Sistemas de Vectores (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2014
Páginas 21
Fecha de subida 10/08/2014
Descargas 4
Subido por

Vista previa del texto

Sessió 2: 9-13/9/2013 I. Estàtica: Sistemes de vectors Física I 1er GEEIA, GEE, GET i GEI Fisica I Índex 1.1 Les forces com a vectors. Sistemes de vectors lliscants 1.2 Moment d'un vector respecte d'un punt 1.3 Resultant i moment resultant. Invariants vectorial i escalar del sistema de vectors 1.4 Sistemes de vectors equivalents.
Reducció 1.2 Fisica I 2.1 Les forces com a vectors Vector lliure Ex: forces sobre un sòlid que es trasllada sobre una guia Vector lliscant Ex: forces sobre un sòlid rígid que gira Vector fix Ex: forces sobre un sòlid deformable 1.3 Fisica I Sistemes de vectors lliscants  Concurrents: les seves rectes d'acció es tallen en un punt de l'espai.
 No concurrents a partir d'aquest punt, parlarem de sistemes de vectors en general, encara que tots els conceptes s'apliquen a sistemes de forces en particular 1.4 Fisica I 2.2 Moment d'un vector respecte d'un punt A : vector, O punt arbitrari de l'espai O' MO = r × A El moment no canvia si MO es trasllada A al llarg de la seva recta d'acció.
O Però: si triem un altre punt O', el moment de A serà diferent: MO' = r' × A r = OO' + r' r r ' A el moment d'un vector respecte d'un punt que està sobre la seva recta d'acció és 0 MO' = (r – OO') × A = MO – OO' × A MO = MO' + OO' × A 1.5 Fisica I 2.3 Resultant d'un sistema de vectors  És la suma dels vectors del sistema, efectuada com si fossin lliures R A1, A2, A3 ... An: sistema de vectors R = A1 + A2 + A3 + ... An = ∑i Ai R La resultant és la mateixa en un sistema concurrent i en un que no ho és, si les direccions dels vectors que formen el sistema són iguals 1.6 Fisica I Moment resultant respecte d'un punt A1, A2, A3 ... An: sistema de vectors, O: punt arbitrari de l'espai  MO = r1 × A1 + r2 × A2 + r3 × A3 + ... rn × An = ∑i ri × Ai  Exemple 1: Donat el sistema de vectors {A1, A2, A3} amb els punts d'aplicació {P1, P2, P3} respectius, A1= (4,2,1), P1 (1,0,1); A2= (-1,1,0), P2 (0,1,2); A3= (0,-1,2), P3 (1,0,1); es demana trobar la resultant i el moment resultant respecte del punt O (1,1,1) 1.7 Fisica I  Resultant: A1+ A2+ A3 = (4, 2, 1) + (-1, 1, 0) + (0, -1, 2) = (3, 2, 3)  Moment resultant r1 = OP1 = (1,0,1) - (1,1,1) r1 × A1 = = (0,1,0) i j k 0 -1 0 4 2 1 = (-1, 0,4) r2 = OP2 = (0,1,2) - (1,1,1) r2 × A 2 = = (-1,0,1) i j k -1 0 1 -1 1 0 = (-1, -1,-1) r3 = OP3 = (1,0,1) - (1,1,1) r3 × A 3 = = (0,-1,0) i j k 0 -1 0 0 -1 2 = (-2, 0, 0) Atenció: el “moment resultant” del sistema NO ÉS el “moment de la resultant” moment resultant = (-4, -1,3) 1.8 Fisica I Relació entre MO i MO'  Com en el cas d'un sol vector, si en un sistema triem un altre punt O per prendre moments (variem el punt de reducció) el moment del sistema serà en general diferent: MO' = r'1 × A1 + r'2 × A2 + r'3 × A3 + ... r'n × An = ∑i r'i × Ai i utilitzant ri = OO' + r'i : MO' = ∑i (ri – OO') × Ai = ∑i ri × Ai – ∑iOO' × Ai = MO – OO' × ∑iAi = MO – OO' × R  ?? Mirant el darrer resultat, què passa si R = 0? 1.9 Fisica I  Exemple 2: Per al sistema de l'exemple 1, calcula el moment respecte del punt O' (0,0,0) r1 × A1 = i j 1 0 4 2 k 1 1 = (-2, 3,2) r2 × A2 = i j k 0 1 2 -1 1 0 = (-2, -2, 1) r3 × A 3 = i j k 1 0 1 0 -1 2 = (1, -2,-1) moment resultant = (-3, -1,2) 1.10 Fisica I  Exemple 3: Siguin els vectors i els punts d'aplicació següents: A1= (1, 0, 1), P1 (2,1, 2); A2= (-1,0,-1), P2 (0,-1,4); Troba la resultant i el moment resultant del sistema respecte de O (0,0,0) i respecte de O'(1,0,1) la resultant és nul.la, i el moment resultant val R R a) (2,-4,-2) respecte de O b) (2,-4,-2) respecte de O' Un sistema de dos vectors amb resultant nul.la és un parell de vectors El moment M d'un parell de vectors no depèn del punt que es tria per prendre moments (és invariant) 1.11 Fisica I  Efectivament, en tot sistema amb resultant nul.la el moment no varia si canviem el centre de reducció, perquè si R = 0, llavors MO' = MO .
