
Es f´acil ver que dados tres puntos (°h, y0 ), (0, y1 ), (h, y2 ), la funci´on cuadr´atica q(x) = Ax2 + Bx + C cuya gr´afica pasa por estos puntos verifica Z h q = 13 h(y0 + 4y1 + y2 ).
°h En efecto: y0 = A(°h)2 + B(°h) + C, y1 = C, y2 = Ah2 + Bh + C, luego y0 + 4y1 + y2 = 2Ah2 + 6C.
Por otra parte, Z h °h Øh Ø (Ax2 + Bx + C) dx = ( 13 Ax3 + 12 Bx2 + Cx)Ø = 13 h(2Ah2 + 6C).
°h Sea f una funci´on continua en [a, b] y sea n 2 N par, y hn = (b ° a)/n. En cada “subintervalo doble” [a, a + 2hn ], [a + 2hn , a + 4hn ], . . . , [b ° 2hn , b] aproximamos f por una funci´on cuadr´atica, por los puntos n 2 funciones cuadr´aticas en total cuyas gr´aficas pasan (a, y0 = f (a)), (a + hn , y1 = f (a + hn )), (a + 2hn , y2 = f (a + 2hn )), . . . , (b, yn = f (b)).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 5.2. Integraci´on aproximada 9 Sea gn/2 la funci´on resultante. Estas consideraciones conducen a la n-´ esima aproximaci´ on de 2 Simpson, definida por Sn (f ) = 13 hn (f (a) + 4f (a + hn ) + 2f (a + 2hn ) + 4f (a + 3hn ) + 2f (a + 4hn ) + · · · + + 2f (b ° 2hn ) + 4f (b ° hn ) + f (b)).
(9) Observa que los coeficientes de los valores de f en los n + 1 puntos de la partici´on siguen la pauta 1, 4, 2, 4, 2, . . . , 4, 2, 4, 1.
Y g3 f O a a h6 a 2 h6 a 3 h6 a 4 h6 a 5 h6 b X Figura 5.3: La regla de Simpson.
En la Figura 5.3 se ilustra la regla de Simpson en el caso n = 6. Los puntos medios de los subintervalos dobles aparecen marcados en verde.
Establecemos ahora un teorema que proporciona una estimaci´on de la precisi´on de la aproximaci´on de Simpson; involucra la cuarta derivada de f .
Teorema 5.2.4 Sean f, f 0 , f 00 , f (3) y f (4) continuas en [a, b] y sea n 2 N par. Si Sn (f ) es la n-´esima aproximaci´ on de Simpson (9), entonces existe c 2 [a, b] tal que Z b (b ° a)h4n (4) Sn (f ) ° f= · f (c).
(10) 180 a Corolario 5.2.3 Sean f, f 0 , f 00 , f (3) y f (4) continuas en [a, b] y sea |f (4) (x)| ∑ B4 para todo x 2 [a, b]. Entonces Ø Z b Ø Ø Ø (b ° a)h4n (b ° a)5 Ø Sn (f ) ° Ø∑ f · B = · B4 .
(11) 4 Ø Ø 180 180n4 a 2 La estimaci´ on Z b a f (x) dx º ∑ µ ∂ ∏ 1 b°a a+b · f (a) + 4f + f (b) 3 2 2 es conocida con el nombre de regla de Simpson, en honor del matem´ atico ingl´ es Thomas Simpson, que la menciona en su obra Mathematical dissertations on a variety of physical and analytical subjects, publicada en 1743. Pero el propio Simpson reconoci´ o que la hab´ıa aprendido de Newton. De hecho, la regla fue desarrollada por el astr´ onomo y matem´ atico alem´ an Johannes Kepler (1571-1630). A finales de 1613, con motivo de su reciente matrimonio, Kepler hab´ıa comprado algunos barriles de vino a un vinatero austriaco. A los pocos d´ıas de ser colocados en las bodegas de su casa en Linz, vino el vendedor y comenz´ o a calcular de manera r´ apida y misteriosa con una varilla la capacidad de los diferentes barriles. Kepler decidi´ o investigar las leyes geom´ etricas de tal procedimiento de medici´ on. De esta manera, el Visierkunst, es decir, el arte de la medici´ on con mira de la capacidad de los barriles, fue objeto de un estudio sistem´ atico por parte de Kepler. El resultado de su trabajo fue el libro Nova Stereometria doliorum vinariorum, publicado en Linz en 1615. En esta obra figura la estimaci´ on que lleva el nombre de regla de Simpson, raz´ on por la que se conoce tambi´ en con el nombre de “regla del barril” de Kepler.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 5.3. Ejercicios 10 El ´exito de la estimaci´on (11) depende de si somos capaces de encontrar una cota superior para la cuarta derivada.
