Ecuacions i inecuacions (2009)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Mates
Año del apunte 2009
Páginas 5
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Matem` atiques 23816 Ci` encies Ambientals Problemes Curs 2008-2009 ` ` ` ARITMETICA BASICA, EQUACIONS, INEQUACIONS, RECTES I PARABOLES ` RESUM TEORIC Equacions i inequacions En matem`atiques, sovint distingim entre una igualtat i una equaci´o. Una igualtat ´es una equival`encia entre dues expressions algebraiques, la qual ´es certa independentment dels valors de les variables. Una equaci´ o ´es una igualtat entre dues expressions algebraiques que nom´es ´es certa per a certs valors de les variables; aquests valors s’anomenen solucions. Per exemple, (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ´es una igualtat i, en canvi, x2 − 5x + 6 = 0 ´es una equaci´o, les solucions de la qual s´on x = 2 i x = 3.
D’equacions n’hi ha de diversos tipus, entre elles les equacions algebraiques que ja coneixeu. En el darrer apartat del cap´ıtol 1 introduirem les anomenades equacions param`etriques i en el cap´ıtol 3 definirem les equacions diferencials, les quals s´on una de les eines b`asiques usades a l’hora de modelar matem`aticament fen`omens reals.
Una desigualtat ´es una expressi´o que compara la mida o la posici´o de dos objectes. Recordeu que escrivim a < b per a dir que a ´es m´es petit que b i si escrivim a > b estem dient que a ´es m´es gran que b. Escrivim a ≤ b per a dir que a ´es m´es petit o igual que b i a ≥ b significa que a ´es m´es gran o igual que b.
Una inequaci´ o ´es una expressi´o que afirma que dos objectes o expressions no s´on iguals o no representen el mateix valor. Per exemple, 3x − 6 ≤ 0 o b´e x2 − 5x + 6 ≥ 0.
Com en el cas de les equacions, els valors de les variables pels quals ´es certa la inequaci´o s’anomenen solucions. Com podem determinar les solucions d’una inequaci´o? Abans de resoldre aquesta q¨ uesti´o recordem la noci´o seg¨ uent: un interval ´es un conjunt de nombres reals entre dos nombres donats. Un interval ´es obert si no cont´e els extrems i escrivim (a, b). Per contra, un interval ´es tancat si cont´e els extrems i s’escriu [a, b]. Si no ´es ni obert ni tancat, sovint es parla de semi-obert o semi-tancat. Recordeu que si un dels extrems ´es ∞, escrivim un par`entesi.
Noteu tamb´e que (a, +∞), (−∞, b) i (−∞, +∞) s´on intervals oberts, mentre que [a, +∞) i (−∞, b] es consideren intervals tancats.
Anem ara a resoldre inequacions...
1. Inequacions lineals. Es resolen d’una manera semblant a les equacions lineals, per`o cal tenir en compte el seg¨ uent: el signe de la inequaci´o canvia sempre que multipliquem o dividim la inequaci´o per un n´ umero negatiu. Per exemple, 3x + 6 ≤ 4x − 5 ⇔ 3x − 4x ≤ −5 − 6 ⇔ −x ≤ −11 ⇔ x ≥ 11.
1 2. Inequacions quadr` atiques. Les resolem seguint els passos seg¨ uents: • calculem els valors de la variable que fan que l’expressi´o sigui zero; • determinem els intervals en qu`e la inequaci´o es compleix.
Per exemple, volem resoldre x2 − 3x + 2 > 0: • x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 i x = 2; • determinem els intervals: – (−∞, 1): si x = 0, aleshores 02 − 3 · 0 + 2 = 2 > 0; ´es a dir, la inequaci´o es compleix; – (1, 2): si x = 1.5, aleshores 1.52 − 3 · 1.5 + 2 = −0.25 < 0; ´es a dir, la inequaci´o no es compleix; – (2, +∞): si x = 3, aleshores 32 − 3 · 3 + 2 = 2 > 0; ´es a dir, la inequaci´o es compleix.
Per tant, les solucions de la inequaci´o s´on x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, +∞).
3. Inequacions polinomials. Es resolen com les inequacions quadr`atiques; ´es a dir, primer determinem els valors de la variable que anul·len l’expressi´o i despr´es determinem els intervals en els quals la inequaci´o es compleix. Per exemple, resolem x5 +3x4 −23x3 −51x2 +94x+120 ≥ 0: • les solucions de x5 + 3x4 − 23x3 − 51x2 + 94x + 120 = 0 s´on x = −5, x = −3, x = −1, x = 2 i x = 4; • determinem els intervals. Primer escrivim f (x) = x5 + 3x4 − 23x3 − 51x2 + 94x + 120 = (x + 5) · (x + 3) · (x + 1) · (x − 2) · (x − 1) i aleshores: – – – – – – (−∞, −5): si x = −6, aleshores f (−6) < 0 i per tant la inequaci´o no es compleix; (−5, −3): si x = −4, aleshores f (−4) > 0 i per tant la inequaci´o es compleix; (−3, −1): si x = −2, aleshores f (−2) < 0 i per tant la inequaci´o no es compleix; (−1, 2): si x = 0, aleshores f (0) > 0 i per tant la inequaci´o es compleix; (2, 4): si x = 3, aleshores f (3) < 0 i per tant la inequaci´o no es compleix; (4, +∞): si x = 5, aleshores f (5) > 0 i per tant la inequaci´o es compleix.
Per tant, les solucions de la inequaci´o s´on x ∈ [−5, −3] ∪ [−1, 2] ∪ [4, +∞).
Observeu que ara hem considerat intervals tancats perqu`e busc`avem els valors de x tals que l’expressi´o era m´es gran o igual que zero.
4. Inequacions racionals. Per tal de resoldre aquest tipus d’equacions, cal recordar que − + − + = −, + = + i − = +. Per exemple, resolem + − x ≤ 2.
x−3 • Primer de tot ho passem tot al mateix cant´ o de la igualtat i fem denominador com´ u: x − 2(x − 3) −x + 6 x −2≤0⇔ ≤0⇔ ≤ 0.
x−3 x−3 x−3 • La inequaci´o es compleix en els casos seg¨ uents: – si −x + 6 = 0; ´es a dir, si x = 6; 2 = −, – si −x + 6 > 0 i x − 3 < 0 ⇒ 6 > x i x < 3. Com que volem que passin les dues coses alhora, cal que x < 3; – si −x + 6 < 0 i x − 3 > 0 ⇒ x > 6 i x > 3. Com que volem que passin les dues coses alhora, cal que x > 6.
Per tant, les solucions de la inequaci´o s´on x ∈ (−∞, 3) ∪ [6, +∞).
Rectes i par` aboles −−→ Donats dos punts P i Q del pla cartesi`a, definim el vector P Q com Q − P . Per exemple, si P = (1, −2) i Q = (0, 4), aleshores −−→ P Q = Q − P = (−1, 6).
−−→ Definim la dist` ancia entre P i Q com el m`odul o norma del vector P Q, −−→ ||P Q||.
d(P, Q) = En l’exemple anterior, (−1)2 + 62 = d(P, Q) = √ 37.
Una recta ´es la l´ınia que uneix dos punts i el lloc geom`etric de tots els punts que es troben en la mateixa direcci´o. L’equaci´ o general d’una recta ´es y = mx + n, on m s’anomena pendent de la recta i n ´es la intersecci´ o de la recta amb l’eix d’ordenades Oy. M´es concretament, el pendent ´es la tangent de l’angle que forma la recta amb l’eix d’abscisses Ox (la inclinaci´o de la recta). Per exemple, y = 3x − 2 i y = −x + 5 s´on rectes amb pendent 3 i −1, respectivament. Dues rectes s´on paral·leles si no es tallen o b´e s´on coincidents. Equivalentment, dues rectes s´on paral·leles si tenen el mateix pendent. Per exemple, y = 4x − 1 i y = 4x + 4.
Dues rectes s´on perpendiculars si es tallen formant un angle de 90◦ . De forma equivalent, dues rectes s´on perpendiculars si el producte dels seus pendents ´es −1. Per exemple, y = 5x + 7 1 y = − x + 2.
5 i Un vector director ´es un vector que d´ona la direcci´o i el sentit a una recta.
A part de l’equaci´o general, existeixen altres tipus d’equacions per tal d’expressar una recta: 1. Equaci´ o impl´ıcita: ax + by = c. Observeu que a partir d’ella podem obtenir l’equaci´o general: y= ´es a dir, el pendent de la recta ´es c −a x+ , b b −a b .
2. Equaci´ o cont´ınua: x − p1 x − p2 = , v1 v2 on (p1 , p2 ) ´es un punt pel qual passa la recta i (v1 , v2 ) ´es un vector director de la recta.
3 3. Equaci´ o vectorial: (x, y) = (p1 , p2 ) + λ (v1 , v2 ), on (p1 , p2 ) ´es un punt pel qual passa la recta i (v1 , v2 ) ´es un vector director de la recta.
4. Equacions param` etriques: Les equacions param`etriques s’obtenen a partir de l’equaci´o vectorial i s´on les seg¨ uents: x = p1 + λ v1 y = p2 + λ v2 .
Una par` abola ´es el conjunt de tots els punts del pla cartesi`a que equidisten (es troben a la mateixa dist`ancia) d’una l´ınia donada, anomenada directriu, i d’un punt donat, anomenat focus. L’equaci´o general d’una par`abola ´es y = ax2 + bx + c, on c ´es la intersecci´o de la par`abola amb l’eix d’ordenades Oy. Si el coeficient a ´es positiu, aleshores les “punxes” de la par`abola van cap amunt; si a ´es negatiu, aleshores les “punxes” van cap avall. Per exemple, y = 2x2 − 3x − 1 i y = −x + 4x + 3.
Observeu que, aix´ı com una recta queda determinada per dos punts o b´e per un punt i un vector director, una par`abola queda determinada per tres punts o b´e per un punt (el focus) i una recta (la directriu).
PROBLEMES 1. Digueu si aquestes igualtats s´on certes o no i raoneu la resposta: √ √ √ (a) (x + 3)2 = x2 + 32 (d) x + 2 = x + 2 (b) (c) p xp = xq q x (e) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 √ √ √ 2x = 2 · x (f) x7 − 1 = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x−1 2. Comproveu si els valors donats s´on solucions de les equacions corresponents en cadascun dels casos seg¨ uents: (a) x6 − 7x3 − 8 = 0 (b) x = 8, x = 2, x = −1; 3t 1 4 − + =0 2 2t + t t 2+t 2 (c) 31−s = t = 1, t = −1/3; 1 27 s = 2, s = 0, s = −2; (d) 5 log10 x − log10 32 = log10 (0.5x) x = −2, x = 2; (e) 5a − 3b = −4 i 3a − b = 0 (a = 1, b = 3), (a = 2, b = 6).
3. Quina difer`encia hi ha entre una equaci´o i una identitat (o igualtat) ? 4 4. Resoleu les equacions seg¨ uents: (a) 0.3x + 0.2 = 1.5 (b) 2x − 1 = 8x + 3 (c) 2t − 4/3 = 5t/6 + 2 (d) x − π = x/0.3 + 2.5/5 (e) 1.73d − (0.3)2 = d/2 − 3.03 (f) x3 − 0.001 = 0 5. Resoleu les inequacions seg¨ uents: (a) x + 1 < 2x − 7 (b) − x + 1 ≤ −4 (c) (3y + 1)(y − 2) > 1 (d) (x − 1)(x + 2) ≥ 0 (e) x2 − 2x + 3 ≤ 0 (f) x3 − x ≥ 0 x+2 <0 3x − 7 2x + 8 (j) ≤4 x−6 t+3 ≥0 t−8 x−1 (k) <x−1 x+2 s+π <1 s (x − 0.2)(x + 1.4) (l) <1 x + 5.5 (g) (h) (i) 6. Escriviu l’equaci´o cartesiana de la recta (i dibuixeu-la) (a) que passa pel punt (1, 2) amb vector director (2, 3); (b) que passa pels punts (3, −1) i (−2, 1); (c) de pendent −3/5 i que passa per (1, −2); (d) paral.lela a la recta 3y + 2x + 1 = 0 que passa per (1, −3); (e) perpendicular a la recta 3y + 2x + 1 = 0 que passa per (−1, 2); (f) que passa pel punt mig entre (1, 0) i (3, 2) i, a m´es, forma un angle de 60 graus amb l’eix d’abcisses.
7. Busqueu tots els punts del pla cartesi`a tals que la primera coordenada ´es tres vegades la segona.
Quina figura geom`etrica n’obteniu? 8. Dibuixeu els punts del pla cartesi`a que satisfan: (a) x + y > 0; (b) 2y − x + 3 < 0; 9. Escriviu l’equaci´o de la par`abola (i dibuixeu-la) tal que (a) passa pels punts (1, 1), (−1, 2) i (0, 0); (b) talla l’eix d’ordenades al punt 4 i l’eix d’abscisses als punts 1 i 2.
10. Dibuixeu les par`aboles seg¨ uents: (a) y = 2x2 − 5x − 3.
(b) y = −x2 + x/2 + 1/2.
(c) y = x2 − x.
(d) y = x2 + 1.
5 (c) 4x + 5y − 1 > 0.
...