Més en general, La resultant és l'invariant vectorial del sistema, ja que no depèn del punt O.
M•R també és un invariant: l'invariant escalar del sistema MO'•R = MO•R – (OO' × R) •R = MO•R Exemple 4: Comprova a partir dels càlculs dels exemples 1 i 2, que MO'•R = MO•R : R = (3, 2, 3) MO = (-4, -1, 3); MO•R = -12-2+9 =-5 MO' = (-3, -1, 2); MO'•R = -9-2+6 =-5 1.12 Fisica I 2.4 Sistemes de vectors equivalents  Dos sistemes de vectors són equivalents si tenen la mateixa resultant i el mateix moment resultant respecte d'un cert punt.
Exemple 5: Comproveu que el sistema de vectors A1= (1, 2, 1), P1 (0, 0, 1); A2= (0, -1, 1), P2 (0,-1,-2); és equivalent al sistema B1= (2, 1, 3), Q1 (1,-1, 3); B2= (-2, -3, 1), Q2 (2,4, -5); B3= (-1,1,-2), Q3 (-2,-1,-2); B4= (2, 2, 0), Q4 (2,3, -4) 1.13 Fisica I  Diverses operacions permeten obtenir sistemes de vectors equivalents: Incorporar al sistema dos vectors d'igual mòdul i recta d'acció, però de sentits oposats Suprimir dos vectors en les mateixes condicions anteriors Substituir dos vectors concurrents pel seu vector suma, situada sobre la recta d'acció que passi pel punt de concurrència Substituir un vector per altres dos en les mateixes condicions anteriors Traslladar qualsevol vector al llarg de la seva recta d'acció 1.14 Fisica I Reducció de sistemes de vectors Reduir Reduir un un sistema sistema de de vectors vectors és és trobar trobar un un sistema sistema equivalent equivalent més més simple simple que que el el representi.
representi.
 Segons sigui el valor dels invariants, tenim els casos següents: MO a) si M•R ≠ 0, la reducció més simple del sistema és R • la resultant R aplicada O en un punt arbitrari O, • més un parell de vectors, amb el mateix moment M que el sistema respecte del punt O.
Aquesta s'anomena reducció canònica.
1.15 Fisica I a) si M•R = 0, poden passar quatre casos: 1) R = 0 i M = 0, el sistema és equivalent a zero.
2) R = 0 i M ≠ 0, el sistema es redueix a un parell de vectors de moment M, independent del punt de reducció 3) R ≠ 0 i M = 0, el sistema es redueix a un sol vector (R) aplicat en el centre de reducció, que és un punt determinat, amb 2 casos possibles: els vectors són G ... o bé concurrents i el punt O de reducció és el punt de concurrència, ... o bé paral.lels, i el punt de reducció és el centre G del sistema de vectors paral.lels 1.16 Fisica I 1) Ni M ni R són 0, però M és perpendicular a R: passa sempre si treballem en el pla. En l'espai, passa si els vectors són coplanaris, i si el punt de reducció es troba també sobre el mateix pla MO R O Un resultat peculiar d'aquest cas és que, si bé respecte de O el moment MO no s'anul.la, es pot trobar un eix que redueix a un únic vector R tot el sistema.
1.17 Fisica I  Exemple: Una guia suporta una càrrega de 8 T. Reduir la càrrega a una força axial segons l'eix de la columna més un parell.
y 10 cm 14 cm O 8T x R R Situem l'origen de coordenades en O i el punt d'aplicació de la càrrega en 24 i (cm). La reducció respecte de O dóna: R = -8 j (T) M = -192 ×103 k (kg·cm) R M O 1.18 Fisica I Exercici de classe  Reduir el sistema de forces a una única força resultant aplicada en l'origen O i un parell.
y 10 N 5N 5N 4 cm 30o x O 4 cm 10 N z 8 cm 6N Veure primer que es tracta del cas a), en el que la reducció aplicable és la canònica 1.19 Fisica I Resum En aquesta primera part del tema:  Hem definit el moment d'un vector, i construït la     resultant R i el moment resultant M d'un sistema de vectors; Hem introduït els invariants d'un sistema de vectors, R i R•M.
Hem definit sistemes de vectors equivalents i explicat les operacions que permeten d'obtenir-los.
En funció del valor dels invariants, hem vist les diferents condicions de reducció del sistema: a un sol vector, un vector més un parell, un parell únicament o el vector nul.
Hem definit centre d'un sistema de vectors paral.lels com el punt on el moment resultant del sistema s'anul.la.
1.24 Continuarà a la part 2 ...