Ejemplo 2 Sea f : [0, 1] °! R, f (x) = e°x . Entonces 2 f (4) (x) = 4e°x (4x4 ° 12x2 + 3).
2 2 Para x 2 [0, 1] es |e°x | = e°x ∑ e0 = 1. Pongamos g(x) = 4x4 ° 12x2 + 3. Se tiene g 0 (x) = 8x(2x2 ° 3), 0 g (x) = 0 , x = 0 o x = ± q 3 2 .
Estudiando el signo de g 0 concluimos que la funci´on g es decreciente en [0, 1], g(0) = 3, g(1) = °5.
As´ı pues |g(x)| ∑ 5 para x 2 [0, 1]. Por tanto |f (4) (x)| ∑ 20 para x 2 [0, 1], luego podemos tomar B4 = 20.
Se sigue de (11) que si n = 8, entonces Ø Z 1 Ø Ø Ø 1 1 Ø S8 (f ) ° Ø∑ f Ø Ø 180 · 84 · 20 = 36864 < 0.00003, 0 y si n = 16, entonces Ø Z Ø Ø S16 (f ) ° Ø 0 5.3.
Ejercicios 1 Ø Ø 1 1 f ØØ ∑ · 20 = < 0.0000017.
4 180 · 16 589824 1. Demuestra que la ecuaci´on x = cos x tiene una soluci´on en el intervalo [0, º2 ]. Utiliza el m´etodo de bisecci´on para encontrar una soluci´on aproximada de esta ecuaci´on, con error menor que 10°3 .
p 2. Demuestra que la ecuaci´on 2 ln x + x = 2 tiene una soluci´on en el intervalo [1, 2]. Utiliza el m´etodo de bisecci´on para encontrar la soluci´on con error menor que 10°2 .
3. Si utilizas el m´etodo de bisecci´on en un intervalo de longitud 1 para encontrar pn con error |pn ° c| < 10°5 , determina el menor valor de n que te asegurar´a esta precisi´on.
4. La ecuaci´on ln x = x ° 2 tiene dos soluciones. Aprox´ımalas utilizando el m´etodo de Newton.
¿Qu´e ocurre si x1 = 12 es el punto inicial? 5. La funci´on f : R °! R definida por f (x) = 8x3 ° 8x2 + 1 tiene dos ceros en [0, 1]. Aprox´ımalos, utilizando el m´etodo de Newton, con puntos iniciales (a) x1 = 18 , (b) x1 = 14 . Explica lo que ocurre.
6. Aproxima la soluci´on de la ecuaci´on x = cos x hasta conseguir seis cifras decimales exactas.
7. Sea f : R °! R una funci´on positiva, con derivada continua negativa. Para cualquier n´ umero 0 real x1 , ¿la sucesi´on (xn ) obtenida por el m´etodo de Newton (xn+1 = xn ° f (xn )/f (xn ), n 2 N) tiene l´ımite +1? Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 5.3. Ejercicios 11 1 8. Sea f : [0, 1] °! R definida por f (x) = 1+x 2 . Utiliza las aproximaciones trapezoidal y de R 1 º Simpson con n = 4 para calcular 4 = 0 f (x) dx. ¿C´omo debe elegirse n en cada caso para asegurar que el error sea menor que 10°6 ? 9. Aproxima las integrales siguientes, proporcionando estimaciones del error: Z 2p Z º Z 1 sen x (a) 1 + x4 dx , (b) dx , (c) cos(x2 ) dx .
x 0 0 0 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara ...